吉林东北师范大学附属中学2026届高三考前模拟考试数学试题

2026年 高三年级 模拟考试 数学科试题答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D B A B C 题号 9 10 11 答案 BD ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (13分) （1）证明：由题意，在数列中，， -----1分 ∴，， -----3分 又满足， -----4分 ∴是以为首项，为公差的等差数列. -----6分 （2）解：在中， -----7分 -----10分 ∴， ∴ -----13分 16. (15分) 解：（1）在平行六面体中，令，，， 由正方形ABCD边长为2，得，而，， 则，，-----2分 因， 则，则，即，-----4分 又底面ABCD是边长为2的正方形，则AC⊥DB，，AC，平面， 所以BD⊥平面． -----8分 （2）由（1）得， 设平面的法向量， 则， 不妨取z=8，得x=-3，y=15则，-----10分 由（1）知平面的法向量，-----11分 又， ， ， 故，-----14分 所以平面与平面夹角的余弦值为．-----15分 17． (15分) 解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为：，-----1分 甲同学三分球投篮命中的概率为：-----2分 设甲同学累计得分为X， 则P（X≥4）＝P（X＝4）+P（X＝5）＝0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5＝0.3， ∴甲同学通过测试的概率为0.3．-----7分 （2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2， 设乙同学累计得分为Y， 则P（Y＝4）＝0.8×0.4×0.4＝0.128，-----8分 P（Y＝5）＝0.2×0.4+0.2×0.6×0.4＝0.128，-----9分 设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B， 则P（AB）＝P（X＝5）P（X＝4）＝0.075×0.128＝0.0096，-----10分 P（B）＝[P（X＝4）+P（X＝5）]•[P（Y＝4）+P（Y＝5）]＝0.0768，-----12分 由条件概率得： P（A|B）＝．-----15分 18．(17分) 解：（1）由， 可得，-----1分 整理得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，-----2分 法一：令，则，因为，所以，-----3分 又由，所以在上恒成立，即，，-----4分 设，则，， 所以在上单调递减，只需，所以的取值范围为. -----5分 法二：设，-----1分 由，得．-----2分 ， 因为，，所以，-----3分 故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 又因为，所以，所以的取值范围为. -----5分 （2）当时，，令， 则，. -----6分 （ⅰ）因为，且，所以当时，， 由得，. -----7分 （ⅱ）令，得，函数的图象如图所示，又当时，．-----8分 ①当或时，即或时，方程在上没有解，无零点； -----9分 ②当时，即时，方程的解为，则，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，如图， 则，，，所以该数列不是等差数列，-----10分 ③当时，即时，方程在内恰有两个解，设方程的解为，且，，作出函数，，图象如下， 方程和的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，则，与矛盾，-----11分 ④当时，即时，方程在内只有一个解，设方程的解为，且，作出函数，，图象如下， 方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，与矛盾，-----12分 ⑤若，即时，方程在内的解为，所以，所以，所以方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为，该数列为等差数列，满足条件；-----14分 ⑥当时，即时，方程在内有两个解，，由，可得，，由，可得或，， 所以方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足，，， 所以，所以该数列为等差数列，-----16分 综上所述，当或时，方程的正实数解即的正实数零点按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列. -----17分 19.（1）解：由题意可得，-----1分 则，抛物线方程为，准线方程为．-----4分 （2）设，，，重心，令，，则． -----5分 由于直线过，故直线方程为，代入，得， 故，即，所以．-----7分 又由于，，重心在轴上，故， 得，．-----9分 ，故，故 -----10分 （3）由（2）设 ，，． 所以，直线方程为，得． -----11分 由于在焦点的右侧，故．从而 ．-----14分 令，则，．-----16分 当时，取得最小值，此时． -----17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有 A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 6．已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为 A． B． C． D． 7．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某种水果成熟后重量为左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出个水果，称得它们重量如下：，，，，，，，，，（单位：g），重量在（g）内的水果为优质水果，则 A．这个数据的第百分位数为 B．这个数据的中位数与众数相等 C．从这个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大 D．估计这块水果园中优质水果占 10．已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则 A． B． C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 11．如图，在棱长为2的正方体中，M是棱的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是 A．三棱锥的体积为定值 B．若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C．若与所成角为，则的取值范围为 D．若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积为________． 13．已知幂函数的图象过点，函数满足，则实数m的取值范围是________． 14．已知圆M的方程为，圆N的方程为，直线l与圆N相切，与圆M交于A，B两点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列的前项和（）． （1）证明：为等差数列； （2）设（），求． 16．（15分） 如图，在平行六面体中，，底面是边长为的正方形，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮． 甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表： 若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率． 18．（17分） 已知，，函数，． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）设． （ⅰ）若的最大值为，求的值； （ⅱ）将函数的所有正实数零点按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． 19．（17分） 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． （1）求抛物线的标准方程； （2）若，求点的坐标； （3）记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $