精品解析：天津市滨海新区塘沽第十三中学2025-2026学年高一第二学期第一次月考数学试题

塘沽十三中2025—2026学年度第二学期 高一年级学情调研考试数学学科考试 一、单选题（4×10=40） 1. 下列命题正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量相等及零向量的定义判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误； 对于C：零向量有方向，其方向任意，故C错误； 对于D：模为0，故D正确. 故选：D． 2. 设复数的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由可得，则的虚部为3， 故选：D． 3. 化简 的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加减法的运算法则逐步化简 【详解】计算：由向量加法的三角形法则， 处理：向量减法转化为加法，即 计算：再次应用三角形法则， 综上，化简结果为 故选：D. 4. 若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A. 且 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：B. 5. 在中，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理结合三角形大边对大角性质即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 6. 已知为虚数单位，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等即可求解. 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则，， 而，则，所以与的夹角为. 故选：B 8. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 9. 在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直角三角形中，求得，在中，由正弦定理求得，再在等腰直角求得． 【详解】在直角中，，则， 在中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角中，直角边， 故选：A． 10. 已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】设，，则， 点D，E分别是边AB，BC的中点，， ，， 则， ． 故选：B. 二、填空题 11. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得参数范围. 【详解】由复数在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故答案为：. 13. 在中，若，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，令，则、，再由余弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理（为外接圆的半径）， 又，所以， 令，则、， 所以， 又，所以． 故答案为： 14. 已知平面向量，，，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，且与的夹角为， 所以， 所以. 故答案为： 15. 在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理求得边b，再利用余弦定理结合，求得a,c，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，，外接圆半径为， 所以，则， 由余弦定理得，即， 又因为，解得， 所以的面积是 ， 16. 在边长为的菱形中，，且，，则_______；若为线段上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】依题意可得，根据平面向量线性运算及基本定理求出、，建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，利用坐标法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，由，所以， 所以，因为为线段上的动点， 设，所以，所以， 所以， 所以 ，所以当时取得最小值，且最小值为. 故答案为：； 三、解答题（36分） 17. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得. （2）先求得，然后利用正弦定理求. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得，则， 由于，所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 由于，所以是锐角，所以， 由，则. 18. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用数量积为0可求参数； （3）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【小问1详解】 由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． 【小问2详解】 由已知，得， ， 又向量与向量垂直，所以， 即，解得． 【小问3详解】 由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 19. 已知中，角、、的对边分别为、、.且. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简求出； （2）①利用面积公式、正弦定理、余弦定理求出边长即可； ②利用正弦定理求出，再利用两角差的正弦公式求得. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 因为， 所以， 则， 因为，所以，得， 因为，所以； 【小问2详解】 ①因为的面积为，所以，得， 由及正弦定理可得，则， 由余弦定理得，得， 则的周长为； ②由正弦定理得，， 则， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽十三中2025—2026学年度第二学期 高一年级学情调研考试数学学科考试 一、单选题（4×10=40） 1. 下列命题正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 2. 设复数的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 3 3. 化简 的结果等于（ ） A. B. C. D. 4. 若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A. 且 B. C. D. 或 5. 在中，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知为虚数单位，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 8. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9. 在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（ ）. A. B. C. D. 10. 已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题 11. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 12. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是____________． 13. 在中，若，则的大小是________． 14. 已知平面向量，，，且与的夹角为，则_________. 15. 在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 16. 在边长为的菱形中，，且，，则_______；若为线段上的动点，则的最小值为_______． 三、解答题（36分） 17. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； 18. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 19. 已知中，角、、的对边分别为、、.且. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $