6.6.3 球的表面积和体积（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s)·必修第二册 6.3 球的 课程标准 了解并掌握球的体积和表面积公式 课前 [情境引入] 街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球. 问题如何计算球的体积？ 提示：Vu=专R [知识梳理] [知识点一]球的相关概念 1.球的大圆 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆. 2.球的小圆 球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 3.直线与球相切 直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交 点称为直线与球的切点， 4.切线长 过球外一点的所有切线的切线长都相等。 [知识点二]球的表面积和体积公式 S=4R,V:-专R,其中R为球的半径。 ?思考1.球有底面吗？球面能展开成平面图 形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形 2.球心和球的小圆圆心的连线和小圆垂直吗？ 提示：垂直 面积和体积 素养解读 运用球的表面和体积公式进行计算，培养学生 的直观想象和逻辑推理素养，提升学生的数学 运算素养 预习学案 对应学生用书P204 [预习自测] 1.如果两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的 表面积之比为 A.1:9 B.1:27 C.1:3 D.1:1 解析：A[设这两个球的表面积分别为S1,S2,半 -g.] 2.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增 大到原来的 A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 解析：C[设气球原来的半径为r,体积为V,则V =骨心，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体 积变为原来的23=8倍.] 3.长方体的长、宽、高分别为5,4,3，其顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为 解析：球的直径是长方体的体对角线，所以2R= √/52+4+32=√/50，S=4πR2=50π. 答案：50π 56 课堂。 题型一 球的表面积和体积 [例1]已知球的直径为6cm,求它的表面积和 体积. 汇思路点拨]直接利用球的表面积和体积公式 求解 [解]直径为6cm,.半径R=3cm, .表面积S缘=4πR2=36π(cm), 体积V=专xR=36x(cm). 规律方法 1.掌握球的表面积公式S球面=4πR2是计算球 的表面积的关键，半径与球心是确定球的 条件 2.把握住球的体积公式V=专xR是计第球 的表面积和体积的关键，半径与球心是确定 球的条件.把握住公式，球的体积计算的相关 题目也就迎刃而解了。 ◇[变式训练] 1.(1)若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积 扩大为原来的 A.8倍B.4倍C.2√2倍D.2倍 (2)三个球的半径之比为1：2：3，那么最大的球 的体积是其他两个球的体积和的 A.1倍B.2倍C.3倍 D.4倍 解析：(1)大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为 原来的√2倍，所以球的体积扩大为原来的2√2倍 (2)设三个球的半径分别为1,2,3，则大球的体积 V,=青元X3=36x,两个小球的体积和V十V, 专×1+2)=12x,则最大球的你积是共他两个 球的体积和的3倍】 答案：(1)C(2)C 题型三 球的截面问题 [例2]在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分 别为49πcm2和400πcm,求此球的半径. 汇思路点拨]球半径、截面圆半径，球心到截面圆 心的距离构成一个直角三角形，利用直角三角形 知识求解， ·35 第六章立体几何初步 互动学案 对应学生用书P204 -● [解]若两截面位于球心的同侧，如图所示的是经过 球心O的大圆截面，C,C分别是两平行截面的圆心， 设球的半径为R,截面圆的半径分别为r,r1, 由πr=49π，得r1=7. 由πr2=400元，得r=20, 在Rt△OB,C1中，OC1=√R-r=√R-49, 在Rt△OBC中，OC=√R2-r=√R2-400. 由题意可知OC1-OC=9,即√R2-49-√R2-400 =9,解此方程，取正值得R=25. 若球心在两截面之间，如图所 B 示，OC1=√R2-49, OC =√JR-400. 由题意可知OC1+OC=9,即 √R2-49+√JR2-400=9,此方程无解. 综上所述，此球的半径为25cm. 规律方法 设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为 O,则△AO,O是以O1为直角顶点的直角三角 形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求 解，并常用过球心和截面圆心的轴截面. 微提醒：两个结论：①两个球的表面积之比等于 这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之 比等于这两个球的半径比的立方. ◇[变式训练] 2.湖面上浮着一个球（水下部分不超过一半），湖水结 冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24cm,深为 8cm的空穴，则球的半径为 cm,球的表 面积为 cm. 数学s·必修第二册 解析：设球的半径为Rcm, 由题意知，截面圆的半径r=12cm,球心到截面的 距离d=(R-8)cm, 由R2=r2+d,得R2=144+(R-8)2, 即208-16R=0,解得R=13, 故S练=4πR2=676πcm2. 答案：13676π 题型目】 球的切、接问题 [例3]一个高为16的圆锥内接于一个体积为972x 的球，在圆锥里又有一个内切球.求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积. [思路点拔]选取适当的截面，找出球的半径，利 用平面几何知识解决问题， [解](1)如图所示，作出轴截 面，则等腰三角形SAB内接于 圆O,而圆O1内切于△SAB. 0 设圆O的半径为R,则有 D 专R=972xR=9, .∴.SE=2R=18. .SD=16,.ED=2. 连接AE,又SE是圆O的直径，∴.SA⊥AE, .SA2=SD×SE=16×18=288,SA=12√2. ,AB⊥SD,D为AB中点， ∴.AD2=SD·DE=16X2=32,AD=4√2. .S国锥%=πKADXSA=πX4√2X12√2=96π. (2)设内切球的半径为r,即圆O1的半径为r, ,△SAB的周长为2×(12√2+4√2)=32√2， ∴rX32E=×82×16,解得r=4. 故国锥内切球的体积Vk=专- 3元. ·35 规律方法 球与几何体的切、接问题的解题思路 1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面 上，解题时要认真分析图形，一般需依据球和几 何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几 何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并 作出合适的截面进行求解. 2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当 的截面（一般作出多面体的对角面所在的截 面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且 能反映出几何体与球的位置关系和数量关系。 ⊙[变式训练] 3.(1)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为 √6，则这个半球的体积为 解析：过正方体对角面作截面如 图所示，设半球的半径为R,因为 正方体的棱长为√6，所以CC'= 0 6,00-号x6-5 在Rt△C'CO中，由勾股定理，得 CC2十OC2=OC2,即(6)2+（√5）2=R2, 所以R=3.故V=×号xR=18 答案：18π (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a, 顶点在一个球面上，则该球的表面积为 ( A.na B子d c号a D.5πa 解析：B[如图所示，设O1,OA, C 分别为上、下底面的中心，连接 0, OO1,则球心O2为OO1的中 点，连接AO并延长交BC于 D点，连接AO2: D :AD-A0-号AD-,00=号iA0 女十0-a2,故孩球的表面积S。=标× 7 a2- 3ra.] 8 随堂。 1.过球面上任意两点A,B作大圆，可能的个数是 ) A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 D.以上均不正确 解析：B[当过A,B的直线经过球心时，经过A,B 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A,B作球 的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经 过A,B,O的截面就是一个大圆，这时只能作出一 个大圆.] 2.正方体的内切球半径与外接球半径的比是() A.1:√2 B.1:√5 C.√2：3 D.1:2 解析：B[正方体的内切球半径为正方体棱长的一 半，外接球半径为正方体对角线长的一半.设正方 体的棱长为。，则内切球的半径为r=号，外接球的 半径为R-。,所以内切球年径与外接球半径的 比为1：5.] 3.长方体的体对角线长为5√2，若长方体的8个顶点 都在同一个球面上，则这个球的表面积是() ● 课后。 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇 形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面 积为 ( A. B.2 C.3π D.4元 解析：C[由题可得，以OB所在直线为轴旋转一 周所得的几何体是一个半球，其中半球的半径”= 1,故半球的表面积为2πr2十元r2=2π十元=3元.故 选C.] .35 第六章立体几何初步 步步夯实 对应学生用书P205 A.20√2元 B.25√2元 C.50元 D.200π 解析：C [对角线长为5√2，∴.2R=5√2，S= 4πR=4rX5V2） =50元.] 2 4.在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC= 6,BC=8,AB=10,则球心到经过这三个点的截面 的距离为 解析：由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的 直角三角形，所以其外接圆的半径r=A,B=5,所以 2 d=√R2-r=12. 答案：12 5.球与棱长为2的正方体的面都相切，求此球的 体积. 解析：正方体的内切球球心是正 方体的中心，切，点是六个面（正方 R 形)的中心，经过四个切点及球心 0 作截面， 如图：所以球的直径是正方体的 棱长， 即2R=2,所以R=1,所以球的体积V=4 3 素养提升 对应学生课时P122 2.若球的体积是32，则此球的表面积是 3 A.12x B.16元 C.16x 3 D.64 3 解析：B[设球的半径为R,则由已知得号xR 3吗，解得R=2故球的表西积为4R=16] 3.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成 一个大铁球，则这个大铁球的半径为 ( A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 解析：B[设大铁球的半径为Rcm,则有号xR 3xx( 2 0),解得R=6.] 数学s)·必修第二册 4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的 体积为要，则正方体的棱长为 A.6 2 B③ C.3 D.1 解析：C[设正方体棱长为a,球半径为R, 则R-号R- ,5a=3,a=√5.] 5.(多选)一个正方体内接于一个球，过球心作一截 面，如图所示，则截面可能的图形是 B C 解析：ABC[当截面平行于正方体的一个侧面时 得C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面 不平行于任何侧面也不过对角线时得A,但无论如 何都不能截出D.] 6.(多选)若一个球的直径为d,体积为V球，一个正方 体的棱长为a,体积为V正，且它们的表面积相同， 则有 () A.da B.V球<V正 C.d<a D.V球>V正 解析：AD[球直径为d,则表面积S=πd2.正方体 棱长为a,则表面积为6a2.由πd=6a2,∴.d2>a2, 即da又Va=音x: d πd° 8 6 =a2·d,V正= a3,.V绿>V正.] 7.用一个平面去截半径为25cm的球，截面圆面积是 225πcm2,则球心到截面的距离为 cm. 解析：由截面圆面积是225πcm,得截面圆半径为 15cm,故球心到截面的距离d=√R一r= √252-15=20(cm). 答案：20 8.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8cm 的水，若放人三个相同的球（球的半 径与圆柱的底面半径相同)后，水恰 好淹没最上面的球（如图所示），则球 的半径是 cm. 36 解析：设球的半径为rcm,则由题意可得3V意十V衣 =Va即3X专十2X8=2X6r,解得r 4.故球的半径是4cm. 9.正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，内有一个球 与它的四个面都相切，则内切球的表面积为 ,体积为 解析：正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，.V =1×3×(2√6)×1=2B.设内切球的半径为 3 4 r,以球心O为顶，点，棱锥的四个面为底面把正三棱 锥分割为四个小棱锥.又正三棱锥的斜高为 r+3·号×2×26×5r=2,=6 2.∴S=46-2)元，体积V=专6-2)x 答案：4W6-2)π 专6-2)x 10.如图所示，半径为R的半圆内的阴 影部分以直径AB所在直线为旋转 轴，旋转一周得到一几何体，求该几 0 何体的表面积.（其中∠BAC=30°） 解：所得几何体如图所示， 过点C作CO1⊥AB于点O1· 在半圆中，∠BCA=90°，∠BAC =30°，AB=2R, ∴.AC=√3R,BC=R, 0 0-9. S=X鸟X歌 =号xR, Sm=XRXR-停R, 又S缘=4πR2, ∴.S儿何你表=S球十S圆锥A0,侧十S图锥阳，侧 =R+R+9R-+区R 2 故所得几何体的表面积为1十5R: 2 0 11.A,B,C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点 的线段)AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,平 面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求 球的半径 解：如图所示， C 因为AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形，AC 为斜边 所以△ABC的外接圆圆心O1是AC的中点. 过A,B,C三点的平面截球O得圆O1的半径为r =15cm. 在R△0，C中，R=() 所以R+15,所以R=30。 所以R=10√3cm.即球的半径为10√3cm. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与 底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直 角三角形的三棱锥称之为鳖懦，若三棱锥 P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,PA=AB=2, AC=4,三棱锥P一ABC的四个顶点都在球O的 球面上，求球O的表面积 解析：将三棱锥P一ABC放入长方体中，如图，三 棱锥P一ABC的外接球就是长方体的外接球，因 为PA=AB=2,AC=4,△ABC为直角三角形， 所以BC=√4一2=2√5，设外接球的半径为R, 由题意可得(2R)2=22+22十(2√5)=20，故R =5,则球O的表面积为4πR=20π. 答案：20π 13.如图，某种水箱用的“浮球”是 由两个半球和一个圆柱筒组 成的.已知半球的直径是 6cm,圆柱高为2cm. (1)这种“浮球”的体积是 多少？ o cm ·36 第六章立体几何初步 (2)要在2500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如 果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？ 解：(1)因为半球的直径是6cm,所以半径 4 R=3cm,所以两个半球的体积之和为V集=R= 36π(cm3). 又V回拉=xR2X2=18π(cm3), 所以这种“浮球”的体积V=V,十V画椎=36π十 18π=54π(cm3). (2)根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S =4πR2=36π(cm2), 又S圆拉侧=2xRX2=12π(cm2), 所以1个“浮球”的表面积S=S绿十S圆接侧=36π十 12π=48π(cm2). 所以2500个“浮球”的表面积为2500S=2500× 48π=120000π(cm2)=12x(m2). 所以共需胶100×12π=1200π（克）. 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.已知正四面体ABCD的外接球的体积为4√3π， 求正四面体的体积， 解：将正四面体ABCD置于正方 体中，如图所示， 则正四面体的外接球即为正方体 的外接球，正方体的对角线即为球B 的直径。 设外接球的半径为R, 由V=4R=45元得R=5, 3 所以正方体的棱长为2，所以AB=2√2， 所以Sm2×2x2×号=25 因为点A到平面BCD的距离h= ×2R=4, 3 所以V==-号.