第01讲 三角形的概念（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学新教材人教版

第01讲 三角形的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 小学时，我们接触过三角形，观察下列图片，你能找出其中的三角形吗? 【知识点1 三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【知识点2 三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【题型1 三角形的定义】 【例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，下列图形中是三角形的有　 　 （填序号）． 【题型2 三角形的基本元素】 【例2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD边上一点． （1）以AB为边的三角形为　 ； （2）∠BCE是△ 和△ 的内角； （3）在△ACE中，∠CAE的对边是 ． 【变式2-1】如图，填空： （1）△ACD的三条边分别是 ；△ABC的三个内角分别是 　 ； （2）在△DBC中，∠D的对边是 ；DC是△ADC和△ 的公共边；∠B是△ 和△ 的公共角． （3）若AC⊥BC，则图中的钝角三角形是 　 ． 【变式2-2】如图所示： （1）图中共有 　 　 个三角形，分别是 　 ； （2）△CDE和△BCD的公共角是 　 ，公共边是 ； （3）在△ABC和△BEC中，∠ACB是边 和 的对角； （4）BE是△ 和△ 的公共边． 【变式2-3】看图填空，如图． （1）图中共有 　 个三角形，它们分别是 　 ； （2）△BGE的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 　 ； （3）在△AEF中，顶点A所对的边是 ，边AF所对的顶点是 ； （4）∠ACB是△ 的内角，∠ACB的对边是 ． 【题型3 三角形的计数问题】 【例3】图中共有三角形 　 　 个． 【变式3-1】如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有　 　 个三角形． 【变式3-2】如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 　 个三角形．（写出所有可能的值） 【变式3-3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【题型4 三角形的分类】 【例4】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下，请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式4-2】下列说法：①三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形一定是等腰三角形；③有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式4-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（　　） A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形 【题型5 判断三角形的形状】 【例5】根据下列所给条件，判断△ABC的形状． （1）∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°； （2）∠C＝120°； （3）∠C＝90°； （4）AB＝BC＝4，AC＝5． 【变式5-1】判断具备下列条件的三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形． （1）如果∠A：∠B：∠C＝1：4：6，那么△ABC是 　 　 三角形． （2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是 　 　 三角形． （3）如果∠A∠B∠C，那么△ABC是 　 　 三角形． 【变式5-2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有　 　 个直角三角形，有　 　 个钝角三角形． 【变式5-3】如图，点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接BC，三角形ABC（　　） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 模块四 课后作业 1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 2．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（　　） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 3．以下四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A﹣∠B＝∠C；③∠A＝∠B∠C；④∠A∠C，其中是直角三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，以点A为顶点的三角形有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝87°，AD⊥BC，则图中一共有 　 　个三角形，其中锐角三角形有 　 　 个，直角三角形有 　 　 个，钝角三角形有 　 　 个． 6．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　 ．（只需填上一个即可） 7．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． （1）以AB为一边画出一个三角形，其中以AB为一边可以画出　 　 个三角形； （2）以C为顶点画出一个三角形，其中以C为顶点可以画出　 　 个三角形． 8．观察下面的三角形，并把它们的标号填在相应的圈内． 9．如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD． （1）写出△ABE的三个内角； （2）在△ABD中，∠B的对边是 AD ；在△ABC中，∠B的对边是 AC ． （3）图中共有几个三角形？把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ （4）∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 10．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　 个三角形；图③有　 　 个三角形；图④有　 　 个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角形的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 小学时，我们接触过三角形，观察下列图片，你能找出其中的三角形吗? 【知识点1 三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【知识点2 三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【题型1 三角形的定义】 【例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的定义判断即可． 【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 【变式1-1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，判断即可． 【解答】解：观察图形，其中符合三角形概念的图形是D， 故选：D． 【变式1-2】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【解答】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念， 故选：C． 【变式1-3】如图，下列图形中是三角形的有　 　 （填序号）． 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．进行判断即可． 【解答】解：①是三角形， 故答案为：①． 【题型2 三角形的基本元素】 【例2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD边上一点． （1）以AB为边的三角形为　 ； （2）∠BCE是△ 和△ 的内角； （3）在△ACE中，∠CAE的对边是 ． 【分析】利用三角形的定义、三角形的边、三角形的角的相关概念可得答案． 【解答】解：（1）以AB为边的三角形为：△ACB，△ABE，△ABD， 故答案为：△ACB，△ABE，△ABD； （2）∠BCE是△BCE和△DCE的内角， 故答案为：BCE；DCE； （3）在△ACE中，∠CAE的对边是CE， 故答案为：CE． 【变式2-1】如图，填空： （1）△ACD的三条边分别是 ；△ABC的三个内角分别是 　 ； （2）在△DBC中，∠D的对边是 ；DC是△ADC和△ 的公共边；∠B是△ 和△ 的公共角． （3）若AC⊥BC，则图中的钝角三角形是 　 ． 【分析】（1）根据三角形的定义即可得出答案； （2）根据三角形的定义即可得出答案； （3）根据钝角三角形的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）△ACD的三条边分别是：AC，AD，CD；△ABC的三个内角分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB， 故答案为：AC，AD，CD；∠BAC，∠ABC，∠ACB； （2）在△DBC中，∠D的对边是：BC；DC是△ADC和△BDC的公共边；∠B是△ABC和△DBC的公共角， 故答案为：BC，BDC，ABC，DBC； （3）∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD为钝角， ∴△BCD为钝角三角形， 故答案为：△BCD． 【变式2-2】如图所示： （1）图中共有 　 　 个三角形，分别是 　 ； （2）△CDE和△BCD的公共角是 　 ，公共边是 ； （3）在△ABC和△BEC中，∠ACB是边 和 的对角； （4）BE是△ 和△ 的公共边． 【分析】（1）根据三角形的定义及表示方法，找到图中所有的三角形，从而找到三角形的总数； （2）根据公共角和公共边的定义，确定两个三角形的公共角和公共边； （3）在△ABC中，∠ACB是边AB的对角，在△BEC中，∠ACB是边BE的对角； （4）根据公共边的定义，确定答案． 【解答】解：（1）图中共有5个三角形，分别是△ABE、△BEC、△DEC、△ABC、△BCD； 故答案为：5，△ABE、△BEC、△DEC、△ABC、△BCD； （2）△CDE和△BCD的公共角是∠D，公共边是CD； 故答案为：∠D，CD； （3）在△ABC和△BEC中，∠ACB是边AB和BE的对角； 故答案为：AB，BE； （4）BE是△ABE和△BCE的公共边． 故答案为：ABE，BCE． 【变式2-3】看图填空，如图． （1）图中共有 　 个三角形，它们分别是 　 ； （2）△BGE的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 　 ； （3）在△AEF中，顶点A所对的边是 ，边AF所对的顶点是 ； （4）∠ACB是△ 的内角，∠ACB的对边是 ． 【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （2）组成三角形的线段叫做三角形的边． （3）相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． （4）相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角分别进行分析． 【解答】解：（1）如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF， 故答案为：4；△ABC、△EBG、△AEF、△CGF； （2）△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、GB，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE， 故答案为：B、G、E；BE、EG、GB；∠B、∠BEG、∠BGE； （3）△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E， 故答案为：EF；E； （4）∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB． 故答案为：ACB；AB． 【题型3 三角形的计数问题】 【例3】图中共有三角形 　 　 个． 【分析】观察图形先找出图中基本的三角形，△BDO，△ABO，△AOE，再找出复合组成的三角形即可． 【解答】解：①△BDO，△ABO，△AOE，共3个； ②△ABD，△ADC，2个； ③△ABE，△BCE，2个； ④△ABC，1个； 综上，图中共有共8个三角形． 故答案为：8． 【变式3-1】如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有　 　 个三角形． 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：△PAE，△PBE，△PCE，△PDE，△PAB，△PAC，△PAD，△PBC，△PBD，△PCD共10个， 故答案为：10． 【变式3-2】如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 　 个三角形．（写出所有可能的值） 【分析】根据题意画出图形即可求解． 【解答】解：如图所示，共有两种情况： ①两点不在同一直线上，分别连接三个顶点，共有7个三角形； ②两点在同一直线上，分别连接三个顶点，共有9个三角形． 故答案为：7或9． 【变式3-3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【分析】不在同一直线上的三点可以组成一个三角形，那么线段a上取一个点，线段b上取两个点，这三个点可组成一个三角形或线段a上取两个点，线段b上取一个点，这三个点可组成一个三角形，据此可得答案． 【解答】解：∵不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△ABC，△ABD，△ABE，共9个三角形． 【题型4 三角形的分类】 【例4】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【解答】解：等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 【变式4-1】如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下，请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【分析】根据三角形的分类即可得到结论． 【解答】解：该三角形的形状是钝角三角形， 故选：D． 【变式4-2】下列说法：①三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形一定是等腰三角形；③有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【分析】根据三角形按边分类分为等边三角形和不等边三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情况，有两边相等的三角形是等腰三角形判断即可． 【解答】解：①等边三角形是特殊的等腰三角形，不应是并列关系①错； ②正确，等边三角形一定是等腰三角形．③是等腰三角形的定义，正确． 故选：B． 【变式4-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（　　） A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形 【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠ACB在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 【解答】解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 故选：D． 【题型5 判断三角形的形状】 【例5】根据下列所给条件，判断△ABC的形状． （1）∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°； （2）∠C＝120°； （3）∠C＝90°； （4）AB＝BC＝4，AC＝5． 【分析】（1）根据锐角三角形的概念判断； （2）根据钝角三角形的概念判断； （3）根据直角三角形的概念判断； （4）根据等腰三角形的概念判断． 【解答】解：（1）∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°， ∴∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°， ∴△ABC为锐角三角形； （2）∵∠C＝120°＞90°， ∴△ABC为钝角三角形； （3）∠C＝90°； ∴△ABC为直角三角形； （4）AB＝BC， ∴△ABC为等腰三角形． 【变式5-1】判断具备下列条件的三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形． （1）如果∠A：∠B：∠C＝1：4：6，那么△ABC是 　 　 三角形． （2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是 　 　 三角形． （3）如果∠A∠B∠C，那么△ABC是 　 　 三角形． 【分析】先求得三角形的内角度数，再根据锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝1：4：6，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C90°，即△ABC是钝角三角形， 故答案为：钝角； （2）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形， 故答案为：直角； （3）∵∠A∠B∠C， ∴∠B＝∠C＝2∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝36°， ∴∠B＝∠C＝72°，即△ABC是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【变式5-2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有　 　 个直角三角形，有　 　 个钝角三角形． 【分析】根据三角形按角分类的定义判断． 【解答】解：直角三角形：△ABD，△ADE，△ADC，△AFE，△CFE，共5个； 钝角三角形：△ABC，△AEC，共2个． 即图中有5个直角三角形，2个钝角三角形， 故答案为：5；2． 【变式5-3】如图，点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接BC，三角形ABC（　　） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【分析】分别画出图形判断即可． 【解答】解：由点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，可知△ABC可存在以下情况： 如图1，当∠ABC＜90°，∠ACB＜90°时，此时三角形ABC为锐角三角形； 如图2和图3，当∠ABC＝90°或∠ACB＝90°时，此时三角形ABC为直角三角形； 如图4和图5，当∠ABC＞90°或∠ACB＞90°时，此时三角形ABC为钝角三角形； 当AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC时，此时三角形ABC为等腰三角形； 综上，三角形ABC可能是①②③④． 故选：D． 模块四 课后作业 1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 2．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（　　） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【分析】根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【解答】解：根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 3．以下四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A﹣∠B＝∠C；③∠A＝∠B∠C；④∠A∠C，其中是直角三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用三角形的内角和定理分别求得最大角的度数，进一步判断即可． 【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，不是直角三角形，不符合题意； ②∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A﹣B﹣∠C＝0， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°，是直角三角形，符合题意； ③∵∠A＝∠B∠C， ∴设∠C＝2x，则∠A＝∠B＝x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2x+x+x＝180°， ∴x＝45°， ∴三个内角为45°，45°，90°，是直角三角形，符合题意； ④∵∠A∠C， ∴设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， ∵∠A+∠B+∠C＝180° ∴x+2x+3x＝180°， ∴x＝30°， ∴∠C＝90°，是直角三角形，符合题意， ∴是直角三角形的为②③④共3个， 故选：C． 4．如图，以点A为顶点的三角形有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据图形解答即可求解． 【解答】解：以点A为顶点的三角形有△AED、△AEC、△ABD、△ABC， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝87°，AD⊥BC，则图中一共有 　 　个三角形，其中锐角三角形有 　 　 个，直角三角形有 　 　 个，钝角三角形有 　 　 个． 【分析】根据三角形的定义及分类即可解答． 【解答】解：通过观察可知，图中一共有6个三角形，分别为：△ABC，△ABD，△ABE，△ADE，△ADC，△ACE，其中锐角三角形有2个，分别为：△ABE，△BAC，直角三角形有3个，分别为：△ABD，△ADE，△ADC，钝角三角形有1个，是△AEC． 故答案为：6；2；3；1． 6．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　 ．（只需填上一个即可） 【分析】根据等边三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：增加一个适当的条件为∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC， 故答案为：∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC． 7．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． （1）以AB为一边画出一个三角形，其中以AB为一边可以画出　 　 个三角形； （2）以C为顶点画出一个三角形，其中以C为顶点可以画出　 　 个三角形． 【分析】（1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再A、B、D、E中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【解答】解：（1）如图，其中以AB为一边的三角形为：△ABE，△ABD，△ABC． 故答案为：3； （2）如图，以C为顶点的三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE． 故答案为：6． 8．观察下面的三角形，并把它们的标号填在相应的圈内． 【分析】根据三角形的分类进行判断． 【解答】解：如图所示： 9．如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD． （1）写出△ABE的三个内角； （2）在△ABD中，∠B的对边是 AD ；在△ABC中，∠B的对边是 AC ． （3）图中共有几个三角形？把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ （4）∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 【分析】（1）根据三角形内角的定义，结合图形即可求解； （2）根据三角形中角的对边的定义，结合图形即可求解； （3）根据三角形的定义，结合数出图中三角形的个数，再根据直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的定义进行分类； （4）根据三角形的角的定义，结合图形即可求解． 【解答】解：（1）△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB； （2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC． 故答案为：AD；AC； （3）图中共有6个三角形，分别是：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC． 这些三角形中，直角三角形是：△ABE，△ADE，△AEC；锐角三角形是：△ABC，△ADC；钝角三角形是：△ABD． 故答案为：6； （4）∠ADC是△ADE，△ADC的公共角． 10．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　 个三角形；图③有　 　 个三角形；图④有　 　 个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数． 【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $