考点02 分式方程（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统整合分式方程的定义辨析、求解步骤、增根处理及实际应用，通过易错点提示与题型分类实现方法迁移，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程概念|5题|定义判断三要素（方程形式、分母含未知数、区分整式方程与分式）|从概念本质出发，通过对比辨析建立分式方程的认知框架| |解与增根|5题|四步解法（去分母→解整式方程→检验→写解）、增根双维度分析（最简公分母为0、整式方程无解）|以转化思想为核心，衔接整式方程与分式方程的解的关系| |列方程与实际应用|10题|六步建模法（审设列解验答）、三类模型（工程/行程/销售问题等量关系）|从数学抽象到模型应用，强化运算能力与应用意识|

02 分式方程 考点一：分式方程 1、分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、解分式方程： （1）解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的最简公分母。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 （2）解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入最简公分母中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的增根，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 考点二：分式方程解实际应用题 1、列分式方程解实际应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的等量关系。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 题型一：分式方程的定义 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 判断依据：①方程形式；②分母中是否含有未知数（如x, y等），注意等常数不算。 3. 区分整式方程：分母中不含未知数的方程是整式方程，不是分式方程。 4. 注意辨析：分式方程与分式不同，分式方程是等式（含有等号），分式是代数式（不含等号）。 1. 将误判为分式方程（是常数，不是未知数）。 2. 将分母中含字母但无等号的代数式（如）误认为是分式方程。 3. 化简后分母不含未知数的方程，误判为分式方程（应看原方程形式）。 4. 忽略分式方程必须含有未知数这一核心条件。 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，含有分式，是分式方程，符合题意； 故选：． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】 解：①分母中含有未知数，故是分式方程； ②分母中不含有未知数，故是整式方程； ③分母中含有未知数，故是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．掌握其定义是解题关键． 【详解】解：①；分母中不含有未知数，故①不是分式方程； ②；分母中含有未知数，故②是分式方程； ③；分母中含有未知数，故③是分式方程； ④．分母中不含有未知数，故④不是分式方程． 故选：． 5．（24-25八年级上·浙江·阶段检测）下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有___________．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 故答案为：②④． 题型二：分式方程的解与增根 1. 解分式方程步骤：去分母 → 解整式方程 → 检验 → 写解。 2. 增根概念：使最简公分母为 0 的根，不是原分式方程的解，必须舍去。 3. 有解条件：整式方程的解满足最简公分母 。 4. 无解情况：①整式方程无解（如）；②整式方程的解是增根。 5. 由解求参数：先用含参形式表示解，再根据“解为正数”“有增根”等条件列不等式或方程求解。 1. 解分式方程后忘记检验，将增根误认为原方程的解。 2. 讨论无解时，只考虑增根情况，忽略整式方程本身无解的情况。 3. 由解为正数求参数时，忽略分母 的隐含条件。 4. 增根代入整式方程时，符号或计算错误。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 3．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解法，首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：，可知当时，方程无解，当时，方程的解为，因为分式方程的解为增根，所以可得：，解方程求出的值即可，本题中需要注意无解和增根的区别． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程无解， 此时； 当时， 可得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 检验：当时，原方程的增根为，符合题意； 当时，分式方程有增根． 故选：C． 4．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 5．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 题型三：列分式方程 1. 审题：找出题目中的已知量和未知量，确定等量关系。 2. 设未知数：通常设所求量为未知数，注意单位统一。 3. 列方程：根据“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”“路程 = 速度 × 时间”等关系列分式方程。 4. 常见模型： · 工程问题： · 行程问题： · 销售问题： 5. 检验：列出的方程要确保分母不为 0，且符合实际意义。 1. 等量关系找错，导致方程列反（如“多用了时间”与“少用了时间”混淆）。 2. 单位不统一直接列式（如速度用 km/h，时间用分钟未换算）。 3. 设未知数时未明确含义，导致列式混乱。 4. 忽略题目中的隐含条件（如“同时完成”“提前几天”等）。 1．（2026·浙江温州·二模）瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总质量、每筐质量、筐数的数量关系，结合筐数的差值列出对应方程即可． 【详解】解：设原来每筐装千克，则每筐装千克，依题意得： ． 2．（2026·浙江台州·二模）某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总价和单价分别表示出原价与降价后购买笔记本的数量，再根据“降价后比原价多买4本”的等量关系列方程． 【详解】解：原价为元/本，每本降价3元后，售价为 元/本， 360元按原价可购买笔记本数量为本，360元按降价后价格可购买笔记本数量为本， 降价后可比原价多买到4本，即降价后购买数量减去原价购买数量等于4， 列方程得 ， 故选：A． 3．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产1800个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（   ） A．每天比原计划多生产5个，结果延期5天完成 B．每天比原计划多生产5个，结果提前5天完成 C．每天比原计划少生产5个，结果延期5天完成 D．每天比原计划少生产5个，结果提前5天完成 【答案】B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得缺失条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 4．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，先理解题意，根据设制作1个榫需要的木材为x千克，则制作1个卯需要的木材为千克，再结合用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克， 则制作1个卯需要的木材为千克， 由题意得： 5．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数总制作数量平均每人制作的数量列方程即可． 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 题型四：解分式方程 1. 找最简公分母：将各分母因式分解，取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积。 2. 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 3. 解整式方程：按解整式方程的步骤求解（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）。 4. 检验：将解代入最简公分母，若为 0 则舍去（增根）；若不为 0 则是原方程的解。 5. 写解：根据检验结果写出方程的解（无解时写明“无解”）。 1. 去分母时漏乘常数项或整式项。 2. 符号处理错误，特别是分母互为相反数时（如 x-1与 1-x）。 3. 检验时代入原方程而不是最简公分母，导致增根漏判。 4. 解整式方程时运算错误，导致解错。 1．（2026·浙江温州·二模）将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 2．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程转化为整式方程求解，再检验得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得，， 移项得，， 检验：当时，，故是原分式方程的解． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】2 【分析】先统一分母，将分式方程化为整式方程求解，求解后进行检验得到最终结果． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同乘，得 ， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 4．（2026·浙江温州·二模）解方程： 【答案】 【分析】依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验的步骤求解即可． 【详解】解：原方程变形为 ， 方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 5．（2026·浙江台州·二模）解分式方程：． 【答案】原分式方程无解 【详解】解：， 两边同时乘，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 题型五：分式方程的实际应用 1. 审题建模：理解题意，将实际问题抽象为分式方程模型。 2. 设未知数：通常设工作效率、速度、单价等为未知数。 3. 列方程：根据等量关系列出分式方程，注意单位统一。 4. 解方程：按解分式方程的步骤求解，注意检验。 5. 双重检验：①检验是否为原分式方程的解；②检验是否符合实际意义（如人数、数量为正整数）。 6. 作答：写出完整的答案，注意单位。 1. 列方程时等量关系找反（如“提前”与“推迟”混淆）。 2. 解出方程后只检验是否为增根，忽略实际意义检验（如人数不能为负数、分数等）。 3. 设未知数时未注明单位，导致列式错误。 4. 分式方程应用题中，忽略“同时完成”“相同时间”等隐含条件。 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花180棵，乙种花120棵； (2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花180棵，乙种花120棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位 (2)共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用A型船a艘，B型船b艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位； （2）设需租用型船艘，租用型船艘， 由题意得，， ， 又均为非负整数， 或或， 共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 【答案】C 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：， 分式方程两边同乘以得： ， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． 当时，则， 令最简公分母为0，即 解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力．实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植万株，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得：． 故选：A． 3．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边乘以去分母得：． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 【答案】 【分析】设该分式的值恒为常数，根据题意列出等式，整理为关于的恒等式，利用恒等式对应系数相等得到方程组，消去参数即可得到与的关系式． 【详解】解：设分式对一切有意义的的值恒为， 根据题意得（）， 等式两边同乘得， 整理得， 因为该等式对一切有意义的都成立， 所以， 由得 ， 将代入得， 整理得． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 【答案】 【分析】先表示出，再根据即可用含的式子表示出s．本题主要考查了列代数式（分式），能根据题意用含的式子表示出s是解题的关键． 【详解】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天， ∴； 同理可得，． ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 【答案】，， 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，先将分式化为整式，然后解方程得到用m表示的分式方程的解，然后根据解为正整数讨论可得到m的值，注意分式的分母不能为0． 【详解】解：，， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，2，3，6， 整数m的值为，，，1， ，即， ， 即， 整数m的值为，，， 故答案为：，，． 7．（2026·浙江·模拟预测）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母，得：， 移项并合并同类项，得：， 解得， 经检验，是原方程的解． 8．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）． (1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（   ） A．　B．　C．　D． (2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值． (3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值． 【答案】(1)D (2)2 (3)1 【分析】本题考查“诚意”方程（组）的定义、解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握二元一次方程组及分式方程的解法，正确理解“诚意”方程（组）的定义是解题的关键． （1）分别解各方程（组），判断解是否为整数； （2）解方程组得，根据x为整数，则是10和15的正公约数，且，据此解答即可； （3）将代入分式方程，解得，由于为正整数，方程是“诚意”方程，则是63的正约数，且， 满足的63的正约数有有7，9，21，63，据此解答即可． 【详解】（1）解：选项A、方程的解为，是整数， 选项B、方程组解为，是整数， 选项C、方程解为，是整数， 选项D、方程的解为，不是整数， 则选项D不是“诚意”方程， 故选：D； （2）解：根据题意得 ， 解得， 由于方程组为“诚意”方程组，是正整数， 则是10和15的正公约数，且， ∴， 当，即时，方程组的解为， 因此，正整数的值为2； （3）解：将代入方程得 ， 解得， 由于为正整数，方程是“诚意”方程， 则是63的正约数，且， 63的正约数有1，3，7，9，21，63， 满足的有7，9，21，63， 当，即时，，且分母、； 当，即时，，分母，故舍去； 当，即时，，且分母、； 当，即时，，且分母、， 因此，的最小值为1． 9．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 10．（25-26八年级上·全国·期末）已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： (1)关于x的方程的解为 ； (2)关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； (3)关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查分式方程的解，掌握题干中方程的特征和方程的解是解题的关键： （1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知：，利用完全平方公式变形计算即可； （3）将方程变形为，得到，进而得到，再根据是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴关于x的方程的解为，； （2）由题意可知：， ∴； （3）， ， ∵关于x的方程的两个解是， ∴， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴或，是5的约数， ∴或， ∵为整数， ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 分式方程 考点一：分式方程 1、分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、解分式方程： （1）解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的最简公分母。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 （2）解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入最简公分母中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的增根，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 考点二：分式方程解实际应用题 1、列分式方程解实际应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的等量关系。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 题型一：分式方程的定义 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 判断依据：①方程形式；②分母中是否含有未知数（如x, y等），注意等常数不算。 3. 区分整式方程：分母中不含未知数的方程是整式方程，不是分式方程。 4. 注意辨析：分式方程与分式不同，分式方程是等式（含有等号），分式是代数式（不含等号）。 1. 将误判为分式方程（是常数，不是未知数）。 2. 将分母中含字母但无等号的代数式（如）误认为是分式方程。 3. 化简后分母不含未知数的方程，误判为分式方程（应看原方程形式）。 4. 忽略分式方程必须含有未知数这一核心条件。 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 5．（24-25八年级上·浙江·阶段检测）下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有___________．（填序号） 题型二：分式方程的解与增根 1. 解分式方程步骤：去分母 → 解整式方程 → 检验 → 写解。 2. 增根概念：使最简公分母为 0 的根，不是原分式方程的解，必须舍去。 3. 有解条件：整式方程的解满足最简公分母 。 4. 无解情况：①整式方程无解（如）；②整式方程的解是增根。 5. 由解求参数：先用含参形式表示解，再根据“解为正数”“有增根”等条件列不等式或方程求解。 1. 解分式方程后忘记检验，将增根误认为原方程的解。 2. 讨论无解时，只考虑增根情况，忽略整式方程本身无解的情况。 3. 由解为正数求参数时，忽略分母 的隐含条件。 4. 增根代入整式方程时，符号或计算错误。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 3．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 4．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 5．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________． 题型三：列分式方程 1. 审题：找出题目中的已知量和未知量，确定等量关系。 2. 设未知数：通常设所求量为未知数，注意单位统一。 3. 列方程：根据“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”“路程 = 速度 × 时间”等关系列分式方程。 4. 常见模型： · 工程问题： · 行程问题： · 销售问题： 5. 检验：列出的方程要确保分母不为 0，且符合实际意义。 1. 等量关系找错，导致方程列反（如“多用了时间”与“少用了时间”混淆）。 2. 单位不统一直接列式（如速度用 km/h，时间用分钟未换算）。 3. 设未知数时未明确含义，导致列式混乱。 4. 忽略题目中的隐含条件（如“同时完成”“提前几天”等）。 1．（2026·浙江温州·二模）瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产1800个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（   ） A．每天比原计划多生产5个，结果延期5天完成 B．每天比原计划多生产5个，结果提前5天完成 C．每天比原计划少生产5个，结果延期5天完成 D．每天比原计划少生产5个，结果提前5天完成 4．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型四：解分式方程 1. 找最简公分母：将各分母因式分解，取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积。 2. 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 3. 解整式方程：按解整式方程的步骤求解（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）。 4. 检验：将解代入最简公分母，若为 0 则舍去（增根）；若不为 0 则是原方程的解。 5. 写解：根据检验结果写出方程的解（无解时写明“无解”）。 1. 去分母时漏乘常数项或整式项。 2. 符号处理错误，特别是分母互为相反数时（如 x-1与 1-x）。 3. 检验时代入原方程而不是最简公分母，导致增根漏判。 4. 解整式方程时运算错误，导致解错。 1．（2026·浙江温州·二模）将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 4．（2026·浙江温州·二模）解方程： 5．（2026·浙江台州·二模）解分式方程：． 题型五：分式方程的实际应用 1. 审题建模：理解题意，将实际问题抽象为分式方程模型。 2. 设未知数：通常设工作效率、速度、单价等为未知数。 3. 列方程：根据等量关系列出分式方程，注意单位统一。 4. 解方程：按解分式方程的步骤求解，注意检验。 5. 双重检验：①检验是否为原分式方程的解；②检验是否符合实际意义（如人数、数量为正整数）。 6. 作答：写出完整的答案，注意单位。 1. 列方程时等量关系找反（如“提前”与“推迟”混淆）。 2. 解出方程后只检验是否为增根，忽略实际意义检验（如人数不能为负数、分数等）。 3. 设未知数时未注明单位，导致列式错误。 4. 分式方程应用题中，忽略“同时完成”“相同时间”等隐含条件。 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力．实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植万株，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 7．（2026·浙江·模拟预测）解方程：． 8．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）． (1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（   ） A．　B．　C．　D． (2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值． (3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值． 9．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 10．（25-26八年级上·全国·期末）已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： (1)关于x的方程的解为 ； (2)关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； (3)关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $