专题04 平行四边形的性质与判定（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材冀教版

**基本信息** 围绕平行四边形性质与判定，系统覆盖9类核心题型，从基础应用到综合证明，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求解|5题|面积、边长、角度计算|性质（对边/对角/对角线关系）的直接应用| |判断能否成为平行四边形|3题|判定定理辨析|平行四边形判定条件的逆向判断| |增加条件使成为平行四边形|4题|条件补充与选择|判定定理的灵活运用| |求平行四边形个数|4题|图形计数与规律探究|平行四边形定义与性质的空间想象| |已知三点坐标求第四点|4题|坐标几何与存在性问题|平行四边形顶点坐标关系的代数表达| |平行四边形的证明|5题|全等与判定定理综合|性质与判定的逻辑推理| |利用三角形中位线求解|6题|长度与周长计算|中位线定理与平行四边形性质结合| |利用三角形中位线证明|7题|位置关系与数量关系证明|中位线定理的推理应用| |判定与性质的综合|6题|复杂图形多知识点融合|性质、判定、中位线的综合迁移|

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04平行四边形的性质与判定 题型归纳·内容导航 题型一利用平行四边形的性质求解（重点） 题型六平行四边形的证明（重点） 题型二判断能香成为平行四边形 题型七利用三角形的中位线进行求解（重点） 题型三增加一个条件使得四边形变成平行四边形 题型八利用三角形的中位线进行证明（重点） 题型四求平行四边形的个数 题型九平行四边形判定与性质的综合（难点） 题型五平行四边形已知三点坐标求第四点 题型通关·靶向提分 题型一利用平行四边形的性质求解 1,如图，口ABCD的面积是20，则图中的阴影部分面积是() E D A.8 B.10 C.12 D.15 【答案】B 【详解】解：如图，过点E作EF⊥BC于点F, E D :口ABCD的面积是20， ∴SGABCD=BC·EF=20, .5-=BC.EF-BC-EF-BC-EF-2010. 即图中的阴影部分面积是10. 2.在如图所示的平行四边形ABCD中，P在BC边上移动（不与端点重合），连接PA,PD,则下列不为 1/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 定值的是() B A.PA+PD B.∠1+∠2+∠3+∠4 C.△PAD的面积 D.△PAB面积与△PCD面积之和 【答案】A 【详解】解：~PA,PD的值无法确定， PA+PD不是定值， 故选项A符合题意； 平行四边形ABCD, .∠C+∠B=180°， ∠2+∠3=180°-∠C,∠1+∠4=180°-∠B, :∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠C+180°-∠B=360°-（∠C+∠B)=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4是定值， 故选项B不合题意； 过P作PQ⊥AD于Q, B ∴.S&PAD=PO·AD,SGABCD=P2·AD, 2 1 ∴.S&PAD=5 SGABCD, 即△PAD的面积是定值， 故选项C不合题意； SPAB +SPCD=SOABCD -SAPAD 2 ∴△PAB面积与△PCD面积之和是定值， 故选项D不合题意； 2/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，平行四边形ABCD中，AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC等于（) D B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：平行四边形ABCD, AD∥BC,AD=BC=5, ..∠DAE=∠BEA, AE平分∠BAD, .∴.∠BAE=∠DAE, .∴.∠BAE=∠BEA, ∴.BE=AB=3, .·.EC=BC-BE=5-3=2」 4,如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,若AB=3,BC=5,则 CE 的值为() BE A D B E C A.2 B. 3-5 D. 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, .∴.∠DAE=∠AEB, :AE平分∠BAD, ∴.∠DAE=∠BAE, .·.∠BAE=∠DAE=∠AEB, .AB=BE=3, CE=BC-BE=5-3=2, .CE_2 BE3 3/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.如图，点E是口ABCD内任一点，若S四边形AcD=8,则图中阴影部分的面积是(） D A.4 B.4.5 C.6 D.3.5 【答案】A 【详解】如图，过点E作平行四边形AB边的垂线， C 根据平行四边形的性质：AD=BC,且AD∥BC, B 设点E到AD的距离为h,点E到BC的距离为h, 则平行四边形ABCD中，AD与BC之间的总高为h+h, 平行四边形面积满足：S四边形ABcD=AD(h+h)=8, 阴影部分为△ADE和BCB,面积和为Sc+Sa号DA+BC九号4D(么+)8=4， 因此阴影部分面积为4. 题型二判断能香成为平行四边形 6.下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.AD=BC,AD∥BC B.AD=BC,AB=DC C.AD∥BC,AB=DC D.AD∥BC,∠A=∠C 【答案】C 【详解】解：如图， A B A,AD=BC,AD∥BC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行 四边形，故A不符合题意. 4/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.AD=BC,AB=DC,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四 边形，故B不符合题意， C.AD∥BC,AB=DC,一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形 ABCD是平行四边形，故C符合题意. D..ADI BC, ..∠A+∠B=180°， ∠A=∠C, ∴.∠C+∠B=180°， AB∥DC,两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合 题意 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边 形的是() A.AB∥CD,AD∥BC B.OA=OC,OB=OD C.AD=BC,AB∥CD D.AB=CD,AD=BC 【答案】C 【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故 此选项不符合题意； B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题 意； C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合 题意 8.如图，己知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.下列三个条件：①AB=CD,②AD∥BC,③ OA=OC,请从中选择两个，证明四边形ABCD是平行四边形. 5/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【答案】证明见解析； 【详解】证明如下：选择②③ :AD∥BC, .∴.∠DAO=∠BCO, 且满足OA=OC,∠AOD=∠COB, 在△AOD和△COB中 ∠DAO=∠BCO ∠AOD=∠COB OA=OC ∴.△AOD≌△COB(ASA), .AD=BC, :AD∥BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形 题型三增加一个条件使得四边形变成平行四边形 9.己知四边形ABCD中，AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么() ①再加上条件“BC=AD”,四边形ABCD一定是平行四边形； ②再加上条件“∠BAD=∠BCD”,四边形ABCD一定是平行四边形； ③再加上条件“AO=CO”,四边形ABCD一定是平行四边形； ④再加上条件“∠DBA=∠CAB”,四边形ABCD一定是平行四边形. A.①和② B.①③和④ C.②和③ D.②③和④ 【答案】C 【详解】解：由题意，画出图形如下： D 6 AB∥CD, 6/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :加上BC=AD,则四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；①错误； AB∥CD, ∠BCD+∠ABC=180°， 加上∠BAD=∠BCD, ∴.∠BAD+∠ABC=180°， AD∥BC, ∴四边形ABCD一定是平行四边形；②正确； AB∥CD, .∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC, 在△AOB和△COD中， ∠OAB=∠OCD ∠OBA=∠ODC, A0=CO .△AOB≌△COD(AAS), ..0B=OD, :四边形ABCD一定是平行四边形；③正确； AB∥CD, ∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC, 加上∠DBA=∠CAB, ∴.OA=OB,∠OCD=∠ODC, ..OD=OC, 在△AOD和△BOC中， OA=OB ∠AOD=∠BOC, OD=OC .△AOD≌△BOC(SAS), ∴AD=BC,此时四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；④错误； 综上，正确的是②和③ 10.如图，在四边形ABCD中，∠I=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件 7/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是 (只填一个即可)· D 2 【答案】AD=BC(答案不唯一) 【详解】解：添加AD=BC, ×∠1=∠2， AD∥BC, .AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形， 11,如下图，在四边形ABCD中，AB=CD,添加一个条件 ,使四边形ABCD是平行四边 形.（不需作其它辅助线） D B 【答案】AB∥CD(答案不唯一) 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件AB∥CD(或AD=BC、∠BAD+∠D=I80°等，合 理即可)， 12.在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，连接FD,并延长至点G.已知 FD∥AB,你认为再增加什么条件，可以使得线段AG与ED互相平分？画出图形，试试看，相信你一定 会得到满意的答案。 【答案】画图见解析，增加条件DG=AE(答案不唯一) 【详解】解：根据题意，画出图形为 D G B E 要使线段AG与ED互相平分，则要求四边形ADGE是平行四边形. 当添加DG=AE时， 8/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：FG∥AB, ∴四边形ADGE是平行四边形， 线段AG,DE互相平分 题型四求平行四边形的个数 13.在口ABCD中，EF∥GH∥BC,MN∥AB,则图中平行四边形的个数是() M A E B A.13 B.14 C.15 D.18 【答案】D 【详解】解：依题意，EF∥GH∥BC,MN∥AB, 最小平行四边形(1×1)有：3行×2列，共6个 横向拼接(1×2)有：每行1个，共3行，共3个 纵向拼接(2×1)有：每列2个（连续两行），共2列，共4个 2×2大小有：高度方向有2种（行1-2、行2-3），宽度1种，共2个 整列高(3×1)有：左列和右列各1个，共2个 整个图形(3×2)有：，共1个 综上所述，总数为：6+3+4+2+2+1=18个 14.根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数· 【答案】30300 【详解】解：第一个图中平行四边形的个数是1+2+3=6个， 第二个图中平行四边形的个数是(1+2+3)(1+2)， 第三个图中平行四边形的个数是(1+2+3)(1+2+3)， … .第n个图中平行四边形的个数是(1+2+3)(1+2+3+.+n)=3n(n+1), 9/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :第100个图中平行四边形的个数是3×100×(100+1)=30300. 15,如图，△DBF和△EFC都可以由△ADE平移得到，则图中共有 个平行四边形， D 【答案】3 【详解】解：△DBF和△EFC都可以由△ADE平移得到， .DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB, ∴图中的平行四边形有ADFE,BDEF,CEDF,共三个， 故答案为：3. 16.如图，在平行四边形ABCD中，己知两条对角线相交于点O,E,F,G,H分别为 AO,BO,CO,DO的中点，以图中的点（包括平行四边形ABCD的四个顶点）为顶点，最多可以画出 个平行四边形（平行四边形ABCD除外），它们分别是 A D B 【答案】 3 平行四边形EFGH,平行四边形BGDE,平行四边形AFCH 【详解】解：如图： A H B 第一种 第二种 第三种 即平行四边形EFGH,平行四边形BGDE,平行四边形AFCH; 故答案为：3；平行四边形EFGH,平行四边形BGDE,平行四边形AFCH. 题型五平行四边形已知三点坐标求第四点 17.如图，在4×6的网格中，点M,N,P,Q都在格点上，能与格点O,A,B连接得到平行四边形的是 () 10/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.点M B.点N C.点P D.点Q 【答案】B 【详解】解：点B与点M,N,P,Q共线， ∴.BQ‖AO, :OA的长等于三个单位长度， .OA的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M,N,P,Q中，只有BN的长等于三个单位长度， .能与格点O,A,B连接得到平行四边形的是点N, 18.在平面直角坐标系中，己知点A(3,0),B(-1,O),C(0,2),若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平 行四边形，则点D的坐标为 【答案】（-4,2)或(4,2)或(2，-2) 【详解】解：如图， W D、 2 、B A -5-4-3-2-012345x 分三种情况： ①当AB∥CD,AD∥BC时，点D的坐标为(4,2)； ②当AB∥CD,AC∥BD时，点D的坐标为(-4,2)； ③当AD∥BC,AC∥BD时，点D的坐标为(2，-2)； 综上，点D的坐标为(4,2)或(-4,2)或(2，-2). 19.平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别(0,0)，(3,0)，(1,3)，则第四个顶点的坐标可能 是 11/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】 (4,3)或(-2,3)或(2，-3) 【详解】解：设已知三个顶点分别为O(0,0),A(3,0),B(1,3),如图， D B 当以OA为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点B向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为D(-2,3)或C(4,3); 当以OA为对角线时，则OB为平行四边形的一条边，将点B先向左移动1个单位，再向下移动3个单位， 得到点0， 故点A先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点E(2,-3)； 综上：第四个点的坐标可能为(4,3)或(-2,3)或(2，-3) 20,工艺美术中常需要设计几何图案.如图，正方形网格中，己确定三个格点A、B、C的位置，需要在 图中确定点D,使得以D、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形.若点A的坐标是(1，-1)，请你在图 中建立平面直角坐标系xOy,且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行.在图中描出点D的位置， 并写出所有符合条件的点D的坐标. C 【答案】描点见解析，(2，-2)、（4,2)、(0,0) 【详解】 12/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D. D (O) A D 如图，建立平面直角坐标系，A的坐标是(1，-1)，则D(2,-2)、D(4,2)、D(0,0). 题型六平行四边形的证明 21.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点 F,连接BF. (I)求证：△AEF≌△DEC; (②)判断四边形ADBF的形状，并证明你的结论， 【答案】(1)见解析 (②)四边形ADBF是平行四边形，证明见解析 【分析】 【详解】(1)证明：：E是AD的中点， ∴.AE=DE AF∥BC, ∴.∠AFE=∠DCE,∠EAF=∠EDC ∴.△AEF≌△DEC(AAS) (2)四边形ADBF是平行四边形 证明：：△AEF≌△DEC, ∴.AF=CD 13/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：AD是△ABC的中线， ∴.CD=BD, ∴AF=BD 又：AF∥BC, 四边形ADBF是平行四边形 22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,延长BC到E,使CE=BC,连接AE交CD于点F,点F是 CD的中点，求证： E D B (I)△ADF≌△ECF (②)四边形ABCD是平行四边形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】(1)证明：AD∥BC, ∠DAF=∠E, 点F是CD的中点， ∴DF=CF, 在△ADF与△ECF中， ∠DAF=∠E ∠AFD=∠EFC DF=CF .△ADF≌△ECF(AAS). (2)证明：△ADF≌△ECF, ..AD=EC, CE=BC, ..AD=BC, 14/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， 23.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，CD=BF,求证：四边形CDEF是平行四边形. B O 【答案】证明：连接BE,如图， B △ABC和△ADE都是等边三角形， AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°， ,∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠DAC, ·△ABE≌△ACD(SAS), ∴.BE=CD,∠EBA=∠DCA=60°， 又CD=BF, ..BE =BE, ∴△BEF为等边三角形， ∠EFB=60°，EF=BF=CD, :∠ABC=60°， ∠ABC=∠EFB=60°， :EF BC,即EF‖DC, 又~EF=DC, 四边形CDEF是平行四边形. 【详解】略 15/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边 △ACD,等边△ABE,EF⊥AB,垂足为F,连接DF, B (1)求证：四边形ADFE是平行四边形； (2)求四边形ADFE的周长， 【答案】(1)见解析 (2)8+4v3 【分析】 【详解】(1)证明：~Rt△ACB中，∠BAC=30°， ..AB=2BC, 又：△ABE是等边三角形，EF⊥AB, ..AB=2AF,AE=AB, ..AF =BC 在Rt△AFE和Rt△BCA中， AF=BC AE=AB ·.Rt△AFE≌Rt△BCA(HL), ..AC=EF; :△ACD是等边三角形， ∠DAC=60°，AC=AD, ∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°， 又EF⊥AB, ∠EFA=90°， .∠EFA=∠DAB, .EF∥AD, .AC=EF,AC=AD, ..EF=AD, 16/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ADFE是平行四边形； (2)解：∠BAC=30°，BC=2,∠ACB=90°， ..AB=AE=4, AF=BF=AB=2, AD=EF=AE-AF=4-2=23, 故四边形ADFE的周长为：2×(AE+EF)=2×4+2V3=8+4V3. 25.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，(CE=AF,CH=AG), G (I)求证三角形CEH与三角形AFG全等； (2)求证：四边形EGFH是平行四边形； (3)若EH=CH,EG=EC,∠FHG=30°，求∠GEH的度数. 【答案】(I)证明：~四边形ABCD是平行四边形 .CD∥AB .∠ECH=∠FAG CE=AF.CH=AG .△CEH≌△AFG(SAS): (2)证明：△CEH≌△AFG ∴.EH=FG,∠CHE=∠AGF .∠EHG=∠FGH .EH∥FG, 四边形EGFH是平行四边形； (3)90° 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 17/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：如图， D E GA B ~四边形EGFH是平行四边形 EG∥FH ∴∠4=∠5=30° EH=CH.EG=EC .∠1=∠4=30°，∠1=∠2=30° .∠3=∠1+∠2=60° .∠GEH=180°-∠4-∠3=90°. 题型七利用三角形的中位线进行求解 26.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠BAC=90°，点E为边BC上一点，且BE=3CE, 若BC=4,则OE的长为 B 【答案】1 【详解】解：如图，取BC的中点F,连接OF,可知CF=BC=2, :在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O, .O是AC的中点， .OF是△ABC中位线， OF∥AB, .∴.∠FOC=∠BAC=90°， BE=3CE, .CE=BC=1,即E是CF的中点， 4 0E=1CF=1. 2 18/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 27.如图，ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点.若∠BAC=90°，BC=10, 口ABCD的周长为32，则△COE的周长为() A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】C 【详解】口ABCD的周长的一半=AB+BC=x32=16, 2 :BC=10, .AB=16-BC=16-10=6, ∠BAC=90°， .'.AC2+AB2=BC2, .AC2+62=10, ∴.AC=8, :口ABCD,可知O为AC中点，且点E是BC的中点， .OE为△CAB的中位线， :08-48=3, aCOE的周长为OC+OE+EC= )AC+2AB+BC=4+3+5=12 2 28.如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC,过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F,连 接FD,若AB=8,AC=3,则DF的长为 19/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】2.5 【详解】解：延长AC,BF,交于点G, D B E G AE平分∠BAC, .∠BAF=∠GAF, BF⊥AE, .∠BFA=∠GFA=90°， 又：AF=AF, △BAF≌aGAF(ASA), ..AG=AB=8,BF=GF, 又D是BC中点， :DF是△BGC的中位线， DF=0G=(4G-40)=8-3)=25. 29.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,点F是DE的中 点.连接OF,若DC-BC=4cm,则OF的长为cm. D E B 【答案】2 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,AB=DC,AD=BC 又对角线AC,BD相交于点O, O是BD的中点. DE平分∠ADC, 20/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .·.∠ADE=∠CDE AB II DC, .∠AED=∠CDE .∴.∠AED=∠ADE ∴.AE=AD AD=BC, ..AE=BC AB=AE+EB.AB=DC, .DC=AE+EB 将AE=BC代入上式，得DC=BC+EB .EB=DC-BC DC-BC 4cm, ∴.EB=4cm 在△BDE中，OF是△BDE的中位线 :'.OF=-BE=2cm. 2 30.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且 ∠BFC=90°，若AC=4,BC=8,求DF的长. A D E 【答案】6 【详解】解：：D、E分别是边AB、BC的中点， .DE为△ABC的中位线， D服=aCe2, .·∠BFC=90°， .E=BC-4, 21/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DF=DE +EF=6. 31.如图，在△ABC中，AB=14,AC=26,点P在∠BAC的平分线AD上，且BP⊥AD,点M为边BC 的中点.求PM的长. D M 【答案】PM=6 【详解】解：如图，延长BP交AC于点E, E :AD是∠BAC的平分线， B DM ∴.∠BAP=∠EAP, ,BP⊥AD, ∴.∠BPA=∠EPA=90°， ∠BAP=∠EAP 在△ABP和△AEP中， AP=AP ∠BPA=∠EPA ∴.△ABP≌△AEP(ASA), AB=AE=14,BP=EP,点P是BE的中点， .·AC=26,AE=14, ∴.EC=AC-AE=26-14=12, ,点M为边BC的中点， .PM是△BEC的中位线， ..PM=EC=6, 题型八利用三角形的中位线进行证明 32.已知：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC,且DE=BC,求证：DE是 22/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABC的中位线. D E 的 C 【答案】 证明：延长DE到点F,使EF=DE,连接CF, B DE=LBC.EF=DE 2 ..DF =BC 又：DE∥BC .DF∥BC 四边形BCFD是平行四边形 :BD∥CF,BD=CF ∠1=∠2 ∠1=∠2，EF=DE,∠3=∠4 .△ADE≌ACFE(ASA) ..AE=CE,AD=CF .BD=CF :.AD=BD 又：AE=CE ∴DE是△ABC的中位线， 【详解】略 33.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E,点F分别为AB,CD的中点，连接EF,求证： 23/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BF=(4D+BC) D E B 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：如图，连接AF并延长，交BC的延长线于点G, B G AD∥BC, ∠DAF=∠G,∠D=∠FCG, 又F是CD的中点， ..DF =CF, 在△ADF和△GCF中， [∠DAF=∠G ∠D=∠FCG, DF=CF ∴.△ADF≌△GCF(AAS), ..AF FG,AD=CG, F是AG的中点， ~E是AB的中点，F是AG的中点， EF是△ABG的中位线， :.EF=-BG, BG=BC+CG,且CG=AD, ..BG=BC+AD, (D-BC). 24/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34,如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，AH⊥BC于H.求证： ∠DHF=∠DEF」 B HE 【答案】见解析 【详解】证明：D、E分别为AB,BC中点， SDE∥AC,DE=)AC F为AC中点， r-4c .DE=AF. ∴四边形DEFA为平行四边形 ∴.DEF=∠BAC. AH⊥BC,D为AB中点， D江=2AB=AD ∴.∠BAH=∠DHA, F为AC中点，AH⊥BC, H-AC-AF. .∠HAC=∠AHF. ∴.∠DHA+∠AHF=∠DAH+∠FAH, 即∠DHF=∠BAC, .∠DHF=∠DEF. 35.如下图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M为AF 的中点，连接CF,ME,求证：ME=CF. 25/35 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 【答案】见解析 【分析】 【详解】证明：如图，延长FE到点D,使DE=EF,连接AD,BD, :△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°， 0 ∠BFE=45°，BE⊥DF, ∴.BE垂直平分DF, ∴BF=BD, ∴.∠BDE=∠BFE=45°， .∠DBF=90° .'∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°， ∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°， ∴.∠CBF=∠ABD. 在△ABD和△CBF中， AB=CB ∠ABD=∠CBF, BD=BF, ∴.△ABD≌△CBF(SAS), ∴.AD=CF. 26/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :M为AF的中点，DE=EF, .ME为△ADF的中位线， :.ME=LAD, 1 .ME=二CF. 36,如图所示，D为△ABC内的一点，AD平分∠BAC,且AD⊥BD,垂足为D,延长BD交AC于点 G,E为BC的中点，点F在AC上，且CF=DE. B (I)求证：四边形CEDF是平行四边形； (2)求证：AB+2CF=AC. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】(1)证明：~AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, AD⊥BD, ∴.∠ADB=∠ADG=90°， 又AD=AD, .△ADB≌△ADG(ASA), .BD=GD, 即点D是线段BG的中点， :E为BC的中点， DE是△BCG的中位线， .'.DE∥CG 又CF=DE 四边形CEDF是平行四边形； (2)解：由(1)得△ADB≌△ADG, 27/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AB=AG, 由(1)得DE是△BCG的中位线， ∴DE _LGC. 又CF=DE, ∴.DE=CF=CG, ..AB+2CF=AG+CG=AC. 37.如图，在△ABC中，AB=AC,点E,F分别是BC,AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC. B (I)求证：FE=FD; (2)若∠CAD=∠CAB=24°，求∠EDF的度数. 【答案】(1)见解析 (2)54° 【分析】 【详解】(1)证明：~点E,F分别是BC,AC的中点， :EF为△ABC的中位线. .EF=AB 2 ~点F是AC的中点，∠ADC=90°， :.FD=AC 2 .AB=AC, ..FE=FD. (2)解：由(1)知，EF为△ABC的中位线， .EF∥AB .∠EFC=∠BAC=24°. 点F是AC的中点，∠ADC=90°， 28/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FD=AF-C .∠ADF=∠DAF=24°. ∠DFC=∠ADF+∠DAF=48°. .∠EFD=∠DFC+∠EFC=72°. FE=FD, 1 ∠FED=∠EDF=(180°-∠EFD)=54°. 题型九平行四边形判定与性质的综合 38.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点B作BE⊥AC于点E,F为OC上一点，连接 ED,DF,FB,若BE=CF=4,DB=10,EF=6,则△AED的面积为() D E C A.6 B.7.5 C.8 D.10 【答案】C 【详解】解：：在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,DB=10, .OA=OC,OB=OD=BD=5. :BE⊥AC,BE=4, ..OE=OB2-BE2=52-42=3, EF=6, .∴.OF=EF-OE=3,即OE=OF, CF=4,AE =OA-OE=4,CF=OC-OF, .∴.AE=CF=4, .OE =OF OB=OD, ∴四边形BEDF是平行四边形， DF=BE=4,DF∥BE, ,BE⊥AC, ∴.DF LAC, 29/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DF·AE 2×4x4=8. :S.AED= 2 39,如图，在平行四边形ABCD中，AD=10,点E、F分别为AD、BC的中点，连接BE、AF交于点O, 点M为AB的中点，点N为EF的中点，则MN的长为() D M B C F A.5 B.4 C.3 D.不确定 【答案】A 【详解】解：在平行四边形ABCD中， .AD=BC=10,AD∥BC, ~点E、F分别为AD、BC的中点， AE=AD.BF-IBC, 2 ..AE BF, 四边形ABFE是平行四边形， AB∥EF,AB=EF, ~点M为AB的中点，点N为EF的中点， .AM=AB.EN=1EF, 2 ..AM=EN, 四边形AMNE是平行四边形， .N=AE=5, 40.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AC边上一点，且AD=BD,过点C作DB的平行线，与过 点B所作的BC边的垂线相交于点E. D (I)求证：四边形BDCE是平行四边形； (2)若AC=2BC,AC=8,求CE的长， 30/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (2)CE=5 【分析】 【详解】(1)证明：~EB⊥CB, ∴.∠CBE=90°， .∠ACB=∠CBE, BE∥AC, CE∥BD, :四边形BDCE是平行四边形； (2)解：四边形BDCE是平行四边形， ..BD=CE, AD=BD, :.AD=BD=CE, .AC=2BC,AC=8, BC=4, 设AD=BD=CE=x,则CD=8-x, 在Rt△BDC中，根据勾股定理得： BD2=CD2+BC2, 即x2=42+(8-x)°， 解得：=5， ∴.CE=5. 41.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(3,5)，(3,0).将线段AB向下平移2个单位长 度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD. B x B 备用图 (1)直接写出点C,D的坐标 31/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)连接CB,M为x轴上的一动点，若S。Ac=SD,求点M的坐标. 【答案】(1)C(-1,3),D(-1,-2) (2)M(-7,0)或M(13,0) 【分析】 【详解】(1)解：将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， .(3-4,5-2),(3-4,0-2), .C(-1,3),D(-1,-2); (2)解：将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD, ..ABICD,AB=CD, .四边形ABCD是平行四边形， ~点A,B,C的坐标分别为(3,5)，(3,0)，(-1,3)， AB=CD=5,点B到CD的距离为3-（-1)=4， “.S平行四边形ABcD=4×5=20, 1 1 .S.ABC= S平行四边形A8CD ×20=10 2 设M(m,0), D(-1,-2), 如图，当M在B左侧时， y M B x D Sao=号×2x(6-m）=10, 21 解得：m=-7,即M(-7,0)； 如图，当M在B右侧时， 32/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D .S.MBD 2×2×(m-3)=10, 解得：m=13,即M(13,0). 42.如图，在平行四边形ABCD中，连接AC,分别过点B、点D作BE⊥AC于点E,作DF LAC于点 F,连接DE、BF, (1)求证：四边形BEDF为平行四边形 (2)若AC=AD,∠CAD=40°，求∠ABE的度数. 【答案】(1)证明见解析 (2)20° 【分析】 【详解】(1)证明：~BE⊥AC,DF LAC, ∠AEB=∠CFD=90°，BE∥DF, 四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD, ∠BAE=∠DCF, ·△ABE≌△CDF(AAS), ..BE DF, BE=DF,BE∥DF, :.四边形BEDF为平行四边形； (2)解：AC=AD,∠CAD=40°， ∠AcD=∠4Dc=180-∠C4D-180,40=70, 2 2 33/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CFD=90°， ∴∠CDF=90°-∠ACD=20°， 又~△ABE≌△CDF, ∴.∠ABE=∠CDF=20°. 43.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD,E为CD中点，过点C作CF∥BD 交BE的延长线于F,连接DF交AC于点G,连接CF, O B (I)求证：四边形BDFC是平行四边形； (2)若∠A=30°，BC=4,CF=6,求四边形BDFC的面积. 【答案】()见解析 (②)12V5 【分析】 【详解】(1)证明：CF‖BD, .∠CFE=∠DBE, E是CD中点， ..CE=DE, 在△CEF和△DEB中， ∠CFE=∠DBE ∠CEF=∠DEB, CE=DE .△CEF≌△DEB(AAS), ..CF BD, CF BD, 四边形BDFC是平行四边形. (2)解：过点C作CH⊥BD于点H, 34/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G A B D H ∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4, ∴.AB=2BC=8, AC=AB2-BC2=82-42=43, 在Rt△ACH中，∠A=30°，∠AHC=90°， CH=4C=25, 四边形BDFC是平行四边形， ..CF BD=6, SeBDRC=BD×CH=6×2V5=12V5, 35/35专题04 平行四边形的性质与判定 题型一 利用平行四边形的性质求解（重点） 题型六 平行四边形的证明（重点） 题型二 判断能否成为平行四边形 题型七 利用三角形的中位线进行求解（重点） 题型三 增加一个条件使得四边形变成平行四边形 题型八 利用三角形的中位线进行证明（重点） 题型四 求平行四边形的个数 题型九 平行四边形判定与性质的综合（难点） 题型五 平行四边形已知三点坐标求第四点 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用平行四边形的性质求解 1．如图，的面积是20，则图中的阴影部分面积是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 2．在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 3．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 题型二 判断能否成为平行四边形 6．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 题型三 增加一个条件使得四边形变成平行四边形 9．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（    ） ①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 10．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 11．如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 12．在中，点D、E、F分别为边、、上的点，连接，并延长至点G．已知，你认为再增加什么条件，可以使得线段与互相平分？画出图形，试试看，相信你一定会得到满意的答案． 题型四 求平行四边形的个数 13．在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 14．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数___． 15．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 16．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 题型五 平行四边形已知三点坐标求第四点 17．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 18．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 19．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 20．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 题型六 平行四边形的证明 21．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 22．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 23．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 24．如图中，已知，，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边．，垂足为F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的周长． 25．如图，已知四边形是平行四边形，（）． (1)求证三角形与三角形全等； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求的度数． 题型七 利用三角形的中位线进行求解 26．如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为______． 27．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 28．如图，在中，是中线，平分，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则的长为________． 29．如图，的对角线，相交于点，平分交于点，点是的中点．连接，若，则的长为_______． 30．如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，求的长． 31．如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长． 题型八 利用三角形的中位线进行证明 32．已知：在中，点D、E分别是、上的点，，且．求证：是的中位线． 33．如图，在四边形中，，点E，点F分别为，的中点，连接．求证：． 34．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，于H．求证：． 35．如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 36．如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 37．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型九 平行四边形判定与性质的综合 38．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 39．如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 40．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 41．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． 42．如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，，求的度数． 43．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． $