河南省开封高级中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

姓 名_____________________ 准考证号_____________________ 2026年普通高等学校招生全国统一考试（全真模拟卷） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区城内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的虚部是（ ） A． B． C．8 D．8i 2．已知是定义域为的奇函数，且当时，．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．1或 4．已知向量，，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知是直线：上的任意一点，若过点作圆：的两条切线，切点分别记为，，则弦长的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 6．在重伯努利试验中，设每次成功的概率为（），则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为．已知，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如，），另外两条相对的侧棱交于一点（如）．已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ） A． B． C． D．- 8．已知函数（），若，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．若随机变量，满足，则 B．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D．若事件，满足，，，则 10．过点的直线交抛物线：于，两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ） A．以为直径的圆过坐标原点 B．若，则 C．若直线的斜率存在，则斜率为 D． 11．已知数列的前项和为，若，（），则（ ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________． 13．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率__________． 14．已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为__________，事件的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在三棱锥中，平面，为等腰三角形，，，为的中点，是的中点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 16．（15分）在中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为外一点，，分别位于直线的两侧，，，，求的面积． 17．（15分）甲、乙两名选手进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （1）若比赛最多进行5局（若打5局，第5局胜者赢得比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望； （2）若不限比赛局数，每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 18．（17分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上，轴，且． （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点、，于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 19．（17分）已知函数（）． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若有3个零点，，（）． （i）求的取值范围： （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试（全真模拟卷） 数学答案 1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 9．AB 10．ACD 11．ABD 12． 13． 14．，或0.7 15．【详解】（1）在平面中，以为原点，所在直线为轴，作轴， 因为平面，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，，， ，，因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为，平面，所以平面； （2）因为轴平面，所以平面的一个法向量为及，， 设平面的一个法向量为，，， 取，则，，所以，设平面与平面的夹角为， ，，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 16．【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理可得，所以， 所以，又，则， 所以，则，，所以． （2）由（1）知，，， 在中，由正弦定理得，，所以． 又，，，所以， 故，即． 又，所以，，所以． 又， 所以的面积为． 17．【详解】（1）由题意得的所有可能取值为2，4，5，则， ， ． 所以的分布列为 2 4 5 所以的期望． （2）设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”． 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是，，，，其中事件表示“甲赢得比赛”， 事件表示“乙赢得比赛”，事件，表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得， 而，所以． 18．【答案】（1） （2）①，②过定点． 【详解】（1）因为椭圆：（），焦点，，，， 由轴，点的横坐标为1，代入椭圆方程：，，，． 联立方程组：，解得，，∴椭圆的方程为：． （2）由（1）知点，为直线，由，得， 设直线的方程为，，，则联立：， 消元得：，，所以， 由韦达定理：，． ①，则， 令（），则，所以， 由均值不等式，当且仅当时取等号，． ②直线过点和，方程为：． 令，得，将代入：， 由韦达定理得，代入化简：， ∴直线恒过定点． 19．【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【详解】（1），求导可得， 因为在上单调递增，所以当时，，即， 设（），求导可得， 令，即，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此的极大值为，即，所以的取值范围是． （2）（ⅰ）令，可得， 因为有三个零点，所以，因此可得有3个不同的实数根， 设（），求导可得， 令，即，可得， 当时，，单调递增，的值域为， 当时，，单调递减，的值域为， 所以当且仅当时，有3个不同的实数根，的取值范围是． （ⅱ）证明：，， ∵当时，单调递增，当时，单调递减，且，， ，，，，， 在上单调递增，，，， ∴证明可以转化成证明，即证， ，化简可得，，， 设，可得（）， ∴证明可以转换为证明当时，即证， 设（），则， ∵当时，，在上单调递增，，， ，． 学科网（北京）股份有限公司 $