河南省开封高级中学2026届高三下学期模拟预测（三）数学试题

参考答案及解析 高三数学（三） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C A B B C D BC ACD AB 三、填空题 12． 13．12 14．7 21 四、解答题 15．（1）证明：法一：连接，交于点，连接，，如图． 因为四边形是矩形，所以是的中点． 又是的中点，所以，且． （1分） 又，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以． （3分） 又平面，平面，所以平面． （5分） 法二：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接． 因为为的中点，且，所以． 又为的中点，且，所以， 所以，则． （3分） 因为平面，平面，所以平面． （5分） （2）解：如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，， 所以，，，． （8分） 设平面的法向量为， 则即 令，得，，则． 设平面的法向量为， 则即 令，得，，则． （10）分 设平面与平面的夹角为， 则， （12分） 所以平面与平面夹角的余弦值为． （13分） 16．解：（1）由的焦点可知的半焦距， （1分） 因为的离心率为， 所以，则． （2分） 又，所以， （3分） 故的方程为． （4分） （2）设直线的方程为，，． 由得， 则，， 所以． （6分） 则线段的垂直平分线的方程为， 即． （8分） 若，则线段的垂直平分线过点， 所以， 化简整理得， 解得或． （10分） 当时，因为，， 所以； （12分） 当时，因为，， 所以． （14分） 综上，的值为或． （15分） 17．解：（1）设事件表示甲队第局获胜， 则前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为 ． （3分） （2）设事件为甲获得本场比赛的胜利， 则， （5分） ， （7分） 故．（9分） （3）根据题意得的所有可能取值为，，， 其中， （11分） ， （12分） ， （13分） 则的分布列为 （14分） 所以． （15分） 18．（1）解：因为，且， 所以， 即， 所以． （4分） 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， （5分） 所以， 故． （7分） （2）证明：因为，且， 所以 ， （9分） 所以． 又， 所以， 所以， ． （10分） 当时，不妨设满足的情况共有个，满足的情况共有个．记中大于1的项为，，…，中大于1的项为，，…，，它们恰为，，⋯，中的项．记中小于1的项为，，⋯，，中小于1的项为，，…，，它们恰为，，⋯，中的项，其中，所以． （14分） 又由上可知， （15分） 所以． （17分） 19．（1）解：不是的极值点，理由如下： （1分） 若，则， 所以． （2分） 令，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， （4分） 所以，在上单调递减， 所以不是的极值点． （5分） （2）解：若，则， 所以． （7分） 因为在区间上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点， （9分） 故的极小值为，无极大值． （10分） （3）证明：当时， ． （12分） 因为函数在定义域上单调递减，函数在定义域上单调递增，且当时，， 所以，且， 所以． （14分） 由（1）可知，即， 所以． （16分） 又函数在定义域上单调递增，且当时，， 所以． 综上，当时，．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓 名___________________ 准考证号___________________ 绝密★启用前 高三数学（三） 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．已知圆台的上底面半径为1，母线长为4，表面积为，则该圆台的高为 A．3 B． C． D． 4．已知等差数列的前5项和为45，且，则 A．37 B．38 C．41 D．43 5．若函数是奇函数，则 A． B． C． D． 6．已知的外接圆半径为2，若，则的最大值为 A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，线段交C于点G，且直线在y轴上的截距为，则C的离心率为 A． B． C． D． 8．已知函数，若，分别为的极大值点和极小值点，且在区间上单调，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的 A．极差为4 B．中位数为6.5 C．平均数为7 D．方差为3.5 10．已知四棱锥的底面是矩形，且点P在底面上的射影恰为的中点，E，F分别为，的中点，则 A．平面 B． C．当时， D．当是边长为的等边三角形时，四棱锥的体积为 11．已知抛物线的焦点为，的所有顶点均在上，且，则 A． B．为定值 C．可能是等边三角形 D．可能是直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则的最小值为_____________． 13．设，为正数，若，且，则_____________________． 14．在中，，，，则，的面积为___________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设点，过点且不与坐标轴垂直的直线交于，两点，且，求． 17．（15分） 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． （1）求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； （2）在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； （3）记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 18．（17分） 已知数列，满足． （1）若..，且，求的通项公式； （2）若，，设，数列，，…，为，，…，与，，…，的所有项按从小到大的顺序排列所得到的数列，证明：． 19．（17分） 设，函数，． （1）若，判断是否为的极值点，并说明理由； （2）若，求的极值； （3）若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $