精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市唐徕中学二模数学试题

银川市第二十六中学教育集团2025～2026学年第二次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 年银川览山公园观景台海拔高度为米，而某湖面低于海平面米，则该湖面海拔记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 银川葡萄酒储存使用圆柱形酒桶，侧面镶嵌最短金属箍，沿母线剪开侧面，展开图正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 6. 如图，是边长为2的正六边形的外接圆，以点F为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组无解，则的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 8. 二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 的绝对值是________，的平方根是________，立方根是________． 10. 已知方程组的解满足，则的值是___________． 11. 如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为________． 12. 已知，则k的值是______． 13. 把一个半径为的半圆围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是________． 14. 宁夏银川览山公园湖边有一条笔直的步道，总长，点是线段的黄金分割点，且，点又是线段的黄金分割点，且，则________（结果保留最简二次根式） 15. 关于的分式方程无解，则的值为_____． 16. 如图，在中，，，．将绕点旋转，使点的对应点落在上，点的对应点为，则的长度是________． 三、解答题（17-22题，每题6分，23-24题，每题8分，25-26题，每题10分，共72分） 17. 解不等式组，将解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 18. 无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点C逆时针旋转，得到请画出． （2）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． （3）请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 19. 为推动宁夏文旅高质量发展，某研学小组对辖区内学生最喜爱的本土景区开展抽样调查，调查分为四类：A．西夏王陵、B．镇北堡西部影城、C．沙坡头、D．览山公园，每人只能选择最喜爱的一个景区．调查小组随机抽取若干名学生的调查结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 A B C D 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）若给四类景区喜爱程度打分：A西夏王陵5分、B镇北堡西部影城4分、C沙坡头3分、D览山公园2分，求本次抽样调查中所有学生打分的加权平均数； （3）研学小组抽取名学生，其中喜爱A类的人，喜爱B类的人，喜爱C类的人，若从这人中随抽取人，请用画树状图法或列表法，求抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”的概率． 20. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 21. 如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 22. 宁夏银川的八宝茶是特色饮品，某茶社分装两种规格的八宝茶包： 分装包尊享八宝茶包需要配料克 分装包便携八宝茶包需要配料克 （1）某天茶社刚好用完了克配料，请问当天两种茶包各分装了多少包？（两种茶包都有分装） （2）茶社计划分装包这两种茶包，且使用的配料总量不超过克．已知一包尊享八宝茶包的利润为元，一包便携八宝茶包的利润为元．请问分装多少包尊享八宝茶包时，总利润最大？最大利润是多少？ 23. 数论是数学中最古老的分支之一，早在十七世纪，数学家费马便开始研究整数的平方拆分规律，他发现部分正整数能够拆解为两个整数的平方之和，这类数字具备独特的数学性质．为方便研究，我们给出定义：若一个正整数可以表示为两个整数的平方和，则称这个数为平方和数． 例如：，，所以、都是平方和数． 根据上述定义，完成下列问题： （1）判断、是否为平方和数，并说明理由； （2）若正整数是平方和数，且，直接写出所有符合条件的； （3）求证：两个平方和数的乘积仍是平方和数． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，延长到点D，的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为F，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接，过点M作交直线l于点N，若，求点M的坐标． （3）如图2，连接，，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作的平行线交于点P，求最大值及此时M点的坐标． 26. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第二十六中学教育集团2025～2026学年第二次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 年银川览山公园观景台海拔高度为米，而某湖面低于海平面米，则该湖面海拔记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题干中明确高于海平面的海拔记作正数， ∴低于海平面的海拔记作负数， ∵该湖面低于海平面米， ∴该湖面海拔记作米． 2. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 3. 定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 4. 银川葡萄酒储存使用圆柱形酒桶，侧面镶嵌最短金属箍，沿母线剪开侧面，展开图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形，结合“两点之间，线段最短”，确定和是线段． 【详解】圆柱的侧面展开图是长方形，点C是展开的长方形的边的中点， ∵侧面镶嵌最短金属箍， ∴展开后A与C的金属箍应是两条线段． 故选：A． 5. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得，则可得到小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，可求出操作前，操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， ∵操作前小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米， ∴操作前； ∵操作后像的长度变为原来的倍， ∴操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， 当人向暗室后退2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故A不符合题意； 当人向暗室前进2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，满足题意，故B符合题意； 当人向暗室后退4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故C不符合题意； 当人向暗室前进4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，是边长为2的正六边形的外接圆，以点F为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，根据题意得到，，得到弓形的面积弓形的面积，然后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接 ∵是边长为2的正六边形的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵以点F为圆心，长为半径画弧， ∴弓形的面积弓形的面积， ∴阴影部分的面积． 7. 若关于的不等式组无解，则的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组无解的条件得到的取值范围，最后结合选项得到正确答案． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组无解， ， 解得， 结合选项可知，只有D选项满足条件． 8. 二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、与轴交点的位置，可知，，，利用一次函数的性质与反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 一次函数应是随的增大而增大； 抛物线的解析式为， 当时，， ， ， ， 直线与轴的交点在轴的负半轴； ， ， 反比例函数的图象在第一、三象限； A选项：一次函数的图象是随的增大而增大，反比例函数图象在第一、三象限，但是直线过原点，故A选项不符合题意； B选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故B选项不符合题意； C选项：一次函数的图象是随的增大而增大，且一次函数与轴的交点在轴的负半轴，反比例函数图象在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故D选项不符合题意． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 的绝对值是________，的平方根是________，立方根是________． 【答案】 ①. ## ②. ③. 【解析】 【分析】本题根据绝对值的性质，平方根的定义，立方根的定义求解，先化简，再计算其平方根和立方根． 【详解】解：，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数， ． ∵，， ∴的平方根是． ∵，， ∴的立方根是． 10. 已知方程组的解满足，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．方程组中的两个方程相加并化简可得，进而可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：方程组中的两个方程相加得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形对角线的性质可知对角线将菱形分为两个等腰三角形，三角形底角为，根据三角形内角和定理求出顶角，再根据平移和直线平行的性质可求． 【详解】解：由菱形的性质可知菱形对角相等，对角线平分对角， ∴对角线将菱形分为两个等腰三角形， ∴是底角为65°，如图， ∴顶角为． 根据平移可知，， ∴． 12. 已知，则k的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据等比性质即可得出结论．通过三个分式等于，得到三个方程，将它们相加后讨论是否为零，从而求出的值． 【详解】解：由已知条件可知，，， ∴，，， 将三个方程相加，得． 若，则； 若，则从任一方程如 结合，得， 因，故， 故答案为∶或． 13. 把一个半径为的半圆围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是________． 【答案】 【解析】 【分析】半圆的弧长等于围成圆锥的底面周长，先求出半圆弧长得到圆锥底面半径，圆锥的母线长等于原半圆的半径，再利用勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：半径为的半圆的弧长为， 设圆锥的底面半径为，由题意得 ，解得， 圆锥的母线长， 由勾股定理得圆锥的高为． 14. 宁夏银川览山公园湖边有一条笔直的步道，总长，点是线段的黄金分割点，且，点又是线段的黄金分割点，且，则________（结果保留最简二次根式） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，依次求出线段，的长度，再利用线段的和差关系计算的长度即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，， 根据黄金分割的定义得：， 又点是线段的黄金分割点，， ， ， 代入得：． 15. 关于的分式方程无解，则的值为_____． 【答案】或1或6 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 当，即时，方程无解； 当，即时，由分式方程无解，得到或， 把代入得：； 把代入得：， 综上，的值为或1或6． 故答案为：或1或6． 16. 如图，在中，，，．将绕点旋转，使点的对应点落在上，点的对应点为，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D，则，根据勾股定理可得，从而得到，进而得到，再结合旋转的性质以及等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 三、解答题（17-22题，每题6分，23-24题，每题8分，25-26题，每题10分，共72分） 17. 解不等式组，将解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为；； 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； ∴所有整数解有， ∴所有整数解的和为． 数轴见答案 18. 无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点C逆时针旋转，得到请画出． （2）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． （3）请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】（1）分别确定点A、B绕点C逆时针旋转后的对应点、，然后依次连接、、C，得到； （2）分别连接、、并延长，使，，，得到对应点、、，依次连接、、，得到； （3）结合相似三角形，利用平行线分线段成比例的性质，在网格中通过构造合适的平行线来确定点D的位置，使得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问3详解】 解：如图所示，点D即为所求： 过点A向右沿水平方向2格处取点E，过点C向左沿水平方向3格处取点F，连接，，，记与交点为D， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D即为所求． 19. 为推动宁夏文旅高质量发展，某研学小组对辖区内学生最喜爱的本土景区开展抽样调查，调查分为四类：A．西夏王陵、B．镇北堡西部影城、C．沙坡头、D．览山公园，每人只能选择最喜爱的一个景区．调查小组随机抽取若干名学生的调查结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 A B C D 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）若给四类景区喜爱程度打分：A西夏王陵5分、B镇北堡西部影城4分、C沙坡头3分、D览山公园2分，求本次抽样调查中所有学生打分的加权平均数； （3）研学小组抽取名学生，其中喜爱A类的人，喜爱B类的人，喜爱C类的人，若从这人中随抽取人，请用画树状图法或列表法，求抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”的概率． 【答案】（1）， （2）本次抽样调查中所有学生打分的加权平均数为分 （3）抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”的概率 【解析】 【分析】（1）根据总数＝即可得； （2）加权平均数即可得（为数据，为每个数据对应的权）； （3）根据题意列出表格，根据概率公式：概率． 【小问1详解】 解：所抽取样本总人数（人）， ，； 【小问2详解】 【小问3详解】 设喜爱A类的学生为A，喜爱B类的学生为，，喜爱C类的学生为C，列表格如下： 第二次 第一次 A C A C 如上表所示，一共有12种等可能的情况，其中抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”有2种，所以抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”的概率． 20. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 21. 如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】根据作图由作图知，由四边形是平行四边形，则，所以，则有，然后证明，得，所以，可得四边形是平行四边形，又，从而有四边形是菱形； 作于，则，由四边形是菱形，得，，所以，是等边三角形，则有，，然后通过直角三角形的性质可得，由勾股定理得出，最后通过的面积为计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作于，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 22. 宁夏银川的八宝茶是特色饮品，某茶社分装两种规格的八宝茶包： 分装包尊享八宝茶包需要配料克 分装包便携八宝茶包需要配料克 （1）某天茶社刚好用完了克配料，请问当天两种茶包各分装了多少包？（两种茶包都有分装） （2）茶社计划分装包这两种茶包，且使用的配料总量不超过克．已知一包尊享八宝茶包的利润为元，一包便携八宝茶包的利润为元．请问分装多少包尊享八宝茶包时，总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当天分装尊享八宝茶包3包，便携八宝茶包5包． （2）分装62包尊享八宝茶包时，总利润最大，最大利润是636元． 【解析】 【分析】（1）设尊享八宝茶包x包，便携八宝茶包y包，根据“茶社刚好用完了克配料”，列出方程，即可求解； （2）设分装m包尊享八宝茶包时，总利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设尊享八宝茶包x包，便携八宝茶包y包，根据题意得： ， ∴， 根据题意得：x，y为正整数， ∴， 答：当天分装尊享八宝茶包3包，便携八宝茶包5包； 【小问2详解】 解：设分装m包尊享八宝茶包时，总利润为w元，根据题意得： ， ∵使用的配料总量不超过克， ∴， 解得：， ∵m为整数， ∴m的最大值为62， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 答：分装62包尊享八宝茶包时，总利润最大，最大利润是636元． 23. 数论是数学中最古老的分支之一，早在十七世纪，数学家费马便开始研究整数的平方拆分规律，他发现部分正整数能够拆解为两个整数的平方之和，这类数字具备独特的数学性质．为方便研究，我们给出定义：若一个正整数可以表示为两个整数的平方和，则称这个数为平方和数． 例如：，，所以、都是平方和数． 根据上述定义，完成下列问题： （1）判断、是否为平方和数，并说明理由； （2）若正整数是平方和数，且，直接写出所有符合条件的； （3）求证：两个平方和数的乘积仍是平方和数． 【答案】（1）解：13是平方和数，14不是平方和数，理由如下： ∵， ∴13是平方和数， ∵， ∴14不是平方和数； （2）解： （3）证明：设这两个平方和数分别为， ∴ ，为平方和数， 即两个平方和数的乘积仍是平方和数； 【解析】 【分析】（1）根据平方和数的定义解答即可； （2）根据平方和数的定义解答即可； （3）设这两个平方和数分别为，可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，此时不满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意； 所以所有符合条件的k的值为； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的外接圆，是的直径，延长到点D，的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为F，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角可得，即可判定，结合，即可求出结论． （2）过点作的垂线，垂足为，根据角平分线的性质定理可得，结合直径所对的圆周角为直角和勾股定理即可得，求解得，进而可得半径． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为圆的半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足为，即， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 解得：， ∴， ∴的半径为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接，过点M作交直线l于点N，若，求点M的坐标． （3）如图2，连接，，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作的平行线交于点P，求最大值及此时M点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，证明，得，设点M的坐标为，由，有，即可解得点M的坐标； （3）过点M作轴交于点H，作于点G，求出，，得，设点M的坐标为,可得，，故，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点M的坐标为,， 在中，令得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（此时点M的纵坐标大于﹣3，舍去），， ∴点M坐标为； 【小问3详解】 过点M作 轴交于点H，作 于点G，如图： ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，得， ∴PMPG， ∴， ∴， 设点， 由得直线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时． 26. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 【答案】（1）筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等；（2）见解析；（3）成立，理由见解析；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等； 故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， ， ∴， ， ∴四边形是筝形； （3）解：四边形是筝形； 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A，E在线段的垂直平分线上， ， ， 点O在以为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为． ∵正方形的边长为6，， ，M为的中点， ，， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $