精品解析：2026年浙江省舟山市定海区定海二中教育集团中考第三次学情自测数学试题

2026年定海二中教育集团初中毕业生学业水平考试第三次数学质量监测 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 物理学中真空光速约为，下列关于该数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，D正确． 5. 如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设三个闸口分别用A、B、C表示，列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果数有3种， ∴甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率为． 6. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱；会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵每人出7钱，会多2钱，即所有人出的总钱数比物价多2钱， ∴，整理得； ∵每人出6钱，差3钱，即所有人出的总钱数比物价少3钱， ∴，整理得； 因此可得方程组． 7. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 8. 如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 9. 如图，在中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿BCA运动，如图1所示，设，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形得出相关线段的长，利用勾股定理和三角形中线的性质求解． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∵D为斜边的中点， ∴， ∴当点运动到点时，的面积最大，且为面积的一半， ∴y的最大值为 ． 10. 如图，正方形的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的位置，分两段求出阴影部分面积关于的函数表达式，再根据函数类型与增减性判断图象形状． 【详解】解：∵点， 根据勾股定理可得正方形边长：， ∴正方形的面积为， ①当时： 直线左侧为等腰直角三角形，其直角边长为， 则， 此段为开口向上的二次函数，图象为上升的曲线； ②当时： 直线右侧为等腰直角三角形，其直角边长为， 右侧三角形面积：， 左侧阴影面积：， 此段为开口向下的二次函数，图象为上升的曲线． 综上，关于的函数图象先为开口向上的抛物线弧，后为开口向下的抛物线弧，符合条件的为选项C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【解析】 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 12. 如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 13. 若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数和的图象分别经过点和， ∴，，即， ∴ 解得， ∴. 14. 如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 【答案】135 【解析】 【详解】解：． 15. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ ． 16. 如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 连接，先证，再证明为的中位线，问题即可得解． 【详解】解：连接，如图， 正方形的边长为4，点是对角线上一点， ，，，， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， 点为中点， 为的中位线， ， ， ， ． 三、解答题（本大题有8小题，第17~21题每小题8分，第22、23题每题各10分，24题12分，共计72分） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式． 18. 洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = （1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； （2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】（1）；； （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 20. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生，________； （2）补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________； （3）若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 【答案】（1） （2）补全条形统计图见详解， （3） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联求解即可； （2）求出级人数即可补全条形统计图，再由级人数占比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角； （3）由级学生人数占比估计该校4000名学生中级学生人数即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图与扇形统计图中级人数及占比可得在这次调查中一共抽取学生数为； 由条形统计图中级人数可得其占比为，则； 【小问2详解】 解：由（1）知这次调查中一共抽取名学生， 则级人数为， 补全条形统计图如下： 扇形统计图中级对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：该校4000名学生中级学生有名． 21. 小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，已知大树与地面垂直，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡度（即）为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求小刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1）1米 （2）13米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，，则，利用勾股定理列方程求出的值； （2）延长交于点，由题意得，在中，，进而求出长，易得到是等腰直角三角形，在中，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示： 在中，， ， ． ， 解得：或（舍去）， 小刚同学从点到点的过程中上升的高度为1米； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 由题意得：， 在中，， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， 在中，， 解得：， 即大树的高度为13米． 22. 如图1，四边形为菱形，，，，，且． （1）求的长； （2）点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）①证明见解析，的最小值为2；②点的横坐标为2 【解析】 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可得出，，从而可求出．再利用菱形的性质结合，可求出，结合含的直角三角形即可求解； （2）①连接，交于，根据菱形的性质及等边三角形的性质可证，得，由点到直线垂线段最短，可知，，再结合菱形的性质及含的直角三角形的性质即可求得，进而即可求解； ②连接，根据等边三角形的性质证，得，，则，可知点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，，则，即： ∵四边形为菱形，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，则是等边三角形， ∴，，则， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短，可知，， ∵四边形为菱形， ∴， 则， 即的最小值为2； ②连接， 由①可知，是等边三角形，是等边三角形， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线， ∵ ∴点的横坐标为． 23. 请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 （1）根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 （2）设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 （3）确定使每日总利润最大的分配方案． 【答案】（1）（或） （2） （3）方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服 【解析】 【分析】（1）安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服，可得加工明制汉服的有人，进一步求解即可； （2）列式，再整理即可； （3）结合（2），再利用二次函数的性质解答即可. 【小问1详解】 解：任务1： ∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服， 则加工明制汉服的有人， ∴，整理得：（或）． 【小问2详解】 解：任务2： 根据题意得：， 整理得：． 【小问3详解】 解：任务3： 由任务2得，， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， 当时，W随x的增大而减小． ∵且x，y均取正整数， ∴当或12时，利润最大． ∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服． 24. 数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，分别是上的两点，连接，若，求证：； （2）如图2，在矩形中，，，是上的一点，连接，若，请求出的值； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交直线于E，垂足为，连接．若，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质得边角关系，结合垂直推出角相等，用证全等； （2）利用矩形性质与垂直，证，得相似比； （3）过点作的垂线，交于点，根据矩形性质及角度关系证明得到结论； （4）过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，作于点N，根据角度关系证明，求出长度，由得到点在以为直径的圆上，半径为，根据圆外一点到圆上一点的距离得到的最小值． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，， ． ， ． ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：四边形为矩形， ， ， ， ， 又， ， ． 【小问3详解】 证明：如图，过点作的垂线，交于点， 则， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 又， ． 又， ， ， ． 【小问4详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，作于点N，则 ， 由轴对称图形的性质可知， ，， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上，半径为， 当点在上时，的值最小， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年定海二中教育集团初中毕业生学业水平考试第三次数学质量监测 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 物理学中真空光速约为，下列关于该数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱；会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 8. 如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 9. 如图，在中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿BCA运动，如图1所示，设，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 10. 如图，正方形的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 利用因式分解计算：_________． 12. 如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 13. 若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 14. 如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 15. 已知，则的值为_________． 16. 如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____． 三、解答题（本大题有8小题，第17~21题每小题8分，第22、23题每题各10分，24题12分，共计72分） 17. 计算：． 18. 洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = （1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； （2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 20. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生，________； （2）补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________； （3）若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 21. 小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，已知大树与地面垂直，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡度（即）为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求小刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度．（参考数据：，，） 22. 如图1，四边形为菱形，，，，，且． （1）求的长； （2）点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 23. 请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 （1）根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 （2）设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 （3）确定使每日总利润最大的分配方案． 24. 数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，分别是上的两点，连接，若，求证：； （2）如图2，在矩形中，，，是上的一点，连接，若，请求出的值； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交直线于E，垂足为，连接．若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $