精品解析：2026年黑龙江齐齐哈尔市（齐黑大地区）初中学业水平考试数学试卷

2026年齐齐哈尔市（齐黑大地区）初中学业水平考试 数学试卷 （共24题，共120分） 一、选择题（共10题，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 0的相反数和倒数都不存在 B. 的倒数是4 C. 互为相反数的两个数的和一定为0 D. 若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则代数式的值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 4. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 82.5° 5. 如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 7. 某奥体中心的构造如图所示，其东、西面各有一个入口A、B，南面为出口C，北面分别有两个出口D、E．聪聪若任选一个入口进入，再任选一个出口离开，那么他从入口A进入并从北面出口离开的概率为( ) A. B. C. D. 8. 如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共7题，共21分） 11. 一种新型芯片内部线路宽度为 分米，用科学记数法表示为______米． 12. 已知，则代数式的值是______． 13. 圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是____________ 14. 如图，，平分，于，交于，若，则______． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为________． 16. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________. 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，……，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为______________； 三、解答题（共7题，共69分） 18. （1）计算： （2）解方程： 19. 因式分解：（1）a4－16； （2）ax2－4axy＋4ay2． 20. 某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）.请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校初三学生总数为 人； （2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为 、 ，并补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是 ； （4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是 、 ； （5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？ 21. 如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C （1）求证：AE与⊙O相切于点A； （2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长． 22. 地和地之间的铁路交通设有特快列车和普通列车两种车次，某天一辆普通列车从A地出发匀速驶向地，同时另一辆特快列车从地出发匀速驶向地，两车与地的距离（千米）与行驶时间（时）的函数关系如图所示. （1）地到地的距离为 千米，普通列车到达地所用时间为 小时； （2）求特快列车与地的距离与的函数关系式； （3）在、两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶小时与普通列车相遇，直接写出地与铁路桥之间的距离 . 23. 已知等腰，，将一个含角的透明纸片的顶点放在处．将该纸片绕点旋转，设纸片角的两边分别交直线于，两点． （1）当点，在边上时（如图①），求证：； （2）当点在的延长线上，点在上时（如图②），求证：； （3）当点在上，点在的延长线上时（如图③），求证：． 24. 如图，直线交轴于，交轴于，抛物线经过，交轴负半轴于． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第一象限抛物线上的一点，连接交轴于点，过点作轴的平行线交于点，若，求的面积； （3）在（2）的条件下，点为第二象限抛物线上的一点，交于点，过点作的垂线交轴于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年齐齐哈尔市（齐黑大地区）初中学业水平考试 数学试卷 （共24题，共120分） 一、选择题（共10题，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 0的相反数和倒数都不存在 B. 的倒数是4 C. 互为相反数的两个数的和一定为0 D. 若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．0的相反数是0，0没有倒数，错误 ​B．乘积为1的两个数互为倒数，的倒数是，不是4，错误 ​C．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，相加结果恒为0，正确 ​D．倒数等于本身的数有1和，错误 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 3. 已知，则代数式的值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式化简求值，利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可. 【详解】解： ∴ 4. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 82.5° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案． 【详解】如图，作直线l平行于直角三角板的斜边， 可得：∠3=∠2=45°，∠4=∠5=30°， 故∠1的度数是：45°+30°=75°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 5. 如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看可得到共有4列，每一列小正方形的个数从左到右依次为3、1、1、2， 观察只有D选项符合， 故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的图形是解题的关键． 6. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把a看作已知数表示出不等式的解集，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积． 【详解】解：， 由①得：x≤2a＋4， 由②得：x＜−2， 由不等式组的解集为x＜−2，得到2a＋4≥−2，即a≥−3， 分式方程去分母得：a−3x−3＝1−x， 把a＝−3代入整式方程得：−3x−6＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝−2代入整式方程得：−3x−5＝1−x，即x＝−3，不合题意； 把a＝−1代入整式方程得：−3x−4＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝0代入整式方程得：−3x−3＝1−x，即x＝−2，不合题意； 把a＝1代入整式方程得：−3x−2＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝2代入整式方程得：−3x−1＝1−x，即x＝−1，不合题意； 把a＝3代入整式方程得：−3x＝1−x，即x＝−，符合题意； ∴符合条件的整数a的取值为−3，−1，1，3，它们的积为9， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7. 某奥体中心的构造如图所示，其东、西面各有一个入口A、B，南面为出口C，北面分别有两个出口D、E．聪聪若任选一个入口进入，再任选一个出口离开，那么他从入口A进入并从北面出口离开的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得聪聪从入口A进入展览厅并从北面出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 详解：画树状图得： 由树状图可知所有可能的结果有6种 设聪聪从入口A进入展览厅并从北面出口离开的概率是P ∵聪聪从入口A进入展览厅并从北面出口离开的有2种情况 ∴ 故选：C 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，相交于E，由垂径定理易证，由易证是等边三角形，在中解三角形可得，最后根据并用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，相交于E， 是 的直径，， ， 又， ， ， 是等边三角形， 在中， ，， ， ， ， ， 解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形，扇形面积的计算；解直角三角形求半径是解题的关键． 9. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 应根据和两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解． 【详解】解：作于点E， 当时， ， ， ； 当时，作于N，作于M， ， ， ， ； 只有选项D的图形符合． 故选：D． 10. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤. 【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，c＜0，， ∴b＞0， ∴abc＞0，故①正确； 如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴， ∴对称轴在直线x=2右侧，即， ∴，又a＜0， ∴4a+b＞0，故②正确； ∵与是抛物线上两点，， 可得：抛物线在上，y随x的增大而增大， 在上，y随x的增大而减小， ∴不一定成立，故③错误； 若抛物线对称轴为直线x=3，则，即， 则 = = =≤0， ∴，故④正确； ∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1， 当x=1时，代入，y=a+b+c≥0， 当x=4时，16a+4b+c=0， ∴a=， 则，整理得：4b+5c≥0， 则4b+3c≥-2c，又c＜0， -2c＞0， ∴4b+3c＞0，故⑤正确， 故正确的有4个. 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号. 二、填空题（共7题，共21分） 11. 一种新型芯片内部线路宽度为 分米，用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】先进行单位换算，再根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解： 分米 米米． 12. 已知，则代数式的值是______． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，， 把，代入， 故答案为． 【点睛】本题考查的是非负数的性质和代数式求值问题，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 13. 圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是____________ 【答案】 【解析】 【分析】把圆锥剪开，并展开成一个扇形，连接，利用“两点间线段最短”判断最短距离，然后利用解直角三角形有关知识进行计算． 【详解】解：如图所示．以母线剪开，并展开成一个扇形，连接．根据“两点间线段最短”，线段的长就是所求的最短距离． ∵原圆锥的母线长，底面周长为 ∴扇形的半径为，而的长度， 以为半径的圆的周长为， ∴扇形中所对的圆心角为， 作，垂足为C， ∵ ∴， ∴， ∴ 即从A点出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，化繁为简，化立体为平面，这是这道题目的特点，也是解决问题的关键． 14. 如图，，平分，于，交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，平行线的性质，角平分线的性质，过作于点，由角平分线得，又得，再根据含角的直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵平分，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积为3，可得，再结合图象经过二、四象限，从而可确定的值． 【详解】解：的面积为3， 图象经过二、四象限 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，解题关键是要明确双曲线上任意一点引两坐标轴的垂线，所得三角形的面积为． 16. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，然后根据扇形面积计算，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′-S扇形CAC′进行计算即可． 详解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，AB=AC=2， ∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C， ∴∠BAB′=∠CAC′=45°， ∴点B′、C、A共线， ∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′+S△AB′C-S扇形CAC′-S△ABC =S扇形BAB′-S扇形CAC′ = 故答案为． 点睛：本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，……，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为______________； 【答案】 【解析】 【分析】观察图形，可知：第102个整点数在第14列，第14列是按从下到上顺次排列，且第14列的第一个整点数是，进而即可求解． 【详解】从左边起， 列数 整数点的总个数 1 1 2 3 4 …… …… n 因为，所以第102个整点数在第14列，又因为第14列是按从下到上顺次排列，且第14列的第一个整点数是，也是第个整点数，所以第102个整点数是. 故答案是 【点睛】本题考查了在坐标系中根据图形的排列规律确定点的坐标，这样的问题一般可用列举法来求解，即分别列举出第1列，第2列，…，第n列的整数点的个数，从而得到总的整数点的个数，在此基础上分析判断. 三、解答题（共7题，共69分） 18. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）先把方程两边同时乘以(x+2)(x-2)，把分式方程转化成整式方程，去括号、整理即可求出x的值，最后检验即可. 【详解】（1）原式 （2）解：方程两边乘得 整理得-4x=12 解得 检验：当时， 所以，原分式方程的解为 【点睛】本题考查二次根式的混合运算及解分式方程，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解题关键，解分式方程时注意最后要检验是否有增根. 19. 因式分解：（1）a4－16； （2）ax2－4axy＋4ay2． 【答案】(1)(a2+4)(a+2)(a﹣2)；(2)a(x﹣2y)2． 【解析】 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式进而得出答案； （2）首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：(1)a4﹣16＝(a2+4)(a2﹣4) ＝(a2+4)(a+2)(a﹣2)； (2)ax2﹣4axy+4ay2 ＝a(x2﹣4xy+4y) ＝a(x﹣2y)2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 20. 某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）.请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校初三学生总数为 人； （2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为 、 ，并补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是 ； （4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是 、 ； （5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？ 【答案】（1）200；（2）50，10；图见解析；（3）；（4）4天，4天；（5）（人） 【解析】 【分析】（1）活动时间为2天的人数除以百分比，即可求解； （2）抽取的人数乘以活动时间为5天和7天的百分比，即可求解； （3）360°乘以活动时间为5天的百分比，即可求解； （4）根据众数，中位数的定义，即可求解； （5）96000乘以活动时间为5天，6天，7天的百分比之和，即可求解． 【详解】（1）20÷0.1=200（人）， 答：该校初三学生总数为200人． 故答案是：200； （2）200×0.05=10（人），200×（1-0.15-0.05-0.1-0.15-0.3）=50（人）， 答：活动时间为5天、7天的学生人数分别为：50人，10人． 故答案是：50，10； 频数直方图，如图所示： （3）360°×0.25=90°， 答：扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是90°． 故答案是：90°； （4）∵活动时间为4天的人数最多， ∴众数是：4天， ∵总人数为200人，按活动时间从小到大排序，第100，101人的活动天数都是4天， ∴中位数是：4天． 故答案是：4天，4天； （5）96000×（0.05+0.15+0.25）=（人）， 答：估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人． 【点睛】本题主要考查扇形统计图和频数直方图，通过观察，找出有用的数据信息，是解题的关键． 21. 如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C （1）求证：AE与⊙O相切于点A； （2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AD=2． 【解析】 【分析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论； （2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可． 【详解】（1）如图，连接OA，交BC于F， 则OA=OB， ∴∠D=∠DAO， ∵∠D=∠C， ∴∠C=∠DAO， ∵∠BAE=∠C， ∴∠BAE=∠DAO， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， 即∠DAO+∠BAO=90°， ∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°， ∴AE⊥OA， ∴AE与⊙O相切于点A； （2）∵AE∥BC，AE⊥OA， ∴OA⊥BC， ∴，FB=BC， ∴AB=AC， ∵BC=2，AC=2， ∴BF=，AB=2， 在Rt△ABF中，AF==1， 在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2， ∴OB=4， ∴BD=8， ∴在Rt△ABD中，AD=． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”． 22. 地和地之间的铁路交通设有特快列车和普通列车两种车次，某天一辆普通列车从A地出发匀速驶向地，同时另一辆特快列车从地出发匀速驶向地，两车与地的距离（千米）与行驶时间（时）的函数关系如图所示. （1）地到地的距离为 千米，普通列车到达地所用时间为 小时； （2）求特快列车与地的距离与的函数关系式； （3）在、两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶小时与普通列车相遇，直接写出地与铁路桥之间的距离 . 【答案】（1）千米，7.5小时；（2）；（3）千米 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据函数图象中的数据可以求得特快列车与地的距离s与t之间的函数关系式； （3）根据图象可知两车相遇时间为2.5小时，从而可以得到特快列车到桥用的时间为2小时，然后根据（2）中的函数解析式即可解答本题． 【详解】（1） 由图象可得，地到地的距离为千米， 普通列车到达地所用时间为：（小时）， （2）设特快列车与地的距离与之间的函数关系式是， 已知点（0， 450），（2.5,150）在直线， ∴把点（0， 450）与（2.5,150）代入函数解析式得 ，解得， 即特快列车与地的距离与之间的函数关系式是； （3）设地与铁路桥之间的距离是千米， ， 答：地与铁路桥之间的距离是千米. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答． 23. 已知等腰，，将一个含角的透明纸片的顶点放在处．将该纸片绕点旋转，设纸片角的两边分别交直线于，两点． （1）当点，在边上时（如图①），求证：； （2）当点在的延长线上，点在上时（如图②），求证：； （3）当点在上，点在的延长线上时（如图③），求证：． 【答案】（1）将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接， ，，，， 等腰，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接， ，，，， 等腰，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接， ，，，， 等腰，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接，进而证明，，得出，根据勾股定理可得，等量代换即可得证． （2）同（1）的方法证明即可． （3）同（1）的方法证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，直线交轴于，交轴于，抛物线经过，交轴负半轴于． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第一象限抛物线上的一点，连接交轴于点，过点作轴的平行线交于点，若，求的面积； （3）在（2）的条件下，点为第二象限抛物线上的一点，交于点，过点作的垂线交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求B、C两点坐标：令直线中得B点坐标，令得C点坐标，因为抛物线过B、C两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组可得、，即得抛物线解析式，再令抛物线，求A点坐标． （2）设延长线交x轴于点H，，由，得，得，由，得，可得四边形为矩形，，当时，，得，即得． （3）过作轴交的延长线于，作交于，得是等腰直角三角形，得，，证明，得，可得，过点作于于点M，过点P作于，则，设，由，得解得，所以． 【小问1详解】 解：对，令，则，解得； 令，则． ∴， 代入抛物线解析式， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设延长线交x轴于点H，， ∵， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过作轴交的延长线于， 则， ∵， ∴， ∴， 作交于， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，是等腰三角形， 过点作于于点M，过点P作于， 则， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $