精品解析：2026年河南三门峡市卢氏县第三协作区中考二模数学试题

2026年河南三门峡市卢氏县第三协作区中考二模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 5 D. 2. “智能机器人等六大新兴支柱产业相关产值到2030年有望扩大到10万亿元以上”“‘十五五’时期制造业、服务业预计每年将创造超过1000万个就业岗位”2026年全国两会上，代表委员们的“好声音”，传递着奋进“十五五”的坚定信心．数据“10万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1所示的登封观星台是我国现存最古老的天文观测建筑，其主体“台体”可抽象为如图2所示的水平放置的实心正四棱台，该四棱台的上、下底面均为正方形，则该四棱台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 定义一种新运算：．例如：．则（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某校为了解九年级1000名男生1分钟跳绳次数达标情况，从九年级男生中随机抽取50名，统计他们1分钟跳绳次数，并绘制了如图所示的频数分布直方图．若1分钟跳绳次数不小于158次为满分，估计该校九年级男生1分钟跳绳为满分的有（ ） A. 340名 B. 520名 C. 680名 D. 720名 8. 如图1所示的铜钱纹是中国传统经典的吉祥几何纹样，其原型是古代外圆内方的方孔圆钱，兼具“天圆地方”的哲学内涵与招财纳福的美好寓意．如图2是一组有规律的铜钱纹图案，它由若干个大小相同且相互交叠的圆组成，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆⋯⋯依此规律，第200个图案中圆的个数为（ ） A. 596 B. 598 C. 599 D. 600 9. 如图，正方形的顶点D在直线上，分别过点，作直线l的垂线，垂足分别为，，连接交于点．若平分，，则的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 10. 如图1，在Rt中，，，是的中点，点从点出发沿向终点运动，连接，．设点运动的距离为，，与的函数关系的图象如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的整数_____． 12. 不等式组的解集是__________． 13. 小明有一套《丝绸之路文物（三）》特种邮票，共四枚，如图所示，上面分别印有“汉•『五星出东方利中国』锦护膊”“南北朝•神人纹银盘”“北周•凸钉玻璃碗”和“唐•胡人牵驼载丝壁画”四个文物图案．这四枚邮票除文物图案不同外，质地、规格均相同．毕业之际，小明准备把这四枚邮票中的两枚送给好朋友小亮，他将这四枚邮票背面朝上洗匀后放置在桌面上，让小亮从中随机抽取两枚，则小亮抽到的两枚邮票恰好是“南北朝•神人纹银盘”和“北周•凸钉玻璃碗”的概率是______． 14. 《崇祯历书》是明末官方编修的中西合璧天文历法巨著，系统引入西方天文学与数学，其中《大测》是其核心理论部分，是中国首部系统介绍西方三角学的著作．如图1是《大测》二卷中所绘的割圆八线图．如图2是小明根据割圆八线图绘出的图形：切于点A，切于点，交于点交于点于点，交于点于点．若，则的长为__________． 15. 如图，在矩形ABCD中，．将矩形绕点旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G，连接．若直线恰好经过点，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型： B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分 统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． （2）如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 18. 如图，四边形是平行四边形： （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交于点M，N，连接BM，DN（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：四边形是菱形． 19. 小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： 木板面积 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 （1）求与之间的函数关系式及表中的值． （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． （3）资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 20. 图1是某游乐场的一个游乐设施——“大摆锤”，图2是“大摆锤”未启动时的示意图，其中为水平地面，为转轴，A，B为“锤”的两个端点，为“锤”AB的中点，．“大摆锤”启动后，绕点旋转，从而带动点A，B在上运动，当点运动到点左侧且与点高度相同时（如图2，点运动到点处，），点运动到最高点处；同样，当点运动到点O右侧且与点高度相同时，点运动到最高点处．已知，转轴到水平地面的距离为． （1）“大摆锤”启动后，求点到水平地面的最小距离（结果保留根号）． （2）求左侧最高点到水平地面的距离（结果保留根号）． （3）在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，求点经过的路径长（参考数据：）． 21. 某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 （1）求a，b的值． （2）“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． （3）“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 22. 某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1），其截面（如图2）由矩形和抛物线的一部分构成（点为最高点），，在水平地面上，曲线为大棚外沿，为大棚的加固钢架．以所在的直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系．已知，大棚最高点到水平地面的距离为． （1）求曲线所在抛物线的表达式． （2）雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架，，，其中点，在曲线上（点在点右侧且不与点重合），点，在上，且四边形为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米． （3）在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要求：补光灯安装在距离地面且与地面平行的一条直线上，每相邻个补光灯之间的水平距离相等且不超过，最外侧的2个补光灯安装在曲线C上．则至少需要安装__________个补光灯（参考数据：）． 23. 综合与实践 如图，在中，，，是斜边上的高，为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，试猜想与的位置关系，并证明． 【迁移探究】 （2）如图2，连接，G是的中点，连接，试判断线段，之间的数量关系，请仅就图2所示的情形加以证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点在射线上时，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南三门峡市卢氏县第三协作区中考二模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的几何意义，掌握该知识点是解题的关键． 绝对值表示数轴上点到原点的距离，恒为非负数，依此求出其绝对值即可． 【详解】∵负数的绝对值是其相反数， ∴， 故选C． 2. “智能机器人等六大新兴支柱产业相关产值到2030年有望扩大到10万亿元以上”“‘十五五’时期制造业、服务业预计每年将创造超过1000万个就业岗位”2026年全国两会上，代表委员们的“好声音”，传递着奋进“十五五”的坚定信心．数据“10万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：10万亿． 3. 如图1所示的登封观星台是我国现存最古老的天文观测建筑，其主体“台体”可抽象为如图2所示的水平放置的实心正四棱台，该四棱台的上、下底面均为正方形，则该四棱台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：正四棱台的俯视图是从上往下看得到的图形：上、下底面均为正方形， 因此俯视图中有两个正方形； 连接上、下底面对应顶点的侧棱，在俯视图中表现为从外正方形四个顶点到内正方形四个顶点的四条实线， 因此俯视图为 4. 如图，直线，相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由“对顶角相等”得到，利用求解即可． 【详解】解：直线，相交于点， ， ， ， 即， ． 5. 定义一种新运算：．例如：．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：☆． 6. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得． 7. 某校为了解九年级1000名男生1分钟跳绳次数达标情况，从九年级男生中随机抽取50名，统计他们1分钟跳绳次数，并绘制了如图所示的频数分布直方图．若1分钟跳绳次数不小于158次为满分，估计该校九年级男生1分钟跳绳为满分的有（ ） A. 340名 B. 520名 C. 680名 D. 720名 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本中满分的占比即可求解． 【详解】解：（名）． 8. 如图1所示的铜钱纹是中国传统经典的吉祥几何纹样，其原型是古代外圆内方的方孔圆钱，兼具“天圆地方”的哲学内涵与招财纳福的美好寓意．如图2是一组有规律的铜钱纹图案，它由若干个大小相同且相互交叠的圆组成，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆⋯⋯依此规律，第200个图案中圆的个数为（ ） A. 596 B. 598 C. 599 D. 600 【答案】C 【解析】 【详解】解：第1个图案中有2个圆，； 第2个图案中有5个圆，； 第3个图案中有8个圆，； ， 第个图案中有个圆， ∴第200个图案中圆的个数为． 9. 如图，正方形的顶点D在直线上，分别过点，作直线l的垂线，垂足分别为，，连接交于点．若平分，，则的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的性质，结合、都垂直于直线，证明和全等，得到与、与的等量关系，过点作于点，结合平分角的条件，得到与的关系，利用余角的性质得到，进而得到，则，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，过点作于点， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、余角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 10. 如图1，在Rt中，，，是的中点，点从点出发沿向终点运动，连接，．设点运动的距离为，，与的函数关系的图象如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，，易证明是等边三角形，连接交于点，则，进而得到，根据平行线成比例得到，则，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由图2可知，当点与点重合时，，据此求出的长，利用勾股定理求出长，在中，，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 连接交于点， 是的中点， 、， ， ， ， ， ， 连接，则， ， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， 由图2可知，当点与点重合时，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， 题图2中点的坐标是． 【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质、平行线成比例定理、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的整数_____． 【答案】 3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算无理数大小的方法是解题关键，先估算出的取值范围，再找出符合条件的整数即可. 【详解】解：， ， 大于等于的整数都满足比大， 故答案为：（答案不唯一） 12. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故此不等式组的解集为． 13. 小明有一套《丝绸之路文物（三）》特种邮票，共四枚，如图所示，上面分别印有“汉•『五星出东方利中国』锦护膊”“南北朝•神人纹银盘”“北周•凸钉玻璃碗”和“唐•胡人牵驼载丝壁画”四个文物图案．这四枚邮票除文物图案不同外，质地、规格均相同．毕业之际，小明准备把这四枚邮票中的两枚送给好朋友小亮，他将这四枚邮票背面朝上洗匀后放置在桌面上，让小亮从中随机抽取两枚，则小亮抽到的两枚邮票恰好是“南北朝•神人纹银盘”和“北周•凸钉玻璃碗”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】将这四枚邮票“汉•『五星出东方利中国』锦护膊”，“南北朝•神人纹银盘”，“北周•凸钉玻璃碗”，“唐•胡人牵驼载丝壁画”分别用，，，表示，然后画出树状图，所有可能出现的结果数为，符合条件的结果数为，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：将这四枚邮票“汉•『五星出东方利中国』锦护膊”，“南北朝•神人纹银盘”，“北周•凸钉玻璃碗”，“唐•胡人牵驼载丝壁画”分别用，，，表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽到，的结果有种， 故小亮抽到的两枚邮票恰好是“南北朝•神人纹银盘”和“北周•凸钉玻璃碗”的概率是． 14. 《崇祯历书》是明末官方编修的中西合璧天文历法巨著，系统引入西方天文学与数学，其中《大测》是其核心理论部分，是中国首部系统介绍西方三角学的著作．如图1是《大测》二卷中所绘的割圆八线图．如图2是小明根据割圆八线图绘出的图形：切于点A，切于点，交于点交于点于点，交于点于点．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】垂径定理求出的长，证明四边形是矩形，勾股定理求出的长，切线的性质结合锐角三角函数求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：为的半径， ， ， ∴四边形是矩形， 与相切于点 ， 与相切于点 ， ． 15. 如图，在矩形ABCD中，．将矩形绕点旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G，连接．若直线恰好经过点，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先连接，证明，进而得出，接下来只要求出即可解决问题；结合图形和已知条件，对于直线恰好经过点，分线段经过点和线段的延长线经过点两种情况求解即可 【详解】如图1，连接，由旋转的性质，得， ， ， ， ． 分以下两种情况： ①如图2，当线段经过点时， 在中，，由勾股定理，得， ， ， ． ②如图3，当线段的延长线经过点时， 同理可得， ， ， ． 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似的性质和判定以及勾股定理．掌握基本的几何模型，能够根据图形准确地进行分类是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型： B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分 统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． （2）如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 【答案】（1）9.2，9， （2）选择B种车型进行量产， 理由：在“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景下，由，，可知B种车型这两个方面得分的方差均小于A种车型这两个方面得分的方差，说明B种车型质量更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法求出m和n，根据折线统计图判断方差的大小即可； （2）根据表格中的数据，选择一个方面说明即可． 【小问1详解】 解：A种车型装配工艺得分从小到大排列：8，9，9，10，10， ∵5个数据排在中间的数是9， ∴． 观察折线图，A车型底盘得分波动更大，B车型得分更集中，因此方差． 【小问2详解】 略 18. 如图，四边形是平行四边形： （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交于点M，N，连接BM，DN（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，分别交于点M，N，连接，问题得解． （2）设交于点．先证，得，再结合，证四边形是平行四边形，最后结合，证平行四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求作． 【小问2详解】 证明：如图，设交于点． ∵四边形是平行四边形， ， ． 又， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． 19. 小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： 木板面积 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 （1）求与之间的函数关系式及表中的值． （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． （3）资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）不能，木板面积至少需要比原来增加才能安全通过 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据可判断与之间是反比例函数关系，设，代入一组对应值求得的值即可；将代入关系式，求的值． （2）根据表格中数据描点，用平滑曲线顺次连接这些点可得反比例函数的图象． （3）求出时的值，与最大压强比较，即可判断能否安全通过；求出时的值，进而计算木板面积的增加量． 【小问1详解】 解：由表格中数据可知，与之间是反比例函数关系， 设与之间的函数关系式为， 把代入，得， 解得， 故与之间的函数关系式为． 当时， ； 【小问2详解】 解：描点、画出该函数图象如图所示． 【小问3详解】 解：不能． 将代入，得． ∴小明不能安全通过． 由（1）可知时，． 结合图象可知，当时，， 故木板面积最小为， ， 故木板面积至少需要比原来增加才能安全通过． 20. 图1是某游乐场的一个游乐设施——“大摆锤”，图2是“大摆锤”未启动时的示意图，其中为水平地面，为转轴，A，B为“锤”的两个端点，为“锤”AB的中点，．“大摆锤”启动后，绕点旋转，从而带动点A，B在上运动，当点运动到点左侧且与点高度相同时（如图2，点运动到点处，），点运动到最高点处；同样，当点运动到点O右侧且与点高度相同时，点运动到最高点处．已知，转轴到水平地面的距离为． （1）“大摆锤”启动后，求点到水平地面的最小距离（结果保留根号）． （2）求左侧最高点到水平地面的距离（结果保留根号）． （3）在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，求点经过的路径长（参考数据：）． 【答案】（1）点到水平地面的最小距离为 （2）左侧最高点到水平地面的距离为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求的半径，再结合点到水平地面的距离，即可求得点到水平地面的最小距离． （2）先求点到的距离，再结合点到水平地面的距离，即可求得左侧最高点到水平地面的距离． （3）先求的度数，接着求得点经过的路径所对圆心角的度数，最后根据弧长公式求路径长． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点，交于点，则的长是“大摆锤”启动后点到水平地面的最小距离． 为的中点，， ． 又， ， ， ． 故“大摆锤”启动后，点到水平地面的最小距离为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ， ， ， ． 故左侧最高点到水平地面的距离为． 【小问3详解】 解：， ， ∴在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，点经过的路径是以点为圆心，长为半径的圆弧，其所对圆心角的度数为， ∴点经过的路径长约为． 21. 某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 （1）求a，b的值． （2）“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． （3）“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 【答案】（1）的值为30，b的值为10 （2）共有6种进货方案，见解析 （3）当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大 【解析】 【分析】（1）由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进快充个，则购进慢充个，根据题意列出不等式组，求出快充个数的取值范围，结合为正整数即可确定有几种进货方案； （3）设销售完这100个充电器获得的总利润为元，列出总利润与快充数量的关系式， 分情况讨论：当或或时，结合的取值范围及一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：的值为30，b的值为10； 【小问2详解】 解：共有6种进货方案，理由如下： 设购进快充个，则购进慢充个， 由题意得：， 解得：， 由于为整数， 则的取值可以为：75、76、77、78、79、80， 因此，共有6种进货方案； 【小问3详解】 解：设销售完这100个充电器获得的总利润为元， 根据题意得：， 分以下三种情况讨论： 由（2）知，， ①当，即时， 此时随的增大而增大， 则当时，最大，此时； ②当，即时，不随的变化而变化，此时的值为500； ③当，即时，随的增大而减小， 则当时，最大，此时； 综上所述，当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式组、一次函数的应用，根据已知条件列出方程组和不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 22. 某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1），其截面（如图2）由矩形和抛物线的一部分构成（点为最高点），，在水平地面上，曲线为大棚外沿，为大棚的加固钢架．以所在的直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系．已知，大棚最高点到水平地面的距离为． （1）求曲线所在抛物线的表达式． （2）雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架，，，其中点，在曲线上（点在点右侧且不与点重合），点，在上，且四边形为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米． （3）在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要求：补光灯安装在距离地面且与地面平行的一条直线上，每相邻个补光灯之间的水平距离相等且不超过，最外侧的2个补光灯安装在曲线C上．则至少需要安装__________个补光灯（参考数据：）． 【答案】（1） （2）三条钢架的长度之和最多是 （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点，利用顶点式及待定系数法求抛物线的表达式． （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示出三条钢架的长度之和，再利用二次函数图象的性质求得最大值． （3）先求出最外侧2个补光灯之间的距离，再确定需要补光灯的最少总个数． 【小问1详解】 解：由题意可知，． 设曲线所在抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴曲线所在抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为的长度之和为， 可得， 则． ， ∴当时，取最大值，最大值为． 答：三条钢架的长度之和最多是． 【小问3详解】 解：当时，，解得， ∴最外侧的2个补光灯之间的距离为，约为． ∵每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过， 如果中间安装3个补光灯，检验：，不符合要求； 如果中间安装4个补光灯，检验；，符合要求； 如果中间安装5个补光灯，检验：，符合要求． 综上可知，至少要安装6个补光灯． 23. 综合与实践 如图，在中，，，是斜边上的高，为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，试猜想与的位置关系，并证明． 【迁移探究】 （2）如图2，连接，G是的中点，连接，试判断线段，之间的数量关系，请仅就图2所示的情形加以证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点在射线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，证明，进而得到，即可得到； （2）连接，延长交于点，证明，，即可得到、之间的数量关系； （3）根据直角三角形斜边中线的性质得到，分情况讨论：点在点右侧或在点左侧，过点向直线作垂线，利用勾股定理求出长，利用（2）中的结论求出的值． 【小问1详解】 解：，证明过程如下： 证明：，，是斜边上的高， ，， 如图1，过点作，交射线于点，则， ， ， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，证明过程如下： 证明：如图3，连接，延长交于点， 由（1）知，， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：线段AG的长为或， ，， ， ， ， 分两种情况讨论： ①当点在点右侧时，如图4，过点作于点， ， 由（1）知，、， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 由（2）知，， ； ②当点在点左侧时，如图5，过点作于点， 同①证明四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上可知，线段的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $