专题03 一次函数（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材湘教版

专题03 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 从函数的图象获取信息 题型02 一次函数的图象与性质（含参数讨论） 题型03 一次函数与方程、不等式（数形结合） 题型04 动点问题与几何图形面积 题型05 一次函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念与表示法 1. 理解变量与常量的定义，能准确找出关系式中的变量。2. 掌握函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法）。3. 会求自变量的取值范围及函数值。 常考题型：选择题、填空题命题热点：1. 识别函数图象：给出一个图象，判断y是否是x的函数（垂直于x轴的直线与图象最多一个交点）。2. 实际问题的图象：如水位变化、路程时间图，判断图象走势是否符合实际情境。 一次函数的图象与性质 1. 掌握一次函数 的图象特征（一条直线）。2. 熟练掌握 和 对图象位置的影响（经过的象限）。3. 理解正比例函数是特殊的一次函数。 常考题型：选择题、填空题命题热点：1. 系数符号判断：根据图象经过的象限，判断 、 的正负。2. 图象平移：掌握“上加下减（b），左加右减（x）”的平移规律。3. 增减性比较：比较不同点的函数值大小，需看 的正负。 待定系数法求解析式 1. 掌握利用方程组确定一次函数解析式的方法。2. 能根据平行或垂直关系设出解析式（平行则 相同）。 常考题型：解答题（基础分）命题热点：1. 直接给点求式：给出两点坐标，求 和 。2. 给比例关系求式：如 与 成正比例，设 。3. 平移后过点求式：先根据平移确定 ，再代入点求 。 一次函数与方程、不等式 1. 理解函数值 、 、 对应的图象位置。2. 掌握两直线交点坐标的求法（解方程组）。 常考题型：填空题、解答题命题热点：1. 解不等式：看图象，找 时对应的 范围（图象在x轴上方）。2. 比较函数值大小：看图象，找一条直线在另一条直线上方时的 范围。3. 交点问题：两直线交点即为对应方程组的解。 一次函数的应用 1. 能从实际问题中抽象出一次函数模型。2. 掌握分段函数的图象分析（如阶梯水费、出租车计费）。3. 能利用函数性质解决最值或方案选择问题。 常考题型：解答题（压轴题）命题热点：1. 行程问题：相遇、追及问题的图象分析（斜率代表速度）。2. 最优方案问题：给出两种收费方式（解析式），比较在不同区间哪种更便宜。3. 几何动点问题：结合三角形、四边形面积变化，写出函数关系式并求最值。 知识点01 函数和它的表示法 变量与常量:在讨论的问题中,取值会发生变化的量称为变量,取值固定不变的量称为常量(或常数). 函数:一般地,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作 y=f(x),x叫作自变量,y叫作因变量,对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a). 表示函数的方法一般有列表法、公式法和图象法. 示例： 在圆的周长公式 中： 常量： 和 （数值固定不变）。 变量： （周长）和 （半径），因为半径变化时，周长也随之变化。 函数关系： 是 的函数，因为对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应。 易错点：常量与变量混淆： 错误： 认为 是变量。 纠正： 是一个固定的常数（约3.14159），属于常量，不能因为它的小数位很长就误以为是变量。 函数判断失误（多值对应）： 错误： 认为 是函数。 纠正： 当 时， 可以是 或 ，即一个 值对应两个 值，不满足“唯一对应”，因此 不是 的函数。 自变量取值范围遗漏： 错误： 在函数 中，忘记排除 。 纠正： 分母不能为零，所以自变量 的取值范围是 的所有实数。 知识点02 一次函数 关于自变量的一次式的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数. 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 示例： 定义示例： 是一次函数（ ）； 是正比例函数（ ）。 易错点： 正比例函数与一次函数的关系混淆： 错误： 认为“一次函数就是正比例函数”。 纠正： 正比例函数是特殊的一次函数（当 时）。所有的正比例函数都是一次函数，但不是所有的一次函数都是正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 图象:一般地,正比例函数y=kx(k为常数,≠0)是一条经过原点的直线. 性质:①当k>0时,直线 y=kx 经过第一、三象限且从左向右上升,y随x的增大而增大. ②当k<0时,直线 y=kx 经过第二、四象限且从左向右下降,y随x的增大而减小. 一次函数 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0 时，向下平移). 一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:当k>0时,y的值随着x值的增大而增大当k<0时,y的值随着x值的增大而减小, 示例： 图象性质示例： 直线 y=2x+1： k=2>0，图象从左向右上升，经过一、二、三象限。 直线 y=−x+3： k=−1<0，图象从左向右下降，经过一、二、四象限。 易错点： 平移方向记反： 错误： 将 向上平移3个单位写成 。 纠正： “上加下减”：向上平移加在 上（ ）；向下平移减在 上（ ）。 知识点04 一次函数的应用 掌握应用一次函数解决实际问题的步骤 (1)建立函数模型; (2)求出函数表达式; (3)根据函数表达式画出函数图象; (4)根据函数图象的性质或自变量的取值情况解答问题. 示例：某手机套餐月租费10元，每通话1分钟收费0.2元。 模型建立：设通话时间为 分钟，费用为 元。 函数解析式： 。 应用：若通话100分钟，费用 元。 易错点： 实际问题的自变量取值范围： 错误： 在上述通话费问题中，写 的取值范围是全体实数。 纠正： 结合实际，通话时间不能为负数，也不能是小数（通常按整分钟计），所以 应为非负整数。 分段函数漏写区间： 错误： 水费问题中，用水量 吨时单价2元， 吨时超出部分单价3元。只写 而不注明 。 纠正： 必须分段写出解析式，并标明对应的 范围，否则解析式是不完整的。 单位换算遗漏： 错误： 题目给的时间单位是“分钟”，速度单位是“千米/小时”，直接代入计算。 纠正： 列式前先统一单位，否则结果会出错（如 小时 分钟）。 知识点05 一次函数与一元一次方程的关系 (1)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解. (2)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解. 示例： 求直线 与 轴的交点。 解法：令 ，即解方程 。 结果： 。所以交点坐标为 。 易错点： 交点坐标的书写形式： 错误： 问“交点是什么”，只回答 。 纠正： 交点是一个点，必须写成坐标形式 。 混淆“与x轴交点”与“与y轴交点”： 错误： 求与 轴交点时，令 。 纠正： 与 x 轴 交点：令 y=0，求 。 与 y 轴 交点：令 x=0，求 （即 的值）。 方程无解的情况： 错误： 认为所有一次函数都有 轴交点。 纠正： 如果函数是 （ ，即水平线），它与 轴没有交点，对应的方程 无解。 题型一 从函数的图象获取信息 解｜题｜技｜巧 横纵坐标要分清：横轴（x轴）通常表示自变量（如时间、路程），纵轴（y轴）通常表示因变量（如速度、费用）。看懂轴代表什么，题目就懂了一半。 关键点定位法：重点关注图象的起点、终点、拐点（折线转折处）和交点。 拐点：通常代表运动状态改变（如从“行驶”变为“休息”）或计费标准改变（如“起步价”变“超程价”）。 与x轴交点：代表函数值为0（如距离回到原点、费用结清）。 走势判断增减：图象上升代表y随x增大而增大；图象下降代表y随x减小而减小。 易｜错｜点｜拨 “速度”与“斜率”的关系：在路程-时间（s-t）图中，图象越陡（斜率绝对值越大），速度越快；水平线段代表静止（速度为0）。 “往返”问题的陷阱：如果图象纵坐标是“距离出发地的路程”，那么当物体返回时，纵坐标会减小；如果纵坐标是“行驶的总路程”，纵坐标只会增加或不变。务必看清纵轴标题！ 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（   ） A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长 C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少 【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (3)图中表示的数是______；表示的数是______； (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之间的路线图．小明与小红均从小石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭． 小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图2所示． 景区内有一班游览车从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上下车时间忽略不计）．小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图3所示． (1)图2中的自变量是______，因变量是______． (2)小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为______，在花圃游玩后，小明以的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了______ (3)游览车的平均速度是______，若小红和游览车的出发时刻均为早上，则小红在早上______（填时刻）从花圃上车前往石塔． 题型二 一次函数的图象与性质（含参数讨论） 解｜题｜技｜巧 “k定象限，b定交点”口诀： k > 0：图象必过一、三象限（左低右高）。 k < 0：图象必过二、四象限（左高右低）。 b > 0：与y轴交于正半轴（图象向上飘）。 b < 0：与y轴交于负半轴（图象向下沉）。 参数讨论“两步走”： 第一步：根据图象上升/下降判断k的符号。 第二步：根据图象与y轴交点位置判断b的符号。 综合两者即可确定图象经过的象限。 易｜错｜点｜拨 忽略 ：题目给出 是一次函数，隐含条件是 ，即 。如果题目问“当m为何值时图象不经过第二象限”，必须先排除 的情况。 平行与平移混淆：直线 向右平移 个单位，解析式变为 ，不要直接写成 。 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 【变式5】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 题型三 一次函数与方程、不等式（数形结合） 解｜题｜技｜巧 方程交点：求方程 的解 看直线与 x轴 交点的横坐标。 不等式上下关系： 解 找图象在 x轴上方 的部分对应的x范围。 解 找图象在 x轴下方 的部分对应的x范围。 两函数大小比较：比较 和 的大小 找交点，“谁在上，谁就大”。 易｜错｜点｜拨 不等式方向与k值混淆：有些同学死记“大于取两边”，但在函数图象中，只看位置高低，不看k的正负。交点左侧还是右侧，取决于图象的具体走势。 “非负”与“正”的区别：题目问“函数值非负”，即 ，解集包含交点（等号成立）；题目问“函数值为正”，即 ，解集不包含交点。 【典例1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，函数和（k，b为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 题型四 动点问题与几何图形面积 解｜题｜技｜巧 化动为静：在某一运动时刻 ，画出点的瞬时位置，用含 的代数式表示出线段长度。 面积公式转化：将几何面积公式（如三角形 ）转化为关于 的代数式。 分类讨论思想：如果动点经过拐点（如从一条边走到另一条边），必须分段讨论（例如： 时， 时）。 易｜错｜点｜拨 自变量取值范围遗漏：这是动点问题扣分最严重的地方！求出解析式后，必须紧接着写出 的取值范围（根据点的运动速度和路径总长计算）。 线段长度表示错误：当点在数轴负半轴或向左运动时，线段长度需要用绝对值或大减小来表示，确保结果为正。 【典例1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． (1)当直线l经过原点O时，求它的表达式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； (3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，为直角三角形？ (2)点为坐标平面内一点，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形为菱形，并写出此时点的坐标． 【变式3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）（1）如图1，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：； （2）如图2，平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点M、N，过直线上x轴下方的点S，作直线轴，垂足为T，P为的中点，点R在线段上，点Q在线段上，且，若存在点使得直线过，请用m的代数式表示n，并直接写出n的变化范围． 题型五 一次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 方案选择“三步曲”： 设：设自变量和因变量（如设时间 ，费用 ）。 列：列出两种方案的解析式 和 。 比：令 求出临界值 ，然后分段比较（ 时选谁， 时选谁）。 分段函数“分界点”：如出租车计费，起步价包含前3公里，那么分界点就是 。超过部分的费用计算时，不要忘记减去前3公里。 易｜错｜点｜拨 实际意义限制：函数图象在数学上是一条直线，但在实际问题中（如买苹果、坐车），自变量通常只能取非负整数或正数，图象实际是一些孤立的点或射线，不要画成无限延伸的直线。 单位统一：题目中出现“千米”和“米”，或者“小时”和“分钟”混用时，列式前必须先统一单位。 【典例1】（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）一天上午9时，小明去爬一座1000米高的大山，爬了30分钟后，感觉体力不支，于是休息了一会儿，然后减速爬到山顶，他距山脚出发地的路程（单位：米）与所用时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小明刚开始爬山时的速度为___________米/分钟，他在中途休息了___________分钟． (2)求小明减速后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)上午10时，小明距离山顶还有多少米？ 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【变式4】（25-26九年级下·河南周口·期末）某农户购进甲、乙两种插秧机，已知甲比乙每小时多插1亩，甲插18亩与乙插12亩时间相同． (1)求甲、乙每小时插秧亩数； (2)安排共10台机器，每小时完成不少于24亩，甲费用80元/台，乙60元/台，求每小时最少费用． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 4．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 5．（25-26七年级上·山东威海·期末）一座水库汛期时的水位在最近5小时内持续上涨．下表记录了该时间段内6个时刻的水位高度，其中t（小时）表示时间，y（米）表示水位高度． t 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)写出y与t间的函数表达式； (2)估计水位的上涨规律还会持续2小时，求再过2小时的水位高度． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 2．（24-25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知点关于轴的对称点在直线上，则的值为___________． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，是一次函数的图象上的两个点，则a与b的大小关系是________． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 3．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 4．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 从函数的图象获取信息 题型02 一次函数的图象与性质（含参数讨论） 题型03 一次函数与方程、不等式（数形结合） 题型04 动点问题与几何图形面积 题型05 一次函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念与表示法 1. 理解变量与常量的定义，能准确找出关系式中的变量。2. 掌握函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法）。3. 会求自变量的取值范围及函数值。 常考题型：选择题、填空题命题热点：1. 识别函数图象：给出一个图象，判断y是否是x的函数（垂直于x轴的直线与图象最多一个交点）。2. 实际问题的图象：如水位变化、路程时间图，判断图象走势是否符合实际情境。 一次函数的图象与性质 1. 掌握一次函数 的图象特征（一条直线）。2. 熟练掌握 和 对图象位置的影响（经过的象限）。3. 理解正比例函数是特殊的一次函数。 常考题型：选择题、填空题命题热点：1. 系数符号判断：根据图象经过的象限，判断 、 的正负。2. 图象平移：掌握“上加下减（b），左加右减（x）”的平移规律。3. 增减性比较：比较不同点的函数值大小，需看 的正负。 待定系数法求解析式 1. 掌握利用方程组确定一次函数解析式的方法。2. 能根据平行或垂直关系设出解析式（平行则 相同）。 常考题型：解答题（基础分）命题热点：1. 直接给点求式：给出两点坐标，求 和 。2. 给比例关系求式：如 与 成正比例，设 。3. 平移后过点求式：先根据平移确定 ，再代入点求 。 一次函数与方程、不等式 1. 理解函数值 、 、 对应的图象位置。2. 掌握两直线交点坐标的求法（解方程组）。 常考题型：填空题、解答题命题热点：1. 解不等式：看图象，找 时对应的 范围（图象在x轴上方）。2. 比较函数值大小：看图象，找一条直线在另一条直线上方时的 范围。3. 交点问题：两直线交点即为对应方程组的解。 一次函数的应用 1. 能从实际问题中抽象出一次函数模型。2. 掌握分段函数的图象分析（如阶梯水费、出租车计费）。3. 能利用函数性质解决最值或方案选择问题。 常考题型：解答题（压轴题）命题热点：1. 行程问题：相遇、追及问题的图象分析（斜率代表速度）。2. 最优方案问题：给出两种收费方式（解析式），比较在不同区间哪种更便宜。3. 几何动点问题：结合三角形、四边形面积变化，写出函数关系式并求最值。 知识点01 函数和它的表示法 变量与常量:在讨论的问题中,取值会发生变化的量称为变量,取值固定不变的量称为常量(或常数). 函数:一般地,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作 y=f(x),x叫作自变量,y叫作因变量,对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a). 表示函数的方法一般有列表法、公式法和图象法. 示例： 在圆的周长公式 中： 常量： 和 （数值固定不变）。 变量： （周长）和 （半径），因为半径变化时，周长也随之变化。 函数关系： 是 的函数，因为对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应。 易错点：常量与变量混淆： 错误： 认为 是变量。 纠正： 是一个固定的常数（约3.14159），属于常量，不能因为它的小数位很长就误以为是变量。 函数判断失误（多值对应）： 错误： 认为 是函数。 纠正： 当 时， 可以是 或 ，即一个 值对应两个 值，不满足“唯一对应”，因此 不是 的函数。 自变量取值范围遗漏： 错误： 在函数 中，忘记排除 。 纠正： 分母不能为零，所以自变量 的取值范围是 的所有实数。 知识点02 一次函数 关于自变量的一次式的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数. 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 示例： 定义示例： 是一次函数（ ）； 是正比例函数（ ）。 易错点： 正比例函数与一次函数的关系混淆： 错误： 认为“一次函数就是正比例函数”。 纠正： 正比例函数是特殊的一次函数（当 时）。所有的正比例函数都是一次函数，但不是所有的一次函数都是正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 图象:一般地,正比例函数y=kx(k为常数,≠0)是一条经过原点的直线. 性质:①当k>0时,直线 y=kx 经过第一、三象限且从左向右上升,y随x的增大而增大. ②当k<0时,直线 y=kx 经过第二、四象限且从左向右下降,y随x的增大而减小. 一次函数 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0 时，向下平移). 一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:当k>0时,y的值随着x值的增大而增大当k<0时,y的值随着x值的增大而减小, 示例： 图象性质示例： 直线 y=2x+1： k=2>0，图象从左向右上升，经过一、二、三象限。 直线 y=−x+3： k=−1<0，图象从左向右下降，经过一、二、四象限。 易错点： 平移方向记反： 错误： 将 向上平移3个单位写成 。 纠正： “上加下减”：向上平移加在 上（ ）；向下平移减在 上（ ）。 知识点04 一次函数的应用 掌握应用一次函数解决实际问题的步骤 (1)建立函数模型; (2)求出函数表达式; (3)根据函数表达式画出函数图象; (4)根据函数图象的性质或自变量的取值情况解答问题. 示例：某手机套餐月租费10元，每通话1分钟收费0.2元。 模型建立：设通话时间为 分钟，费用为 元。 函数解析式： 。 应用：若通话100分钟，费用 元。 易错点： 实际问题的自变量取值范围： 错误： 在上述通话费问题中，写 的取值范围是全体实数。 纠正： 结合实际，通话时间不能为负数，也不能是小数（通常按整分钟计），所以 应为非负整数。 分段函数漏写区间： 错误： 水费问题中，用水量 吨时单价2元， 吨时超出部分单价3元。只写 而不注明 。 纠正： 必须分段写出解析式，并标明对应的 范围，否则解析式是不完整的。 单位换算遗漏： 错误： 题目给的时间单位是“分钟”，速度单位是“千米/小时”，直接代入计算。 纠正： 列式前先统一单位，否则结果会出错（如 小时 分钟）。 知识点05 一次函数与一元一次方程的关系 (1)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解. (2)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解. 示例： 求直线 与 轴的交点。 解法：令 ，即解方程 。 结果： 。所以交点坐标为 。 易错点： 交点坐标的书写形式： 错误： 问“交点是什么”，只回答 。 纠正： 交点是一个点，必须写成坐标形式 。 混淆“与x轴交点”与“与y轴交点”： 错误： 求与 轴交点时，令 。 纠正： 与 x 轴 交点：令 y=0，求 。 与 y 轴 交点：令 x=0，求 （即 的值）。 方程无解的情况： 错误： 认为所有一次函数都有 轴交点。 纠正： 如果函数是 （ ，即水平线），它与 轴没有交点，对应的方程 无解。 题型一 从函数的图象获取信息 解｜题｜技｜巧 横纵坐标要分清：横轴（x轴）通常表示自变量（如时间、路程），纵轴（y轴）通常表示因变量（如速度、费用）。看懂轴代表什么，题目就懂了一半。 关键点定位法：重点关注图象的起点、终点、拐点（折线转折处）和交点。 拐点：通常代表运动状态改变（如从“行驶”变为“休息”）或计费标准改变（如“起步价”变“超程价”）。 与x轴交点：代表函数值为0（如距离回到原点、费用结清）。 走势判断增减：图象上升代表y随x增大而增大；图象下降代表y随x减小而减小。 易｜错｜点｜拨 “速度”与“斜率”的关系：在路程-时间（s-t）图中，图象越陡（斜率绝对值越大），速度越快；水平线段代表静止（速度为0）。 “往返”问题的陷阱：如果图象纵坐标是“距离出发地的路程”，那么当物体返回时，纵坐标会减小；如果纵坐标是“行驶的总路程”，纵坐标只会增加或不变。务必看清纵轴标题！ 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)8；24；17 (2)t或 (3)或或 【分析】本题考查动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图象信息． （1）因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度；由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （2）分两和情况，由三角形面积可得出答案； （3）分，，三种情况，利用矩形的判定及性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 根据题意得： ， ∵， ∴ ． ∴图2中的值为，的值为． 故答案为：8；24；17． （2）解：①当点P在上时， ， ∴， 此时； ②当点P在上时， ， ∴， 即还剩，P点运动到A点， ∴此时， 综上，或时，的面积S是15； （3）解：如图，当时，， 如图，当时，过点作于， ∴ 由题意得 ∴四边形是长方形， ∴， ∴； 如图，当时， ， 综上，若是等腰三角形时，的值为或或． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（   ） A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长 C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少 【答案】B 【分析】从图象中获取信息进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，从1800年开始年增长率有升有降，世界人口数量不断增长， 故只有选项B正确. 【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (3)图中表示的数是______；表示的数是______； (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（）根据图像找到无人机在米高空的起止时间，用结束时间减去开始时间，算出停留时长； （）利用分钟的高度变化，根据速度公式求出无人机上升/下降的速度即可； （）分别计算上升到米的时间，以及从米下降到地面的时间，即可得出答案； （）先算出第12分钟到第分钟的下降高度，用米减去下降高度，得到此时的飞行高度． 【详解】（1）解：由图像可知，无人机在米高空时，对应时间从分钟到分钟， 停留时间为（分钟）； （2）解：分钟内，无人机分钟上升了（米）， 因此上升/下降速度为（米/分钟）； （3）解：求：无人机从原点上升到米，速度为米/分钟， 时间； 求：无人机分钟开始从米高度下降， 下降总时间为（分钟）， 因此； （4）解：第分钟时，无人机已经下降了（分钟）， 下降高度为（米）， 因此此时飞行高度为（米）． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之间的路线图．小明与小红均从小石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭． 小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图2所示． 景区内有一班游览车从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上下车时间忽略不计）．小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图3所示． (1)图2中的自变量是______，因变量是______． (2)小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为______，在花圃游玩后，小明以的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了______ (3)游览车的平均速度是______，若小红和游览车的出发时刻均为早上，则小红在早上______（填时刻）从花圃上车前往石塔． 【答案】(1)出发时间，小明到小石潭的距离 (2)300，20 (3)400， 【分析】（1）根据题意即可解题； （2）根据图2求出小明从小石潭到花圃的速度，进而解题； （3）由图3可知游览车往返花了20分钟，根据路程、速度、时间之间的关系计算即可． 【详解】（1）解：依据题意可知：图2中的自变量是出发时间，因变量是小明到小石潭的距离； （2）解：由图2可知，当时，小明到达花圃， ，即小明从小石潭到花圃的速度为； 当时，小明到达石塔， ， ，即小明在花圃游玩了； （3）解：由图3可知游览车往返花了20分钟， ； ， ， 小红在早上从花圃上车前往石塔． 题型二 一次函数的图象与性质（含参数讨论） 解｜题｜技｜巧 “k定象限，b定交点”口诀： k > 0：图象必过一、三象限（左低右高）。 k < 0：图象必过二、四象限（左高右低）。 b > 0：与y轴交于正半轴（图象向上飘）。 b < 0：与y轴交于负半轴（图象向下沉）。 参数讨论“两步走”： 第一步：根据图象上升/下降判断k的符号。 第二步：根据图象与y轴交点位置判断b的符号。 综合两者即可确定图象经过的象限。 易｜错｜点｜拨 忽略 ：题目给出 是一次函数，隐含条件是 ，即 。如果题目问“当m为何值时图象不经过第二象限”，必须先排除 的情况。 平行与平移混淆：直线 向右平移 个单位，解析式变为 ，不要直接写成 。 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象经过第一、二、四象限， 则，． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在一次函数的图象上，且， ∴， 故选C． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，由且，可得 ，再结合一次函数性质与有理数乘法法则分析，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴随增大而减小， ∵， ∴， 若，，此时满足成立，但，则；故A选项不符合题意； 对于C选项，取，此时满足，但，则，故C选项不符合题意； 若，则且， 计算， ∵， ∴， ∴ ∴可取正数，0，负数， 可取正数，0，负数，即推不出，故B选项不符合题意； 若，则且（因). ∵， ∴， ∴， 计算，∵， ∴， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式4】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象性质，结合图象不经过第二象限的条件，分别判断系数和的符号即可． 【详解】解：一次函数， 当时，直线呈下降趋势，无论取何值，图象一定经过第二象限，不符合题意， ∴； 当时，直线呈上升趋势， 若，一次函数图象与轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限，不符合题意； 若，一次函数图象过原点，只经过第一、三象限，不经过第二象限，符合题意； 若，一次函数图象与轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 综上所述，，． 【变式5】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据增减性和图象与轴的交点，得到且，再根据为整数即可求解； （2）结合（1）的结果，得到函数解析式，即可得到的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小， ∴且，解得：， ∵为整数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴． 题型三 一次函数与方程、不等式（数形结合） 解｜题｜技｜巧 方程交点：求方程 的解 看直线与 x轴 交点的横坐标。 不等式上下关系： 解 找图象在 x轴上方 的部分对应的x范围。 解 找图象在 x轴下方 的部分对应的x范围。 两函数大小比较：比较 和 的大小 找交点，“谁在上，谁就大”。 易｜错｜点｜拨 不等式方向与k值混淆：有些同学死记“大于取两边”，但在函数图象中，只看位置高低，不看k的正负。交点左侧还是右侧，取决于图象的具体走势。 “非负”与“正”的区别：题目问“函数值非负”，即 ，解集包含交点（等号成立）；题目问“函数值为正”，即 ，解集不包含交点。 【典例1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴点的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，函数和（k，b为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】把点代入，求出m的值，再观察图像，即可求解． 【详解】解：把点代入得： ，解得：， ∴点， 观察图象得：当时，函数的图象在的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）利用正比例函数，求得点B坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）利用一次函数解析式求得点D坐标，即可求的面积． 【详解】（1）解：把代入中，得， 所以点的坐标为， 由图象可知， 设一次函数的解析式为， 把和代入， 得， 解得， 所以一次函数的解析式是； （2）解：在中，令，则， 解得， 则的坐标是， ∴， ∴． 题型四 动点问题与几何图形面积 解｜题｜技｜巧 化动为静：在某一运动时刻 ，画出点的瞬时位置，用含 的代数式表示出线段长度。 面积公式转化：将几何面积公式（如三角形 ）转化为关于 的代数式。 分类讨论思想：如果动点经过拐点（如从一条边走到另一条边），必须分段讨论（例如： 时， 时）。 易｜错｜点｜拨 自变量取值范围遗漏：这是动点问题扣分最严重的地方！求出解析式后，必须紧接着写出 的取值范围（根据点的运动速度和路径总长计算）。 线段长度表示错误：当点在数轴负半轴或向左运动时，线段长度需要用绝对值或大减小来表示，确保结果为正。 【典例1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． (1)当直线l经过原点O时，求它的表达式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； (3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)说明见解析 (3)存在；或 【分析】（1）将原点坐标代入解析式可k的值，即可求解； （2）由题意可得点，当时，，则可得不论k为何值，直线l总经过点C； （3）由的面积等于矩形的面积的一半，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线l经过原点， ∴把点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）由题意可知，点C的坐标为， 当时，， ∴不论k为何值，直线l总经过点C； （3）存在，理由： 设点，由点A、B、C、D的坐标知，，，， ∵的面积等于矩形的面积的一半，即， 即，则， 则点或． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①直线的表达式为；②点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据点C在直线上，先求得点C的坐标，再代入直线，即可求得b值； （2）①设直线交y轴于点F，过点E作于点G，先求得D、F的坐标，根据勾股定理求得，然后根据角平分线的性质定理可知，由可求得，得到点E的坐标，进而根据待定系数法即可求解； ②先求得点A的坐标，从而根据勾股定理求得的长度，然后设，分四种情况：当点P在点A的左侧，且时；当点P在点A的右侧，且时或时或时；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把点代入直线，得； ∴，代入直线，得， ∴； （2）解：①由（1）可知直线， 设该直线交y轴于点F，过点E作于点G，如图所示， 令，得，则；令，则， ∴，，即，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； ②对于直线，令，则， ∴， 由（1）可知， ∴， 设， 当点P在点A的左侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，为直角三角形？ (2)点为坐标平面内一点，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形为菱形，并写出此时点的坐标． 【答案】(1)或 (2)，时，，时，，时，以点、、、为顶点的四边形为菱形． 【分析】本题考查了图形与坐标、一次函数的性质、勾股定理及菱形的性质，掌握菱形的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据一次函数解析式得出，，分和两种情况，分别求出的长即可； （2）分、、三种情况，利用菱形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、B， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， 为直角三角形，分两种情况： ①当时，点与点重合， ∴， ∵点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为， ∴当的值为时，为直角三角形； ②当时，设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当的值为时，为直角三角形； 综上，当的值为或时，为直角三角形． （2）解：由题意得， ①当时，， 在中，， ∴， 解得：t， ∴当的值为时，四边形为菱形，， ∵， ∴ ②当时， ∴当的值为时，四边形为菱形，， ∵， ∴ ③当时， ∵，， ∴， ∴， ∴当的值为时，四边形为菱形， ∵， ∴． 综上所述：，时，，时，，时，以点、、、为顶点的四边形为菱形． 【变式3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）（1）如图1，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：； （2）如图2，平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点M、N，过直线上x轴下方的点S，作直线轴，垂足为T，P为的中点，点R在线段上，点Q在线段上，且，若存在点使得直线过，请用m的代数式表示n，并直接写出n的变化范围． 【答案】（1）见解析；（2）， 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数表达式，完全平方公式的应用等； （1）连接，得到是等腰直角三角形，再证明即可； （2）根据得出，利用待定系数法求得的函数表达式，再代入点，得到，整理后即可求出的变化范围． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵是的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：在一次函数中， 当时，， ∴， ∵，， ∴， 设的函数表达式为， 将、代入，得， 解得， ∴的函数表达式为， 将代入，得， 整理得：， ∴ ∴的变化范围为：． 题型五 一次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 方案选择“三步曲”： 设：设自变量和因变量（如设时间 ，费用 ）。 列：列出两种方案的解析式 和 。 比：令 求出临界值 ，然后分段比较（ 时选谁， 时选谁）。 分段函数“分界点”：如出租车计费，起步价包含前3公里，那么分界点就是 。超过部分的费用计算时，不要忘记减去前3公里。 易｜错｜点｜拨 实际意义限制：函数图象在数学上是一条直线，但在实际问题中（如买苹果、坐车），自变量通常只能取非负整数或正数，图象实际是一些孤立的点或射线，不要画成无限延伸的直线。 单位统一：题目中出现“千米”和“米”，或者“小时”和“分钟”混用时，列式前必须先统一单位。 【典例1】（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟，根据路程相同分别列出关于a，b的二元一次方程组求解得出a，b的值，最后再计算路程即可． 【详解】解：设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟， 根据函数图象可得： 解得：， （公里）， 小明和小王参加的是公里赛程的比赛． 【变式2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）一天上午9时，小明去爬一座1000米高的大山，爬了30分钟后，感觉体力不支，于是休息了一会儿，然后减速爬到山顶，他距山脚出发地的路程（单位：米）与所用时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小明刚开始爬山时的速度为___________米/分钟，他在中途休息了___________分钟． (2)求小明减速后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)上午10时，小明距离山顶还有多少米？ 【答案】(1)20，10 (2) (3)小明距离山顶还有 【分析】（1）由图象中数据求解即可； （2）利用待定系数法求解函数关系式即可求解； （3）先得到上午10时，，代入（2）中函数关系式中求得s即可． 【详解】（1）解：由图象得小明刚开始爬山时的速度为（米/分钟）， 他在中途休息了（分钟）； （2）解：由图象，减速后是的一次函数，设与之间的函数关系式为， 由图象可知：当时，；当时， ，解得， 与之间的函数关系式为； （3）解：由题意，上午10时，， 在中，当时，， ． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，列不等式组求出的取值范围，再根据利润单个利润模型数量，可得关于的一次函数，利用一次函数的性质求出最大利润； （3）根据利润单个利润模型数量，可得，根据一次函数的性质求出． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 【变式4】（25-26九年级下·河南周口·期末）某农户购进甲、乙两种插秧机，已知甲比乙每小时多插1亩，甲插18亩与乙插12亩时间相同． (1)求甲、乙每小时插秧亩数； (2)安排共10台机器，每小时完成不少于24亩，甲费用80元/台，乙60元/台，求每小时最少费用． 【答案】(1)甲每小时插秧3亩，乙每小时插秧2亩 (2)每小时最少费用680元 【分析】（1）设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧亩，列出分式方程即可求解； （2）设安排甲种插秧机m台，则安排乙种插秧机台，先由题意求出的取值范围，再列出费用的一次函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧亩， 由题意得，， 解得， 经检验为原方程解， ∴, ∴甲种插秧机每小时插秧3亩，乙种插秧机每小时插秧2亩． （2）解：设安排甲种插秧机m台，则安排乙种插秧机台， 由题意得，， 解得， 设费用为， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最少，最少费用为元． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行判断即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，不一定有唯一的值与之对应，故不是的函数，符合题意． 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点坐标代入正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：将点满足解析式，得， 解得． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”解答即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移个单位，所得直线的函数表达式为． 4．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 5．（25-26七年级上·山东威海·期末）一座水库汛期时的水位在最近5小时内持续上涨．下表记录了该时间段内6个时刻的水位高度，其中t（小时）表示时间，y（米）表示水位高度． t 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)写出y与t间的函数表达式； (2)估计水位的上涨规律还会持续2小时，求再过2小时的水位高度． 【答案】(1)； (2)再过2小时后的水位高度为5.1米． 【分析】（1）由表格可知，y与t间的函数表达式为； （2）将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，每小时水库的水位上涨， ∴y与t间的函数表达式为； （2）解：由题意得， ∴当时，（米）． 所以，再过2小时后的水位高度为5.1米． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 2．（24-25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分别确定两条直线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知点关于轴的对称点在直线上，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出已知点的对称点坐标，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入求解m的值． 【详解】解：点关于轴的对称点在直线上 ∴点关于轴的对称点坐标为． 将代入直线解析式，得： 解得． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，是一次函数的图象上的两个点，则a与b的大小关系是________． 【答案】 【分析】一次函数，当时，随的增大而增大，反之，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：， 随的增大而减小， ，是一次函数的图象上的两个点，， ． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解： 为正比例函数， ， ． （2）解： 不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 2．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， 甲乙两地相距米，故选项A错误，不符合题意； 李师傅的速度为：（米/分钟），故选项B错误，不符合题意； 设李师傅出发分钟后追上陈师傅， 陈师傅的速度为：（米/分钟）， ∴， 解得，故选项C正确，符合题意； 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地： ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 【答案】64 【分析】根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 4．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】根据一次函数表达式，解得点、的坐标，得出的长度，假设点的坐标为，对、进行分类讨论，解得的值，即可得出结果． 【详解】解：对于直线， 当时，， 即点， 当时，得， 即点， 故，， 由勾股定理得， 令点的坐标为， 故当时， 即， 解得（舍去）或， 即， 当时， 故， ∴， 得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $