第六章 变量之间的关系 题型突破 2025-2026学年北师大版七年级数学下册（十大题型）

第六章变量之间的关系题型突破2025-2026学年 北师大版七年级下册（十大题型） 题型一：变量与常量 1．一本练习本每本2.5元，买m本共付n元，则2.5和n分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 2．一个长方形的面积是10cm2，其长是a cm，宽是b cm，下列判断正确的是（　　） A．常量为10、a，变量为b B．常量为10，变量为a、b C．常量为10、b，变量为a D．常量为a、b，变量为10 3．李老师到求实附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 4．圆的半径为r，圆的面积S与半径r之间有如下关系：S＝πr2．在这关系中，常量是　 　 变量是　 　 ． 5．节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的常量是 　 　 ，变量是 　 ． 题型二：自变量与因变量 1．如图，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．在等式S＝πr2中自变量是（　　） A．S B．π C．r D．r2 2．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（   ） A．300 B．v C．s D．s与v 3．一部电影的票价为每张35元，某日共售出张该电影的电影票，票房收入为元，在这个问题中，因变量是（    ） A．35 B．和 C． D． 4．谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 　 ． 5．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ． 题型三：用表格表示变量间的关系 1．已知食用油的沸点一般都在200℃以上，下表所示的是小林加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是110℃ C．每加热10s，油的温度升高30℃ D．在这个问题中，自变量为时间t 2．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法正确的是　 　． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为0cm； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm． 4．声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度x（℃）之间的关系如下： 温度/℃ 0 5 10 15 20 声速/（m/s） 331 334 337 340 343 在温度为20℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.1s后，听到了枪声，则他距离发令枪 　 m． 5．游泳池应定期换水以保持水质良好．某游泳池在一次换水前存水840立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时60立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水量/立方米 780 720 660 540 420 (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将上述表格补充完整； (3)当放水时间为8小时时，游泳池的存水量为多少立方米？ 题型四：用关系式表示变量之间的关系 1．为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关系式为（　　） A．y＝5x+6 B．y＝12x+30 C．y＝8x+12 D．y＝30x+60 2．某书店对外租赁图书．收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按0.5元收费，以后每天按0.7元收费（不足一天按一天计算）．则租金y（元）和租赁天数x（x≥2）之间的关系式为（　　） A．y＝0.5x B．y＝0.7x C．y＝0.7x+1 D．y＝0.7x﹣0.4 3．长方形的周长为36cm，其中一边长为x（cm），面积为y（cm2），则y与x的关系可表示为 　 　 ． 4．某办公用品文具店推出一种优惠方案：购买1个书包，赠送1支水性笔．书包每个定价50元，水性笔每支定价3元．小亮和同学需购买5个书包和若干支水性笔（不少于5支）．试写出购买费用y（单位：元）与所买水性笔x（单位：支）之间的关系式：　 　 ． 5．某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元． （1）在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式； （3）若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？ 题型五：用关系式表示两个变量的规律 1．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+1+n C．y＝2n+n D．y＝2n+n+1 2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n﹣1 C．y＝3n+1 D．y＝3n﹣1 3．如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知每个铁环长4厘米，铁环粗厘米，铁环间处于最大限度的拉伸状态．设个铁环长为厘米，则与之间的关系式为 ． 4．如图，某种型号的自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．如果x节链条的总长度是ycm，那么y与x之间的关系式为 　 　 ． 5．将长为38cm，宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为2cm． （1）求5张白纸黏合的长度； （2）设x张白纸黏合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式． 题型六：利用表格和关系式表示两个变量关系 1．玩具厂要加工一批毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表所示： 每小时加工的件数 30 20 18 9 6 … 加工时间/小时 12 18 20 40 60 … 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间．下面式子中，可以反映y与x之间关系的式子是（　　） A．xy＝360 B．xy＝10 C．y＝10x D．y＝6x 2．在烧开水时，水温达到100℃水就会沸腾，如表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位：min）和水温T（单位：℃）的数据： t/min 0 2 4 6 8 10 12 14 … T/℃ 26 42 58 74 90 100 100 100 … 在水烧开之前（即T＜100），水温T与时间t之间的关系式为　 　 ． 3．（某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数（v）与入库所需的天数（d）之间关系如表： 每天入库吨数（v） 500 250 100 50 …… 入库所需天数（d） 1 2 5 10 …… 用式子表示d与v的关系为 　 　 ． 4．全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数x和读完全书需要的天数y之间的关系如下表： 每天看的页数 12 15 20 30 … 需要的天数 75 60 45 30 … 用式子表示x与y的关系　 ． 5．科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温t（℃） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（m/s） 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 （1）在这个变化过程中，　 　 是自变量；（填汉字） （2）声音在空气中的传播速度v（m/s）与气温t（℃）的关系式可以表示为 　 　 ；（不要求写t的取值范围） （3）某日的气温为20℃，小乐看到烟花燃放4s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 题型七：用关系式表示两个变量的关系的综合 1．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）直接写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 2．一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题： （1）汽车行驶1h后油箱里还有油 　 L，汽车行驶6h后油箱里还有油 　 　L； （2）这一变化过程中共有 　 　个变量，其中 　 　是变量，　 　是常量； （3）设汽车行驶的时间为x h，油箱里剩下的油为Q L，请用含x的式子表示Q； （4）这辆汽车最多能行驶多少小时？ 3．某市的居民用电收费标准：当月所用电量不超过500度，按每度0.65元收费，如果超过500度，超过部分按每度0.92元收费．设某户人家的当月用电量为x度，应缴费用为y元． （1）若当月用电量为200度时，应缴费用是 　 元；写出当月所用电量不超过500度时，写出y关于x的关系式：　 　； （2）若当月用电量为800度时，应缴费用是 　 　元；写出当月所用电量超过500度时，写出y关于x的关系式：　 　； （3）若当月应缴费用为509元时，当月的用电量是 　 　度； （4）若这户的当月用电应缴费用平均每度0.695元，那么这个月的这户人家用电量是多少度？ 题型八：从实际问题中抽象图象 1．《宋史•司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（　　）比较符合故事情节． A． B． C． D． 2．往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B． C． D． E． 3．将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（　　） A． B． C． D． 4．苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 题型九：从图象中获取信息解决问题 1．有两个相关联的量，它们的关系如图．这两个相关联的量可能是（　　） A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．圆的面积与它的半径 D．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下的大米质量 2．碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃ 3．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法错误的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度h（m）持续上升 4．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题： （1）这是一次 　 　米赛跑； （2）甲、乙两人中先到达终点的是 　 　； （3）甲到终点用的时间是 　 　秒；乙到终点用的时间是 　 秒． （4）乙在这次赛跑中的速度为 　米/秒； （5）甲到达终点时，乙离终点还有 　 米． 题型十：动点运动问题与函数图象 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．24 2．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 3．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 4．如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1 cm，a秒时点P的速度变为每秒b cm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象： （1）根据图②中提供的信息，a＝　 ，b＝　 ，c＝　 　 ． （2）点P出发后几秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一？ 【答案】 第六章变量之间的关系题型突破2025-2026学年 北师大版七年级下册（十大题型） 题型一：变量与常量 1．一本练习本每本2.5元，买m本共付n元，则2.5和n分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 【答案】D． 2．一个长方形的面积是10cm2，其长是a cm，宽是b cm，下列判断正确的是（　　） A．常量为10、a，变量为b B．常量为10，变量为a、b C．常量为10、b，变量为a D．常量为a、b，变量为10 【答案】B． 3．李老师到求实附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C． 4．圆的半径为r，圆的面积S与半径r之间有如下关系：S＝πr2．在这关系中，常量是　 　 变量是　 　 ． 【答案】π；S、r． 5．节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的常量是 　 　 ，变量是 　 ． 【答案】每立方米水的价格；每月的用水量、支付的水费． 题型二：自变量与因变量 1．如图，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．在等式S＝πr2中自变量是（　　） A．S B．π C．r D．r2 【答案】C． 2．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（   ） A．300 B．v C．s D．s与v 【答案】B． 3．一部电影的票价为每张35元，某日共售出张该电影的电影票，票房收入为元，在这个问题中，因变量是（    ） A．35 B．和 C． D． 【答案】D． 4．谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 　 ． 【答案】冰的厚度． 5．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ． 【答案】因变量． 题型三：用表格表示变量间的关系 1．已知食用油的沸点一般都在200℃以上，下表所示的是小林加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是110℃ C．每加热10s，油的温度升高30℃ D．在这个问题中，自变量为时间t 【答案】C． 2．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s 【答案】C． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法正确的是　 　． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为0cm； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm． 【答案】①③④． 4．声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度x（℃）之间的关系如下： 温度/℃ 0 5 10 15 20 声速/（m/s） 331 334 337 340 343 在温度为20℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.1s后，听到了枪声，则他距离发令枪 　 m． 【答案】34.3． 5．游泳池应定期换水以保持水质良好．某游泳池在一次换水前存水840立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时60立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水量/立方米 780 720 660 540 420 (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将上述表格补充完整； (3)当放水时间为8小时时，游泳池的存水量为多少立方米？ 【答案】1）解：由题意可知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量； （2）当放水4分钟时，游泳池的存水为(立方米)， 当放水6分钟时，游泳池的存水为(立方米)， 表格如下： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水量/立方米 780 720 660 600 540 480 420 （3）当放水时间为8小时时，游泳池的存水为(立方米)， ∴当放水时间为8小时时，游泳池的存水量为360立方米． 题型四：用关系式表示变量之间的关系 1．为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关系式为（　　） A．y＝5x+6 B．y＝12x+30 C．y＝8x+12 D．y＝30x+60 【答案】D． 2．某书店对外租赁图书．收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按0.5元收费，以后每天按0.7元收费（不足一天按一天计算）．则租金y（元）和租赁天数x（x≥2）之间的关系式为（　　） A．y＝0.5x B．y＝0.7x C．y＝0.7x+1 D．y＝0.7x﹣0.4 【答案】D． 3．长方形的周长为36cm，其中一边长为x（cm），面积为y（cm2），则y与x的关系可表示为 　 　 ． 【答案】y＝﹣x2+18x． 4．某办公用品文具店推出一种优惠方案：购买1个书包，赠送1支水性笔．书包每个定价50元，水性笔每支定价3元．小亮和同学需购买5个书包和若干支水性笔（不少于5支）．试写出购买费用y（单位：元）与所买水性笔x（单位：支）之间的关系式：　 　 ． 【答案】y＝3x+235（x≥5）． 5．某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元． （1）在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式； （3）若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？ 【答案】解：（1）在这个过程中，自变量是行车里程，因变量是车费． （2）根据题意，得y＝8+1.4（x﹣3）＝1.4x+3.8， ∴y与x之间的关系式为y＝1.4x+3.8． （3）将y＝15代入y＝1.4x+3.8，得1.4x+3.8＝15，解得x＝8， ∴他乘坐了8km的里程． 题型五：用关系式表示两个变量的规律 1．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+1+n C．y＝2n+n D．y＝2n+n+1 【答案】C． 2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n﹣1 C．y＝3n+1 D．y＝3n﹣1 【答案】C． 3．如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知每个铁环长4厘米，铁环粗厘米，铁环间处于最大限度的拉伸状态．设个铁环长为厘米，则与之间的关系式为 ． 【答案】． 4．如图，某种型号的自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．如果x节链条的总长度是ycm，那么y与x之间的关系式为 　 　 ． 【答案】y＝1.7x+0.8． 5．将长为38cm，宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为2cm． （1）求5张白纸黏合的长度； （2）设x张白纸黏合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式． 【答案】解：（1）5张白纸黏合的长度为38×5﹣2×（5﹣1）＝182（cm）， 答：5张白纸黏合的长度为182cm； （2）y＝38x﹣2（x﹣1）＝36x+2， 答：y与x的函数关系式为y＝36x+2． 题型六：利用表格和关系式表示两个变量关系 1．玩具厂要加工一批毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表所示： 每小时加工的件数 30 20 18 9 6 … 加工时间/小时 12 18 20 40 60 … 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间．下面式子中，可以反映y与x之间关系的式子是（　　） A．xy＝360 B．xy＝10 C．y＝10x D．y＝6x 【答案】A． 2．在烧开水时，水温达到100℃水就会沸腾，如表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位：min）和水温T（单位：℃）的数据： t/min 0 2 4 6 8 10 12 14 … T/℃ 26 42 58 74 90 100 100 100 … 在水烧开之前（即T＜100），水温T与时间t之间的关系式为　 　 ． 【答案】T＝8t+26． 3．（某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数（v）与入库所需的天数（d）之间关系如表： 每天入库吨数（v） 500 250 100 50 …… 入库所需天数（d） 1 2 5 10 …… 用式子表示d与v的关系为 　 　 ． 【答案】d． 4．全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数x和读完全书需要的天数y之间的关系如下表： 每天看的页数 12 15 20 30 … 需要的天数 75 60 45 30 … 用式子表示x与y的关系　 ． 【答案】y． 5．科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温t（℃） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（m/s） 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 （1）在这个变化过程中，　 　 是自变量；（填汉字） （2）声音在空气中的传播速度v（m/s）与气温t（℃）的关系式可以表示为 　 　 ；（不要求写t的取值范围） （3）某日的气温为20℃，小乐看到烟花燃放4s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】解：（1）在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量． 故答案为：气温． （2）∵气温每上升1℃声音在空气中的传播速度增大0.6m/s， ∴声音在空气中的传播速度v（m/s）与气温t（℃）的关系式可以表示为v＝0.6t+331． 故答案为：v＝0.6t+331． （3）0.6×20+331 ＝12+331 ＝343（m/s）， 343×4＝1372（m）， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1372m远． 题型七：用关系式表示两个变量的关系的综合 1．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）直接写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米）， 行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x； （2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）． 答：当x＝280（千米）时，剩余油量Q的值为17L． （3）（45﹣3）÷0.1＝420（千米）， ∵420＞400， ∴他们能在汽车报警前回到家． 2．一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题： （1）汽车行驶1h后油箱里还有油 　 L，汽车行驶6h后油箱里还有油 　 　L； （2）这一变化过程中共有 　 　个变量，其中 　 　是变量，　 　是常量； （3）设汽车行驶的时间为x h，油箱里剩下的油为Q L，请用含x的式子表示Q； （4）这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】解：（1）40﹣2.5＝37.5（L）， 40﹣2.5×6＝25（L）， 故答案为：37.5；25． （2）这一变化过程中共有2个变量， 其中邮箱里剩下的油量和行驶的时间是变量， 每小时耗油的油量是常量， 故答案为：2；邮箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量． （3）Q＝40﹣2.5x． （4）40﹣2.5x＝0， 解得x＝16． 答：这辆汽车最多能行驶16小时． 3．某市的居民用电收费标准：当月所用电量不超过500度，按每度0.65元收费，如果超过500度，超过部分按每度0.92元收费．设某户人家的当月用电量为x度，应缴费用为y元． （1）若当月用电量为200度时，应缴费用是 　 元；写出当月所用电量不超过500度时，写出y关于x的关系式：　 　； （2）若当月用电量为800度时，应缴费用是 　 　元；写出当月所用电量超过500度时，写出y关于x的关系式：　 　； （3）若当月应缴费用为509元时，当月的用电量是 　 　度； （4）若这户的当月用电应缴费用平均每度0.695元，那么这个月的这户人家用电量是多少度？ 【答案】解：（1）根据题意，得200×0.65＝130（元）， y＝0.65x（0＜x≤500）， 故答案为：130，y＝0.65x（0＜x≤500）； （2）500×0.65+（800﹣500）×0.92＝601 （元）， y＝500×0.65+（x﹣500）×0.92＝0.92x﹣135 （x＞500）， 故答案为：601，y＝0.92x﹣135（x＞500）； （3）500×0.65＝325， ∵509＞325， ∴x＞500， 根据题意，得0.92x﹣135＝509， 解得x＝700， 故答案为：700； （4）∵0.695＞0.65， ∴x＞500， 根据题意，得0.695x＝0.92x﹣135， 解得x＝600， ∴这个月的这户人家用电量是600度． 题型八：从实际问题中抽象图象 1．《宋史•司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（　　）比较符合故事情节． A． B． C． D． 【答案】D． 2．往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B． C． D． E． 【答案】B． 3．将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 4．苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 题型九：从图象中获取信息解决问题 1．有两个相关联的量，它们的关系如图．这两个相关联的量可能是（　　） A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．圆的面积与它的半径 D．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下的大米质量 【答案】A． 2．碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃ 【答案】C． 3．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法错误的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度h（m）持续上升 【答案】D． 4．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题： （1）这是一次 　 　米赛跑； （2）甲、乙两人中先到达终点的是 　 　； （3）甲到终点用的时间是 　 　秒；乙到终点用的时间是 　 秒． （4）乙在这次赛跑中的速度为 　米/秒； （5）甲到达终点时，乙离终点还有 　 米． 【答案】解：（1）由（12，100），（12.5，100）的纵坐标看出，这是一次100米赛跑； （2）由（12，100），（12.5，100）的横坐标看出，先到达终点的是甲； （3）由（12，100），（12.5，100）的横坐标可得甲到终点用的时间是12秒；乙到终点用的时间是12.5秒． （4）由（12.5，100）的纵坐标看出，乙跑步的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒，乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5＝8米/秒． （5）由100﹣12×8＝4（米）， ∴甲到达终点时，乙离终点还有4米． 故答案为：（1）100，（2）甲，（3）12，12.5，（4）8，（5）4． 题型十：动点运动问题与函数图象 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．24 【答案】B． 2．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D． 3．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 4．如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1 cm，a秒时点P的速度变为每秒b cm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象： （1）根据图②中提供的信息，a＝　 ，b＝　 ，c＝　 　 ． （2）点P出发后几秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一？ 【答案】解：（1）依函数图象可知： 当0≤x≤a时，S18a＝24 即：a＝6 当a＜x≤8时，S18×[6×1+b（8﹣6）]＝40 即：b＝2 当8＜x≤c时，①当点P从B点运动到C点三角形APD的面积S18×10＝40（cm2）一定，所需时间是：8÷2＝4（秒） ②当点P从C点运动到D点：所需时间是：10÷2＝5（秒） 所以c＝8+4+5＝17（秒） 故答案为：a＝6，b＝2，c＝17． （2）∵长方形ABCD面积是：10×8＝80（cm2） ∴当0≤x≤a时，8x＝80 即：x＝5； 当12≤x≤17时，8×2（17﹣x）＝80 即：x＝14.5． ∴点P出发后5秒或14.5秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一 学科网（北京）股份有限公司 $