专题03 随机变量及其分布列（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 专题汇编覆盖随机变量及其分布列6大高频考点，精选黑龙江多校期末试题，注重基础与综合应用，情境贴近生活（如抽奖、产品合格率），融入跨学科案例（如马尔科夫链），体现数学建模与实际问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|15题|条件概率、二项分布、正态分布|结合产品合格率、流感患病率等实际情境| |多选|7题|全概率公式、超几何分布|多选项设计考查逻辑推理，如抽奖条件概率分析| |填空|9题|分布列性质、正态分布参数|融入全期望公式应用（如骰子投掷问题）| |解答题|12题|分布列与期望、马尔科夫链|梯度设计，从基础分布列求解到跨学科综合（如随机变量与数列结合）|

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03随机变量及其分布列 目地 城考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1.C 2.C 3.A. 4.B 二、多选题 5.AD 6.ACD 7.ABD 三、填空题 &吉 9.0.98. 四、解答题 10.【详解】(1)(1)设A表示甲中奖，B表示乙中奖， 则PA-高 因为抽完的奖券不放回， 所以甲中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有2张写有“中奖”字样， 所以Z中奖的疑率为PBA=局 所以甲中奖而且乙也中奖的概率为 nAB=PAA号品品 2)PA=1-PA=17 201 因为抽完的奖券不放回， 所以甲没中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有3张写有“中奖”字样， 1/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以乙中奖的概率为PBA)=3 91 所以甲没中奖而且乙中奖的概率为 PAB=PP=×是 2019380 目地 城特点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1.C 2.D 3.D. 二、多选题 4.AC 5.BC 三、填空题 6.18. 28 9 8.10 四、解答题 9.【详解】(1)X的取值分别为1,2,3. PX=1=0.6,PX=2=1-0.6×0.7=0.28, PX=3=1-0.6×1-0.7=0.12, 所以李明参加考试次数X的分布列为： X 1 2 3 0.6 0.28 0.12 Ex=1×0.6+2×0.28+3×0.12=1.52. (2)李明三次考试均没有通过的概率为1-0.6×1-0.7×1-0.8=0.024， 故李明在一年内领到资格证书的概率为：P=1-0.024=0.976. 10.【详解】(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P, 2/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则P=-pi1-q-子经-号 ②依题可知，X的可能取值为0,1,2， 则由①知PX=02 PX=1=p1-p1-9*1-pg1-q号2号*合日7 Px=2+n1-pg-pg2+经号x=是 +3×3×4+3×4=24 ∴X的分布列为 X 0 1 2 1-2 7 24 24 :.EX=0×1+1× +2× 5_17 2 24 24241 (2)甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下： 设甲先出场成功概率为P,乙先出场成功概率为P2, 则p,=p+p-11-pq+p-21-pq2+…+p1-pq-1+1-pq =p+p”-1q+p-2g2+…+pq-1+q-pp-1q+p”-2g2+…+pq-1+q =p+p-1q+p”-2q2++pq-1+q-pq+p”-1q2+…+p2q”-1+pq P2=q+q”-11-qp+q-21-qp2+…+ql1-qp”-1+1-qp” =q+qn-1p+q”-2p2+…+qp-1+p|-qq-1p+g-2p2++qpm-1+p =q+q-p+q”-2p++qp”-1+p-qp+q-1p2+…+q2p”-1+qp p”+pm-1q+pm-2q2+…+pq-1+q=q”+q-1p+q-2p2+…+qpn-1+p, p"q+p"-q2+.+p2q"-1+pq"=q"p+q-p2+.+q2p"-1+qp", P1=P2, 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同。 3/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.【详解】(1)记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件A,“甲投中”为事件B. PA=0.5×0.6×1-0.8+0.5×0.8×1-0.6+0.6×0.8×1-0.5=0.46 PAnB=0.5×0.6×1-0.8+0.5×0.8×1-0.6=0.22 Pa8器岩 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3. PX=0=1-0.5×1-0.6×1-0.8=0.04, PX=1=0.5×1-0.6×1-0.8+1-0.5×1-0.6×0.8+1-0.5×0.6×1-0.8=0.26, PX=2=PA=0.46, PX=3=0.5×0.6×0.8=0.24, 所以X的分布列为 X 0 2 3 P 0.04 0.26 0.46 0.24 EX=∑xp,=0×0.04+1×0.26+2×0.46+3×0.24=1.9 12. 【详解】(1)记选择方案二学生的得分为X, P(X=100]=(poP:P p0p1≤ +p=1,当且仅当p=p-7 1时取等， 4 4 1 此时满分概率为16： (2)在方案一中，记A类题得分为Y1,B类题得分为Y2,选择方案一学生得分为Z, p=50*号8P%,-01-8后 PWP,=25-c时*Py,=0号 由题可知Z可能的取值为0、25、50、75、100， Pz-0名*生品Pz-25-名*分6Pz-0冒日 4/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 pz=75日x26,Pz=100=日×2 82161 8432 Z的分布列为 Z 0 25 50 75 100 7 7 1 32 16 4 16 32 (3)应选择方案二，理由如下： 方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B,当A类题只需答对一道得50分为事件A, 由2p+qo=1p,≤qa何得p≤1-2p,解得0<p≤号 EZ=EA+2B=EA+2EB,EX=EA+EA' 故EZ-EX=2EB-EAY 其中EB=25q。+01-90=25q0' EA=501-1-Po1-p1+01-po1-p1=501-21-pop9o 所以Ez-EX=2EB-EA=5090-50+1001-po)P90 =501-2Po-50+1001-p0p1-2po=1001-popo1-2Po-100po =100po1-po1-2po-1=100p62p-3<0 所以EZ<EX,应选择方案二： 方法：白2n,*4,=1A,3q何得R,s1-2,解得0<p,号 若选择方案一，学生得分Z可能的取值分别是0、25、50、75、100， P(Z=0)=(1-Pop(1-qo,P(Z=25=(1-po P:C2qo1-qo' P(Z=50]=PoPi(1-qoP+(1-Po PIqo,P(Z=75]=PoP:C2 qo(1-qo' PZ=100=p0P196' 5/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E(Z)=25(1-PoP)C2qol1-Qo)+50 PoPi1-qoP+50(1-Po Po +75PoP1C29o1-9o+100p0p196 =50|1-pop19o1-qo+501-pop196+50pop1l1-qoP+150poP19o1-9+100pop196 =501-p0P1q0+50pop11-q02+150p0p19o1-q0+100p0p196 =50q0-50p0p190+50p0p11-9oP+150P0p190-150pp196+100poP196 =50qo+50p0p11-9oP+100p0p190-50p0p196 =50q0+50pp11-290+q6+100p0P190-50P0p196 =50qo+50PoP1-100PoP19+50PoP196+100PoP190-50PoP196 =50qo+50p0p1, 若选择方案二，学生得分X可能的取值分别是0、50、100， 其中PX=50=pp,1-p1-p+1-pp1-1-po1-p1 PX=100=pop11-1-p1-p1l 所以EX=50pp1-p1-P+501-pp1-1-po1-p》+100pp|1-1-p1-pl月 =50pop11-Po1-p1+501-pop1-501-pop11-po1-p1 +100pop1-100pp11-po1-p1 =-50pop11-Po1-p1+50-501-PoP11-p1-p1+50pop1 =-50pop11-po1-p1+50-501-Po1-p1-50pop11-po1-p1+50pop1 =-50pop11-p01-p1+50-501-po1-p1+50pop11-po1-p1+50poP1 =50+50p0p1-501-po1-p1 6/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以Ez-EX=50q。-50+501-p01-p1=50q0-50+1001-pop90 =501-2p0-50+1001-p0P(1-2p0=1001-pop1-2p0-100p0 =100p1-p0)1-2p0-1=100p2po-3<0: 所以EZ<EX,应选择方案二 目地城赠点03 两点分布/二项分布 一、单选题 1.D 2.C 3.C 4.A. 5.c 二、多选题 6.ACD 三、解答题 7.【详解】(1)选择方案一，则每一次摸到红球的概率为p= 20_2 5051 设“发终获得0元浅金”为件A:则pA=C号× 3 54 -125 (2)若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为 ,每一次摸到白球的概率为 设最终获得奖金为X元，则X的所有可能的取值为30,60,90,120， 则pX=30片 27,PX=60)=C12× 2_54, 125 5 -125 pX=90=C 3=36,PX=120= 12 8 5125 所以EX=30×+60× 27 125+90×36】 +120×78-6 7/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y,最终获得奖金为Z元， 则y~B3 2\, 故EY=3× 2_6 55 所以EZ=E60Y)=60×。=72 (3)因为EX)<EZ,所以应选择第二种抽奖方案 目地城点04 超几何分布 一、单选题 1.A 二、多选题 2.BCD 三、解答题 3.【详解】(1)根据题意可知， “X=1”指事件“取出的2个球中，恰有1个白球”， 所以P(X=1)= 4C5_15 Ca 28 (2)根据题意可知，X的可能取值为：0,1,2 P(X=0)= =5:P(X=1) C 14 CC=15:p(X=2)= -3 28 28 所以随机变量X的分布列为： X 0 2 5 15 3 14 28 28 5 则X的数学期望E(X)=0× +2× 3_21_3 14 +1×15 28 28284 4.【详解】(1)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3，X~H9,3,3, pX=0F-元Px11=9 C6C_15 28 8/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P(X=2)= ic=3 P(X=3)= 1 84 所以，X的分布列为： 0 1 2 3 5 15 3 1 21 28 14 84 (2) 有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为6十33， 3-1 由题意可知r的可能取值为0,1,2,3”Y~B3 1 p(Y=1)=C P(Y-3lC 所以，Y的分布列为： 0 1 2 3 8 4 2 1 27 9 9 27 5. 【详解】(1)X∈{0,10,20,30 P(X=0 C3=1P(X=10) CC-21=7 C120 12040 P(X=10)= C.63-24pX=30=S-3= C。 12040 12024 9/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以X的分布为 X 0 10 20 30 1 7 21 7 120 40 40 24 1 所以E(X)=0× +10× +20× 21 +30× -=21 120 40 40 24 (2)记“该同学仅答对1道题”为事件M 以-名号+品c品 10 这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为。 6.【详解】(1)X的可能取值为2,3,4， 则PX=2= Co ,PX=3= 15 ccc 8,pix=al- 6C615 5 则X的分布列为 X 2 8 P 1 15 15 2-5 EX=2× +3×8+4×2=10 15 15 53 (2)设食品监督管理部门邀请的代表记为集合A,卫生监督管理部门邀请的代表为集合B,则收到两个部 门邀请的代表的集合为AUB 设参加会议的群众代表的人数为Y,则Y=card A U B. 设card A U B=k,则card An B=40-k, PY=k= PY=k+1 C8*C1 Cioo Cioo c PY=k+1_C8*C9_40-k100-k」 P(Y=k C2-KCo 20k-19)k-19] 10/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理：Py=kC8*C”(41-k101-k PY=k-1)C20-KCBo 2k-20)(k-20] 1 PX=k+1≤PX=k PX=k 即40-k100-k, ≤1≤41-K101-,解得3569≤k≤3669， k-19k-19-k-20k-20 102 102 又k∈Z,所以k=36,故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为36. 目地城诗点05 正态分布 一、单选题 1.A. 2.C 3.D 4.C 5.B 二、多选题 6.ABC 7.ACD 三、填空题 成015号 9025号 10.95.45%/0.9545 四、解答题 11.【详解】(1)设“两人得分之和小于35分”为事件A,则事件A包括以下四种情况： ①两人得分均为16分：②一人得分16，一人得分17： ③一人得分16，一人得分18；④两人均得17分 由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人. 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则由古典概型的概率计算公式可得PA)= 550 29 故两人得分之和小于35分的概率为 50 (2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数X的估计值为： X=(0.006×150+0.012×160+0.018×170+0.034×180+0.016×190 +0.008×200+0.006×210)×10≈179又由2≈225得标准差g≈15 所以高二年级全体学生的跳绳个数x近似服从正态分布N179,152引 ①因为μ-0=179-15=164，故PX>164=1-1-0,6826=0.8413, 2 故估计每分钟跳绳164个以上的人数为2000×0.8413≈1683 ②由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为号 所以Y~B3,}y所布可能的取信为0,123 所以pY=o=c1-日 ply=1)-c -v=-c1-号 Pr3-c1-日 故Y的分布列为： 0 1 2 3 1 1 8 8 8 8 12/15 90学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.【详解】(1)由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x， 2(x-60)=(70-x)， ，解得 $$x = \frac { 1 9 0 } { 3 } ，$$ 平均数为： 35×0.05+45×0.15+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.1=62.5， (2)\mu=E=62.5，0=13.4， 49.1=62.5-13.4=\mu-0，89.3=62.5+13.4×2=\mu+20， $$\therefore P \left( 4 9 . 1 < t \le 8 9 . 3 \right) = P \left( \mu - 0 < t \le \mu + 2 \sigma \right) = \frac { 0 . 6 8 2 7 + 0 . 9 5 4 5 } { 2 } = 0 . 8 1 8 6$$ 由题意知： X∼B(5，0.8186) ∴E(X)=5×0.8186≈4.1 目地城考点06 随机变量与数列 一、填空题 $$1 . \frac { 1 } { 3 } \left[ 1 + 1 - 1 \right] ^ { n } \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } \right\}$$ 二、解答题 2.【详解】 $$\left( 1 \right) P _ { 1 } 、 Q _ { 1 }$$ 分别表示操作一次后，甲盒子中恰有 3 个、2个黄球的概率， 由题可知： $$P _ { 1 } = \frac { C _ { 1 } ^ { 1 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } \cdot \frac { C _ { 1 } ^ { 1 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } = \frac { 1 } { 9 } ， Q _ { 1 } = \frac { C _ { 1 } ^ { 1 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } + \frac { C _ { 1 } ^$$ (2)记重复 $$n ^ { y }$$ 操作后，甲盒子中恰有 1 个黄球的概率为 $$R _ { n }$$ ，易得 $$R _ { 1 } = \frac { C _ { 2 } ^ { 1 } _ { 2 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } \cdot \frac { C _ { 2 } ^ { 1 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } = \frac { 4 } { 9 } ，$$ 由题易得 $$X _ { 2 }$$ 的所有可能取值为3、2、1、0， 且P $$P \left( X _ { 2 } = 3 \right] = P _ { 2 } = P _ { 1 } \cdot { 0 } + Q _ { 1 } \cdot \left( \frac { C _ { 1 } ^ { 1 } _ { 3 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } \right) + R _ { 1 } \cdot { 0 } = \frac { 4 } { 8 1 } ，$$ P(X，=2)= $$P \left( X _ { 2 } = 2 \right) = Q _ { 2 } = P _ { 1 } 1 1 + Q _ { 1 } ： \left\{ \frac { C _ { 2 } ^ { 1 } } { C _ { 3 } ^ { 2 } } - \frac { C _ { 1 } ^ { 1 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } { _ { 3 } ^ { 1 } } - \frac { C _ { 1 } ^ { 1$$ P(X，=1)=R，= $$P \left( X _ { 2 } = 1 \right) = R _ { 2 } = P _ { 1 } ： 0 + Q _ { 2 } ： \left( \frac { C _ { 2 } ^ { 1 } } { C _ { 3 } ^ { 1 } } _ { 3 } = 1 _ { 3 } ^ { 1 } \right) _ { 1 } = \left( _ { 1 } ^ { 1 } _ { 3 } ^ { 1 } + _ { 3 } ^ { 1$$ 13/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PX2=0=P10+Q10+R1 品 所以X2的分布列为： X2 3 2 1 0 P 4 41 32 4 81 81 81 81 数学期望为EX2= 3×4+2×41+1×32+0×4_126-14 81 81 91 (3)记重复n次t操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为R, 由题，可得EX=3Pn+2Qn+R. 而pn1=P0+Q。 1.1 33 +R0=Q Qn+1=Pn1+Qn· Rn-1=Pn0+Qn 引*R传号号+1-R-0,R1 33 1是，3那+20*R0+2p+号0.+号R+1-P-号0.-R=p+号0+号R+1 2 1 9 也nEx小x+1→EX小2Ex引 百環为EX-=3北+20+R-2号号后 3-5-3-1 因此 x. 3是首项为1，公比为1等比数列. 6 14/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15/15 专题03 随机变量及其分布列 6大高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02离散型随机变量的分布列 考点03两点分布/二项分布 考点04超几何分布 考点05正态分布 考点06随机变量与数列 地 城 考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率为（   ） A．0.05 B．0.08 C．0.1 D．0.15 【答案】C 【分析】根据全概率公式，即可求解. 【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件， 则，， 且，， 则 . 故选：C 2．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算可求概率. 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题给条件求出，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】由， 解得， 所以. 故选：A. 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A．0.08 B．0.09 C．0.1 D．0.15 【答案】B 【分析】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，再由条件概率及全概率公式求解. 【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品， ，， 由全概率公式得 . 故选：B 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)（多选）月饼象征着团圆和丰收，是中国的汉族传统美食之一，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的盒装月饼，已知甲箱中有3盒肉松月饼，2盒果蔬月饼和4盒冰皮月饼，乙箱中有3盒肉松月饼，3盒果蔬月饼和3盒冰皮月饼，则下列正确的是（   ） A．从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是. B．依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼，第一盒是肉松的条件下，第二盒是果蔬的概率是. C．先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是. D．先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率是. 【答案】AD 【分析】古典概型可直接得到选项A；条件概率可得到选项B；全概率公式直接得到选项C；利用选项C的结论与条件概率可得到选项D. 【详解】对于A，从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是，故A正确； 对于B，依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼， 第一盒是肉松月饼的条件下，第二盒是果蔬月饼的概率为：，故B错误； 对于C，先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼， 则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是：，故C错误； 对于D，先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼， 若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率为：，故D正确. 故选：AD． 6．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 7．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件B与事件相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的乘法公式判断C，根据条件概率公式计算判断BD. 【详解】因为，，， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 所以 ，故A正确； 因为，所以，故B正确； 所以，所以事件与事件不是相互独立，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 8．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知，则____________. 【答案】/0.2 【分析】应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由. 故答案为： 9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为_____. 【答案】0.98 【分析】设事件“血检呈阳性”， “患该种疾病”，依题意知，，根据条件概率公式求得结果. 【详解】设事件“血检呈阳性”， “患该种疾病”， 依题意知，， 由得， 故答案为：. 四、解答题 10．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件概率得公式求解即可； （2）由条件概率得公式与对立事件的概率公式求解即可 【详解】（1）（1）设表示甲中奖，表示乙中奖， 则， 因为抽完的奖券不放回， 所以甲中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有2张写有“中奖”字样， 所以乙中奖的概率为， 所以甲中奖而且乙也中奖的概率为 ； （2）， 因为抽完的奖券不放回， 所以甲没中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有3张写有“中奖”字样， 所以乙中奖的概率为， 所以甲没中奖而且乙中奖的概率为 地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知随机变量的分布列如表： 1 2 3 4 0.15 0.35 0.25 则实数（    ） A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35 【答案】C 【分析】由随机变量的分布列的性质可得. 【详解】由随机变量的分布列的性质知，解得. 故选：C. 2．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（   ） ξ 0 1 2 P a b c A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的极值点就是导函数的零点，再结合二次方程的韦达定理和分布列概率和为1可求解，并检验是否满足题意即可作出判断. 【详解】由，得， 由，解得．当时，满足，故． 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 0.3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据随机变量分布列的性质可求解的值，然后再根据分布列计算数学期望即可. 【详解】由，得，则. 故选：AC. 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)（多选）设离散型随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 若离散型随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再利用期望和方差公式求， 即可，从而可得答案 【详解】由得，又由得，从而得，，故A选项错误，B选项正确； ，故C选项正确； 因为，所以 ，故D选项错误， 故选：BC． 三、填空题 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量满足，则__________. 【答案】18 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】解：因为， 所以. 故答案为：18. 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 【答案】 【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】依题意、为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件，则， 所以，解得或（舍去）， 所以的可能取值为、、， 则，，， 所以. 故答案为： 8．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则__________分钟. 【答案】10 【分析】根据全期望公式及离散型随机变量的期望的性质即可求解. 【详解】由全期望公式可知，，解得分钟. 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求： (1)李明在一年内参加考试次数X的分布列，期望； (2)李明在一年内领到资格证书的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)0.976 【分析】（1）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （2）求出李明三次考试均没有通过的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）X的取值分别为1，2，3． ，， ， 所以李明参加考试次数X的分布列为： X 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 ． （2）李明三次考试均没有通过的概率为， 故李明在一年内领到资格证书的概率为：. 10．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析 【分析】（1）①利用进行求解；②求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算数学期望； （2）分解计算出甲先出场成功概率，乙先出场成功概率，比较后得到结论. 【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P， 则． ②依题可知，X的可能取值为0，1，2， 则由①知， ， ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； （2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下： 设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为， 则， ∵， ， ∴， 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同． 11．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． (1)在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； (2)记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1.9 【分析】（1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此条件下有1次是甲投中的概率； （2）写出的所有可能取值，求出对应概率，列出分布列，求出数学期望 【详解】（1）记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件，“甲投中”为事件． ， ． （2）的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 12．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3)应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）表达出选择方案二满分概率为，由基本不等式求出最值，得到答案； （2）设选择方案一学生得分为，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件，表达出，由可得，从而，得到答案； 方法二：若选择方案一，求出可能的取值和对应的概率，求出，若选择方案二，求出可能的取值和对应的概率，求出，相减得，由可得，从而，得到答案； 【详解】（1）记选择方案二学生的得分为， ， ，当且仅当时取等， 此时满分概率为； （2）在方案一中，记A类题得分为，B类题得分为，选择方案一学生得分为， ， ， 由题可知可能的取值为0、25、50、75、100， ， ， 的分布列为 Z 0 25 50 75 100 P （3）应选择方案二，理由如下： 方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件， 由可得，解得， ， 故， 其中， ， 所以 ， 所以，应选择方案二； 方法二：由可得，解得， 若选择方案一，学生得分可能的取值分别是0、25、50、75、100， ， ， ， 所以 ， 若选择方案二，学生得分可能的取值分别是0、50、100， 其中， ， 所以 ， 所以 ， 所以，应选择方案二. 地 城 考点03 两点分布/二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某试验每次成功的概率为，现重复进行9次该试验，则恰好有2次试验未成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】由题意可知，重复进行9次该试验，恰好有2次试验未成功， 说明7次成功，2次未成功，所以所求概率为. 故选：D 2．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】. 故选：C 4．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)随机变量从二项分布，则等于（      ） A．5 B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望公式进行求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：A. 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（   ） A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128 【答案】C 【分析】利用二项分布的概率公式即可得到答案． 【详解】篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次， 概率为. 故选：C. 二、多选题 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)（多选）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的性质可判断CD选项． 【详解】设 “向右下落”， “向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A，故A正确； 对于B,，故B错误； 对于C，故C正确； 对于D，故D正确． 故选：ACD． 三、解答题 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案. 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金. 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金. (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望； (3)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动? 【答案】(1) (2)， (3)第二种 【分析】（1）先求出每一次摸到红球的概率，再由相互独立事件的概率解； （2）求出两种方案所获奖金的分布列，再求期望； （3）根据期望值大小判断. 【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，则. （2）若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为. 设最终获得奖金为元，则的所有可能的取值为30，60，90，120， 则，， ，， 所以. 若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得奖金为元， 则，故， 所以. （3）因为，所以应选择第二种抽奖方案. 地 城 考点04 超几何分布 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量X的分布列为，则 C．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D．甲乙两位垂钓爱好者抛一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各抛杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 【答案】BCD 【分析】由二项分布期望公式及期望运算性质可判断A，由方差计算公式及性质可判断B，由组合知识和古典概型概率计算公式可判断C，由条件概率计算公式可判断D. 【详解】对于A：，，错误； 对于B：， ， 所以，所以，正确； 对于C：，正确； 对于D：设甲爱好者抛一次杆中鱼为，乙爱好者抛一次杆中鱼为， 则，，， 则，正确， 故选：BCD 三、解答题 3．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可. （2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望. 【详解】（1）根据题意可知， “”指事件“取出的个球中，恰有个白球”， 所以. （2）根据题意可知，的可能取值为：． ；；． 所以随机变量X的分布列为： 则的数学期望． 4．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析. 【分析】（1）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，， 所以，X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为， 由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，， 所以，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 5．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． (1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； (2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解， （2）根据相互独立事件的概率，即可求解. 【详解】（1） ，， ， 所以X的分布为 X 0 10 20 30 P 所以 （2）记“该同学仅答对1道题”为事件M. 这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为. 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. (1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望． (2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数. （附：极大似然估计（MLE）即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为） 【答案】(1)分布列见解析， (2)36 【分析】（1）列出的可能取值，结合古典概率公式利用组合数求出相应的概率，列出分布列，再由期望公式求解即可； （2）设食品监督管理部门邀请的代表记为集合，卫生监督管理部门邀请的代表为集合，设参加会议的群众代表的人数为Y，先由离散型随机变量公式求出其概率，再讨论 求出即可. 【详解】（1）的可能取值为， 则，，， 则的分布列为 2 3 4 . （2）设食品监督管理部门邀请的代表记为集合，卫生监督管理部门邀请的代表为集合，则收到两个部门邀请的代表的集合为. 设参加会议的群众代表的人数为Y，则． 设，则， ，， ， 同理：， 令，得， 即，解得， 又，所以，故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为36. 地 城 考点05 正态分布 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的密度曲线关于对称， ，所以. 故选：A. 2．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量，且，则（    ） A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】根据正态曲线的对称性可得, 故选：C 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)已知随机变量X服从正态分布，且，则（   ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 【答案】D 【分析】根据正态分布的曲线的对称性及曲线表示的意义即可求解. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以正态曲线关于直线对称， 则. 又因为， 所以. 故选：D. 4．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】B 【分析】根据三种品牌手表误差的正态分布曲线的图象，结合正态分布曲线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确； 乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确； 由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙，所以C正确； 由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确. 故选：B. 二、多选题 6．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（     ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性、性质、均值和方差等知识对选项逐一判断. 【详解】因为服从正态分布， 所以，所以A正确，D错误； 根据正态分布的性质可知，所以B正确； 因为. 所以. 所以，所以C正确. 故选：ABC. 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)（多选）设两个随机变量、满足服从正态分布，服从二项分布，则（    ）（若随机变量，） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项分布和正态分布的概率公式、期望与方差公式及正态分布的对称性，依次判断各选项即可． 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，， ，D正确． 故选：ACD 三、填空题 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 【答案】/ 【分析】由随机变量服从正态分布，判断出曲线关于对称，根据对称性解题. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以曲线关于对称. 所以. 故答案为：0.15 9．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知随机变量服从正态分布且，则____________. 【答案】0.25/ 【分析】先求出，由对称性可得. 【详解】已知，因此， 根据对称性可得：. 故答案为：0.25 10．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为___________．【参考数据：；；】 【答案】95.45%/0.9545 【分析】由正态分布的概率公式估计即得. 【详解】由题意可知，可设误差为，则服从正态分布， ， 故合格率约为95.45%． 故答案为：95.45% 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下： 每分钟跳绳个数 185以上 得分 16 17 18 19 20 年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图： （1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）； （2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题： ①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数） ②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差． （若随机变量服从正态分布则，，） 【答案】(1) ；(2)①；②的分布列为： 0 1 2 3 【分析】(1)先分析可得有四种大的情况,再根据排列组合的方法求概率即可. (2)①根据正态分布的特点求解的概率再利用总人数求解即可. ②易得满足二项分布,再根据二项分布的公式计算分布列与数学期望和方差即可. 【详解】(1)设“两人得分之和小于35分”为事件,则事件包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②一人得分16,一人得分17； ③一人得分16,一人得分18；④两人均得17分. 由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人. 则由古典概型的概率计算公式可得. 故两人得分之和小于35分的概率为 (2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为： ,又由,得标准差, 所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布. ①因为,故. 故估计每分钟跳绳164个以上的人数为 ②由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为. 所以,所有可能的取值为. 所以, , . 故的分布列为： 0 1 2 3 12．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示. (1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）. 参考数据：当X服从正态分布时，，，. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据频率直方图中位数、平均数的求法直接计算即可； (2)利用正态曲线的对称性求出，进而结合二项分布的性质求出即可. 【详解】（1）由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x， 则，解得， 平均数为：； （2），， ，， ， 由题意知： 地 城 考点06 随机变量与数列 一、填空题 1．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 【答案】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球到乙、丙手中的概率为，可得与的关系，然后构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球给乙、丙的概率为：， 故，则， 即数列为等比数列，其首项为，公比为， 则，即. 故答案为：. 2、 解答题 2．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，结合古典概型的概率公式可求得、的值； （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，求出的值，分析可知的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，由此可得出的值； （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，可得，推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【详解】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率， 由题可知：，. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得， 由题易得的所有可能取值为、、、， 且，       ，     ，      ，        所以的分布列为： 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为， 由题，可得，           而， ， ， 于是，， 也即，       首项为， 因此是首项为，公比为等比数列. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 随机变量及其分布列 6大高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02离散型随机变量的分布列 考点03两点分布/二项分布 考点04超几何分布 考点05正态分布 考点06随机变量与数列 地 城 考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率为（   ） A．0.05 B．0.08 C．0.1 D．0.15 2．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A．0.08 B．0.09 C．0.1 D．0.15 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)（多选）月饼象征着团圆和丰收，是中国的汉族传统美食之一，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的盒装月饼，已知甲箱中有3盒肉松月饼，2盒果蔬月饼和4盒冰皮月饼，乙箱中有3盒肉松月饼，3盒果蔬月饼和3盒冰皮月饼，则下列正确的是（   ） A．从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是. B．依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼，第一盒是肉松的条件下，第二盒是果蔬的概率是. C．先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是. D．先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率是. 6．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件B与事件相互独立 D． 三、填空题 8．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知，则____________. 9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为_____. 四、解答题 10．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率． 地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)已知随机变量的分布列如表： 1 2 3 4 0.15 0.35 0.25 则实数（    ） A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35 2．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（   ） ξ 0 1 2 P a b c A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 0.3 则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)（多选）设离散型随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 若离散型随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量满足，则__________. 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 8．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则__________分钟. 四、解答题 9．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求： (1)李明在一年内参加考试次数X的分布列，期望； (2)李明在一年内领到资格证书的概率． 10．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 11．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． (1)在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； (2)记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 12．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 地 城 考点03 两点分布/二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)某试验每次成功的概率为，现重复进行9次该试验，则恰好有2次试验未成功的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)随机变量从二项分布，则等于（      ） A．5 B． C．1 D．0 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（   ） A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128 二、多选题 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)（多选）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案. 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金. 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金. (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望； (3)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动? 地 城 考点04 超几何分布 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量X的分布列为，则 C．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D．甲乙两位垂钓爱好者抛一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各抛杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 三、解答题 3．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 4．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列. 5．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． (1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； (2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. (1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望． (2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数. （附：极大似然估计（MLE）即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为） 地 城 考点05 正态分布 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量，且，则（    ） A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 3．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第二中学·期末)已知随机变量X服从正态分布，且，则（   ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 4．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 5．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 二、多选题 6．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（     ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A． B． C． D． 7．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)（多选）设两个随机变量、满足服从正态分布，服从二项分布，则（    ）（若随机变量，） A． B． C． D． 三、填空题 8．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 9．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知随机变量服从正态分布且，则____________. 10．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为___________．【参考数据：；；】 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下： 每分钟跳绳个数 185以上 得分 16 17 18 19 20 年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图： （1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）； （2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题： ①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数） ②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差． （若随机变量服从正态分布则，，） 12．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示. (1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）. 参考数据：当X服从正态分布时，，，. 地 城 考点06 随机变量与数列 一、填空题 1．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 2、 解答题 2．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $