江苏苏州市昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年高二下学期第二次模块检测数学试题

2026年春季学期蓬高第二次模块检测 高二数学 命题学校：昆山市蓬朗高级中学 命题人：陆星宇 审核人：刘文涛 注意事项： 1．本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟。 2．答题前将自己的姓名，考试号，考场号，座位号等信息填在答题卡指定区域上并准确的涂写考试号。 3．选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，写在其他区域无效！ 4．填空题和解答题的作答，用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的指定区域上。写在试卷或者其他区域均视为无效作答。 5．考试结束后，上交答题卡。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A．3种 B．4种 C．6种 D．9种 2．在我国古代，北斗七星分别被命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光。汉代典籍《春秋运斗枢》中早有相关记载，因其排布形状酷似古时舀酒的斗，故而得名北斗七星。如下图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中点B，D，E，F看作共线，其他任意三点均不共线。若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A．30 B．31 C．34 D．35 3．若，，，则事件A与B满足（ ） A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥 4．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多。现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩。记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A． B． C． D． 5．已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（ ）种 A．48 B．60 C．66 D．72 6．从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成（ ）个没有重复数字的五位数。 A．720 B．936 C．1224 D．1440 7．如图所示，若有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）种 A．1512 B．1346 C．912 D．756 8．若能被7整除，则整数a的可能取值为（ ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法中正确的是（ ） A．3个班级分别从5个不同的景点中选择一处游览，不同的选法总数共有125种 B．测量某一个零件的长度产生的测量误差X是离散型随机变量 C．当时，当且仅当事件A与事件B相互独立 D．在二项式，的展开式中，若各项系数和等于，则展开式中的常数项为 10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（ ） A． B．第2024行中从左往右第1013个数是该行所有数字中最大的数 C．记第n行的第i个数为，则 D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 11．某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续n次命中，那么停止投篮，游戏结束．则下列结论正确的是（ ） A．当时，投篮2次游戏结束的概率为 B．当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量X的概率分布列如表所示，若，则_________． X 1 2 4 P 0．4 a b 13．的展开式中的系数为_________。（用数字作答） 14．将1，2，3，…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字之和都等于15的概率为_________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分） （1）求值：； （2）设，若，且． ①求正整数n的值；②求的值。 16．（本小题15分） 在二项式，的展开式中，若第4项的系数与倒数第4项的系数之比为． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）若将展开式中所有的项随机排成一列，求有理项不相邻的概率P和有理项的系数和Q． 17．（本小题15分） 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素的干扰，接收到的信号数字有可能出现错误。已知发送信号0时，接收信号为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收信号为1和0的概率分别为，，其中：，．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续3次发送的信号均为0时，设其相应3次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）设，当连续4次发送的信号均为1时，设其相应4次接收到的信号数字依次为，，，，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（注：当，，，中任意相邻的数字均不相同时，则取）．举例：若相应4次接收到的信号数字依次为1，1，0，1，则此时。求随机变量X的概率分布列和X的均值． 18．（本小题17分） 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐。已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 19．（本小题17分） 已知，，某同学在学习二项式定理时发现二项式系数具有许多性质，例如：①；②；③．请参考以上性质并结合所学内容解决下列问题： （1）计算：；（用数字作答） （2）证明：当，且时，； （3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数 是关于x的一次函数． 2026年春季学期蓬高第二次模块检测 高二数学参考答案及评分细则2026.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D B C D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 ACD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．16 13．135 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（1）原式 （2）由，得 ， 即， 整理可得 解得或（舍去），所以 当时，有， 两边求导得： 令，得， 所以 16．（1）二项展开式的通项为：． 由题可得：解得． 所以当二项式系数最大时，或4 所以； 以及； 故二项式系数最大的项分别为和． （2）因为，． 当时，为有理项，即有理项有4项 故有理项不相邻的概率为：． 有理项系数和 17．（1）由题可知，化简得 因为，所以当时，的最小值为． （2）由题设知，X的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，； ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为 0010，0100，1101，1011，1001，0110，1100，0011． 因此，； ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，； ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 所以X的概率分布表为 X 1 2 3 4 P 因此，X的均值． 18．（1）设=“第1天选择米饭套餐”，=“第2天选择米饭套餐”，“第1天不选择米饭套餐”． 根据题意，，，． 由全概率公式得． （2）①设“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，． 由全概率公式，得 整理可得：． 因此． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 故通项公式为． ②当n为大于1的奇数时，． 当n为大于1的偶数时，． 综上所述：当时，． 19．（1）原式 ． （2）由题可知 而， 因此 代入原式：， 利用二项式系数和的性质可得： 所以原命题成立． （3）设等差数列，，，…，的公差为d，， 故， 则 ． 因为当时，， 所以，对任意的，是关于x的一次函数． 学科网（北京）股份有限公司 $