内蒙古部分学校2025-2026学年高三下学期第六次调研数学试卷

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.-3i(-8-7i)= A.-21+24i B.21+24i C.-24+21i D.24+21i 2.若集合A={x∈N一3<x<3},则A的子集个数为 A.4 B.8 C.16 D.32 3.若7=9，则alogn7= A.2 B c D. 3 4.直线l1:x+3y=0与圆M:(x一5)2+y2=4的位置关系是 A相离 B.相切 C.相交 D.无法确定的 5.如图，别红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盆是故宫博物院珍藏.已知 该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的 长轴长约为22cm,则该椭圆的短轴长约为（取√57=7.55） A.18.12cm B.15.1cm C.14.3cm D.7.55cm 6.在1+)的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（丘-）” 的常数项为 A-180 B.180 C.-60 D.60 7.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,△ABC的面积为42， 则c= A√33 B.√9 C.17 D.5 8.已知正方体ABCD-A1B,C,D1的棱长为3，P为棱AB上更靠近A的三等分点，则平面 PB,C1截该正方体的截面的周长为 A3+/13 B.6+2√/13 C.3+10 D.6+2√/10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 茶 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列函数的图象关于直线x=2对称的有 A∫(x)=x2-4x B.f(x)=co5(2x-4) C.f()=lx+21 D.f)=sin(x+) 【高三数学第1页（共4页）】 ·HUM· 10.已知P1,R分别是双曲线Cx-云=1的左，右焦点，0为坐标原点，点P在C上，且向量 a=PF-PF,b=PF,+PF2,则 A.lal=10 BC的渐近线方程为y=土得： C.b=2PO D.当1al=1bl时，|PF,1+1PF1=14 11.已知函数f(x)=-x3+ax一2sinx,则 A.f(x)是奇函数 B.0可能是f(x)的极值点 C.f(x)可能有2个极值点 D.当∫(x)在(0,1)上有极大值时，a的取值范围为(2,2十2cos1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为2,2√2，高为上底面边长与下底面边长的等 比中项，则该正四棱台的体积为▲ 13.已知随机变量X,Y均服从两点分布，X与Y相互独立，且P(X=0)= P(Y=1)=0.3.若Z=X+Y,则P(2=0)=▲，Z的期望 为▲ 14.如图，点A,B均在单位圆O上，且点A的横坐标为汽，∠A0B=子，则 点B的纵坐标与横坐标的比值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 2021~2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 3 ￥ 运背里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)预测2026年我国高铁的运营里程 附：在经验回归方程y=bx十a中， 6红-00-含-m -,a=y-bE. 2(红，-) ri-n 【高三数学第2页（共4页】 ·HM- 16.(15分) 已知函数f(x)=x一xlnx. (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(c))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间及最大值. 17.(15分) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F关于C的准线的对称点为(0，一9)， (1)求C的方程； (2)过点F的直线L与C交于A,B两点，A,B在x轴上的投影分别为A1,B1,且梯形 AA:B,B的中位线的长度为9，求L的方程. 【高三数学第3页（共4页）】 -·HLM, 18.(17分) 在△ABC中，AB=AC=2W5,BC=4,D,E分别为AC,AB的中点.将△ADE沿线段DE 折起，使点A到达点P的位置，连接PB,PC,得到四按锥P-BCDE,取BC的中点F,连接 PF. (1)证明：DE IPF. (2)如图1，当平面PDE⊥平面BCDE时，求二面角P-BC-D的大小. (3)如图2，设二面角P-DE-B的大小为0，在折叠过程中，即0在(0，)上变化时，求△PCD 的重心G在空间中的运动轨迹的长度， E 因1 田2 19.(17分) 已知f(x)是定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数，若正项数列(a.)满足a1=1,且对 任意nEN',都有f(a.+1)一f(a.)=f(a.),则称(a.)为f(x)的衍生数列. (1)若a,=2,f(x)=之x2(x>0),判断(a,是否是fx)的衍生数列，并说明理由. ②者a.为/e)=tr≠0)的衍生数别，证明②器<2 (3)若{，为fx)=2丘-2的衍生数列，证明瓜≤√a<斤+之 【高三数学第4页（共4页】 ·UM·高三数学参考答案 题序 9 10 11 12 13 14 答案 B D B D B ABD ACD AC 28 3 0.21;1 -3 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第12~14题，凡与答案不符的均不得分 【4】第13题第一空2分，第二空3分 1.A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养. -3i(-8-7i)=24i+212=-21+24i. 2.B【解析】本题考查集合的子集个数，考查数学运算的核心素养 因为A={0,1,2},所以A的子集个数为23=8. 3.D【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养， 市7-9，将a-be8,所以elbe7-1e9X1e7据×88号 4.A【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑推理的核心素养 圆M的圆心为M(6,0),半径为2.因为圆心M到1的距离为>2，所以1与圆M相离。 5.B【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查数学建模的核心素养和应用意识 设该圆方程为后+芳-1a>6>0,由后-之-√一()-。 所以26=√5×2a=257=15.1,故该椭圆的短轴长约为15.1cm 11 6.D【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养。 在(1十x)”的展开式中，第4项的二项式系数为C.因为只有第4项的二项式系数最大，所以 n=6. 故（反-）”的常数项为C()(-)‘=60. 7.C【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养， 由2hsnC=4反，得血C-23因为△ABC是锐角三角形，所以sC-1-C-号 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos C=17,则c=√17. 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 ·HULM· 8.B【解析】本题考查正方体的截面，考查空间想象能力， D 如图，取棱DC上更靠近D的三等分点Q,连接PQ,QC1.易证PQ∥A B BC1,PQ=B,C1,所以平面PB1C1截正方体的截面为平行四边形 PB1C1Q.因为B1C1=3,PB1=√13，所以该截面的周长为6十2√13 9.ABD【解析】本题考查函数图象的对称轴，考查逻辑推理的核心素养， f(x)=x2一4x的图象关于直线x=2对称，A正确 因为2X2一4=0，所以f(x)=cos(2x一4)的图象关于直线x=2对称，B正确. f(x)=|x十2的图象关于直线x=一2对称，C错误 因为晋×2+若=受，所以f(x)=sim(若x+若)的图象关于直线x=2对称，D正确， 10.ACD【解析】本题考查双曲线与向量的综合应用，考查数学运算的核心素养， 因为a=PF-PF2=F2F1,所以|a=F2F11=2X√/1+24=10，A正确. C的渐近线方程为y=士√24x=士2W6x,B错误 因为O是F1F2的中点，所以b=PF1+PF2=2Pò，C正确. PF11-PF21I=2, 当|a=|b时，|PO1=5,所以△PF1F2是直角三角形由 PF12+|PF212=100, PFI=6,(PFI=8 得 PF1=8或PF1=6, 或 所以PF11+PF21=14,D正确. 11.AC【解析】本题考查函数的奇偶性与极值，考查数学运算和逻辑推理的核心素养 因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=x3一ax+2sinx=一f(x),所以f(x)是奇函数，A 正确， f'(x)=-3x2十a-2cosx,由f'(0)=a-2=0,得a=2.因为f′(x)是偶函数，所以0不 可能是f'(x)的变号零点，所以0不可能是f(x)的极值点，B错误， f'(x)的导函数为fx)=-6x+2sinx.当0x≤号时，x≥sinx,得f产(x)≤0，当x> 时，一6x<-3π，2sinx≤2，得f"(x)<0,所以f'(x)在[0，十o∞)上单调递减.当a>2时， f'(0)>0,当x→+∞时，f'(x)→-∞，则f'(x)在[0，十∞)上有1个变号零点，所以f(x)在 [0,十∞)上有1个极值点.又f(x)是奇函数，所以f(x)有2个极值点.故f(x)可能有2个极 值点，C正确. 1f'(0)=a-2>0, 当f(x)在(0,1)上有极大值时， 得2<a<3+2cos1,D错误. (f'(1)=-3+a-2cos1<0, 12.3 8 【解析】本题考查等比中项与正四棱台的体积，考查数学运算的核心素养， 因为正四棱台的高为√W2X2√2=2， 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 ·HULM· 所以该正四棱台的体积为3×2×[(W2)2+(22)2+√W2)×(2W2)]=2 13.0.21;1【解析】本题考查两点分布与随机变量的期望，考查数学运算的核心素养。 因为P(X=1)=1-P(X=0)=0.7,P(Y=0)=1-P(Y=1)=0.7, 所以P(Z=0)=P(X=0)P(Y=0)=0.3X0.7=0.21. Z的可能取值为0,1,2.P(Z=2)=P(X=1)P(Y=1)=0.7×0.3=0.21, P(Z=1)=1-P(Z=0)-P(Z=2)=0.58, 所以Z的期望为0×0.21+1×0.58+2×0.21=1. 14.一3【解析】本题考查单位圆与三角恒等变换，考查直观想象和数学运算的核心素养 设0A,OB与x轴正半轴所成的角分别为a8,则cosa号，得sn&=个-cos-25 , tan a= in&=2,所以tanB=tan(a十4)=一ta。=一3.故点B的纵坐标与横坐标的比 cos a 值为一3. 15.【解析】本题考查一元线性回归模型，考查应用意识和数据处理能力， 解：(1)由题意得z=1+2+3+4+5 =3, 2分 y=4+4.2+45+4.8+5-4.5, …4分 5 则6= 2u:-2--（-2》x(-0.5)+(-1D×(-0.3)+0+1X0.3+2X0.5 含红，-2) 4+1+0+1+4 0.26,… 6分 a=y-ix=3.72. 8分 故y关于x的经验回归方程为y=0.26x十3.72.………9分 (2)当x=6时，y=0.26×6+3.72=5.28. 11分 故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里. 13分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样求： 6子2y1-nxy 1×4+2×4.2+3×4.5+4×4.8+5X5-5X3×4.5=0.26. 1+4+9+16+25-5×32 【2】第(2)问中，只写“预测2026年我国高铁的运营里程为5.28”，未写“万公里”，扣1分， 16.【解析】本题考查导数的几何意义、函数的单调性和最值，考查数学运算的核心素养， 解：1)f'(x)=1-(lnx+x·） =-In x. 2分 因为f(e)=e-elne=0, 3分 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 ·HULM· f'(e)=-lne=-1, ………4分 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y=一x十e. … 6分 (2)f(x)的定义域为(0，十0∞)，…7分 令f'(x)>0,得0<x<1,所以f(x)的单调递增区间为(0,1).…10分 令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)的单调递减区间为(1，十o∞).…13分 故f(x)的最大值为f(1)=1.…15分 【评分细则】 【1第(1)问中，切线方程还可以写成“x十y一e=0”. 【2】第(2)问中，写“f(x)的单调递增区间为(0,1]”“f(x)的单调递减区间为[1，十∞)”，均 不扣分 17.【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算和直观想象的核心素养. 解：1)由题意得F(o,), …1分 C的准线方程为y=一 2分 则号+(-9)=2×(-) …4分 得p=6. 5分 故C的方程为x2=12y.… 6分 (2)易得l的斜率存在，设A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=kx十3. …7分 [y=kx+3, 由 得x2-12kx-36=0, …8分 x2=12y, △=144k2+144>0, 得 …10分 x1+x2=12k. 由题意得|AA1|十BB1|=2×9=18. 11分 因为|AA1+|BB1=y1十y2=kx1+3+kx2十3=k(x1十x2)十6=12k2十6=18，… …13分 所以k=士1.… …14分 故l的方程为x一y十3=0或x十y一3=0.…15分 【评分细则】 【1】第(2)问中，未写“易得1的斜率存在”，扣1分；最后的结果还可以写为“故l的方程为y =x十3或y=-x+3” 【2第(2)问求出还可以这样求|AA1十|BB1: 1AA1+BB1=y1十y2=2(xi+x)=2[(x1十x2)2-2z1x2]=12k2+6=18. 18.【解析】本题考查线线垂直、二面角与图形折叠的变换，考查逻辑推理的核心素养和空间想象 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 ·HULM· 能力 (1)证明：如图1，取DE的中点O,连接PO,OF.…1分 .AB=AC,D,E分别为AC,AB的中点， ∴.OF LDE,PO⊥DE.…2分 ,PO∩OF=O,∴.DE⊥平面POF.…3分 PFC平面POF,.DE⊥PF.…4分 B (2)解：.DE∥BC,∴.BC⊥PF,BC⊥OF,…5分 图1 ∴.二面角P-BC-D的平面角为∠PFO. 6分 ,PO⊥DE,平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE, .PO⊥平面BCDE,…7分 ∴PO⊥OF.易得PO=OF,∠PFO=,即二面角P-BCD为T 41 …9分 (3)解：如图2，取DE的中点O,连接PO,OF 由(1)可知PO⊥DE,OF⊥DE,则∠POF=0.·10分 以O为原点，建立空间直角坐标系，则P(2cos0,0,2sin0), D(0,1,0),C(2,2,0).…11分 设G(x,y,x). 由重心性质可得x=2cos0+0+2-2 3 c0s 0+2 y 图2 0+1+2-1,z=2sin0+0+0-名 3 3 3 sin 0. …13分 .y=1为定值，.重心G在固定平面内运动.…14分 由x-号-号cs0号m0,得(-号}+- 9cos20+4、 9 sin0= 4 ,…15分 点G在圆心为(，，0，半径三号的圆上.…16分 又∈(0，π)，点G在空间中的运动轨迹的长度为3 …17分 【评分细则】 第(2)问得到PO⊥平面BCDE给1分，接下来这样解答： 如图，以O为原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,-2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),BC=(0,4,0),B2= (-2,2,2).…6分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,x), 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 ·HULM· 1n.BC=4y=0, 则 n·Bp=-2x+2y+2z=0, 取x=1,则之=1，得n=(1,0,1).… 7分 易得平面BCDE的一个法向量为m=(0,0,1),得二面角P-BC-D的余弦值为 m·n m n 2 8分 由图可知二面角P-BC-D为锐角，故二面角P-BC-D为 9分 19.【解析】本题考查数列的新定义与导数的综合应用，考查逻辑推理、数学抽象的核心素养和创 新意识， (1)解：由题意得f'(x)=x,则f'(an)=Qn=2m-1.…1分 因为fe）-fa,)=2217=2（(4-4-1)≠2， 2分 所以f(am+1)-f(an)≠f'(an),所以{an}不是f(x)的衍生数列.…3分 (2)证明：当f(x)=kx(k≠0)时，f'(x)=≠0，则f'(an)=.…4分 由f(am+i)-f(an)=k(an+1-an)=k及k≠0，得a+1-an=l, 5分 又a1=1,所以an=n.…6分 设8日是++是则s,+ 十…十 2n+1, 22n+1, 7分 11 1 2m+1=1一九+2 2m+1, 8分 则头--2 2n ∠2. 9分 8证明：f)=2由fa-fa,)-fa,得2van-2v瓜- 三.…10分 1 令b.=√a,得61=Va=1,b+1-b.+2 将1=4：+站两边平方，得=候+1十很得候1然=1十破1.…11分 当n≥2时，b员-b=b员-b-1+…+b号-b2+b3-b>n-1,得b员>n. 又b1=1≥√1，所以bn=√an≥√n.…12分 6经一候=1+按1+城 …13分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 ·HULM· 当m≥2时，6-6好=6-b621++6-6娟+63-≤n-1+(1+2十+n己） 得≤+(1+号+叶) … …14分 当2时，分2a-2 2 =2(n-I-√n-2), 则≤n+(1+2++n)n+×21-0+2-1++va可-n-2)=+ 员/n-1.a …15分 要证a,<n+2,只需证6<(n+号)》， 即证a+2n可<n+反+行，即证+受+>0，这显然恒成立，则v@:<m+2 0…0…。00……4000…040.0.000n。0。。0000.000.0年0040400404400004000……4…06分 缘上v≤a<+ 17分 【评分细则】 【1第(1)问中，只写“{an}不是f(x)的衍生数列”，未说明理由，给1分. 【2】第(3)问中，未写“b1=1≥√1”，扣1分. ▣▣ 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】 ·HULM·