精品解析：山东省德州市临邑县2026年 第二次练兵考试九年级数学试题

山东省德州市临邑县2026年+第二次练兵考试九年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 在实数，0，，中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴最大的数是：． 故选：C． 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键． 3. 清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆．该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图均不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．熟知三视图的观察方向是解题的关键． 仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据雯红瓷瓶的实物特征及几何体三视图的概念，可知其主视图和左视图相同，俯视图与它们均不相同， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分 B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质 D. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的性质、判定，以及三角形全等的判定定理，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、矩形和平行四边形都具有对角线互相平分这一条性质，故选项不符合题意； B、有三个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、因为正方形是矩形（四条边都相等的矩形是正方形）和菱形（有一个内角是直角的菱形是正方形）的特殊情形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质，说法正确，故选项符合题意； D、两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，只有当这个角是两边的夹角时才全等，故选项不符合题意． 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握数形结合思想是解题的关键．先由点所在的象限确定、符号，再确定和的正负，从而确定直线经过的象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 7. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 8. 如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（　　） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°．∴∠ACD＝∠B．在Rt△ABC中，∵，BC＝4，∴，解得．∴．故选D． 9. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，涉及反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征及性质、轴对称的性质等内容，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可．根据、关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则、横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可． 【详解】解：①设函数上点的坐标为， 则其关于轴的对称点的坐标为， 若两函数具有“对偶关系”， 则点必在函数的图象上， 故有， ， 解得：， 函数与函数具有“对偶关系”，故①错误，不符合题意； ②由①得，，故②正确，符合题意； ③当时，则， 解得； 因为1是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的， 代入得：， 解得，故③正确，符合题意； ④设点P在上，设P的坐标为，其中，则点Q在上，坐标为，即， ∵P、Q纵坐标相等， ∴，即． ∵， ∴当时，；当时，， ∴，故④正确，符合题意． 综上，②③④正确． 故选：B． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 计算：______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：， ． 12. 稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的4.4倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为______吨． 【答案】 【解析】 【分析】先将1000万吨用数字表示，再根据倍数关系计算出中国的稀土储量，最后将结果用科学记数法表示即可. 【详解】解：万， 由题意得，中国稀土储量是俄罗斯的倍， ∴中国稀土储量为吨． 13. 通常情况下无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两瓶溶液均变红色的结果有种， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为， 故答案为：． 14. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理结合垂径定理分别求出瓶内液体没升高时和升高时的长度，即可解答． 【详解】解：连接， 当瓶内液体没升高时， ∵，球的半径为， ∴，， 由题意得， ∴点为的中点， ∴， ∴此时； 当瓶内液体升高时， 则，， ∴， 同理，得， ∴此时； ∴当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了． 15. 如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数解析式求出的坐标及对称轴；再利用轴对称性质，找到关于抛物线对称轴的对称点，将转化为；最后根据“垂线段最短”，当三点共线且时，取得最小值，即到直线的距离． 【详解】∵直线，过点，， ∴ 解得，， ∴直线的解析式为； 又∵抛物线与轴交于点， ∴令，解得， ∴点坐标为， ∵抛物线对称轴， ∴抛物线对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点坐标为， ∴， ∴要使最小，即求的最小值； 又∵点到直线之间，垂线段最短， ∴当时，最小． 连接，，过点作轴于点，则，如图所示： ∵在中，，， ∴， 又∵ 又∵（其中）， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本题共计8小题，共计90分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 当时，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， （1）画出旋转后的，并写出点的坐标； （2）求点经过的路径的长结果保留． 【答案】（1）详见解析，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形，然后写出点的坐标即可； （2）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． 【小问1详解】 如图，为所作，点的坐标为； 【小问2详解】 ， 点经过的路径的长为． 18. 受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 （1）上表中________，________，________； （2）若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）115，113，112 （2）350台 （3）选择款人形机器人，见解析 【解析】 【分析】（1）把款和款的各10个数按从小 到大的顺序排列，根据平均数、中位数和众数的确定方法求解即可； （2）用500乘以“良好及以上”的占比，即可求解； （3）根据中位数、众数和方差作决策即可． 【小问1详解】 解：∵款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110， ∴从小到大排列：105，108，110，111，112，114，115，115， 118，122， ∴； ∵款：109，118，102，119，106，112，123，112，112，117， ∴从小到大腓列：102，106，109，112，112，112，117，118，119，123， ∴ ， ∵第5个与第6个数都是112， ∴， 故答案为：115，113，112； 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 115 21.8 113 112 112 36.6 【小问2详解】 解：（台）， 故这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的约350台； 【小问3详解】 解：应该选择款人形机器人． 理由：根据表中的和两款人形机器人的平均数相同，款人形机器人的中位数，众数和方差都优于款人形机器人，因此商场应该选择款人形机器人． 【点睛】本题考查统计表，求平均数、中位数数、众数，利用中位数、众数和方差作决策，部分估计总体，解题的关键是掌握相关知识． 19. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形为矩形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． 【小问2详解】 解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 20. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）是的切线，理由见解析 （2）面积为 【解析】 【分析】（1）连接，证明得到，从而由切线的判定即可得证； （2）数形结合得到图中阴影部分的面积，分别求出和，代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：是的切线， 理由如下： 连接，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又是圆的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ∴， ∴， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 21. 综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： （1）观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； （2）若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； （3）已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 【答案】（1）反比例， （2）2175 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据表格，得到的值为定值，进行求解即可； （2）令，求出函数值即可； （3）求出时的函数值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由表格可知，，为定值， ∴是的反比例函数，； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴当时，； 故答案为：2175 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴吸管的长度最短应是． 22. 光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离． （1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度； （2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）． （参考数据：，，，，） 【答案】（1）14.76米 （2）31米 【解析】 【分析】（1）过点D作于点F，作于点，利用正弦的定义求解即可；（2）证明四边形为矩形，求出，在中，利用三角函数求解即可； 【小问1详解】 如图，过点D作于点F，作于点H． 由题意得米，， 在中， ， （米）． 答：斜坡顶部D到坡底水平面的垂直高度为14.76米． 【小问2详解】 在中， ， （米）， ，，， 四边形为矩形， ，米， （米）， 米， 在中， ， （米）， （米）． 答：该光伏发电板支架AB的高度约为31米． 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）图见解析；不成立，，证明见解析 （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省德州市临邑县2026年+第二次练兵考试九年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 在实数，0，，中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆．该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图均不相同 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分 B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质 D. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 8. 如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（　　） A. 1 B. C. 3 D. 9. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③ 卷II（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 计算：______，______． 12. 稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的4.4倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为______吨． 13. 通常情况下无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为___ 14. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 15. 如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 三、解答题（本题共计8小题，共计90分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， （1）画出旋转后的，并写出点的坐标； （2）求点经过的路径的长结果保留． 18. 受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 （1）上表中________，________，________； （2）若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 19. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 20. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 21. 综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： （1）观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； （2）若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； （3）已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 22. 光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离． （1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度； （2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）． （参考数据：，，，，） 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $