精品解析：2026年云南楚雄彝族自治州禄丰市初中学业水平考试数学测试卷（二模）

2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》是我国古代一部综合性数学经典著作，其中“方程术”中明确引进了“负数”，这部著作说明我国是世界上最早使用负数的国家．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．根据这种表示方法，如果收入800元记作元，那么元表示（　　） A. 支出800元 B. 收入800元 C. 收入300元 D. 支出300元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出记为负，解答即可． 【详解】解：收入800元记作元，那么元表示支出300元． 故选：D． 2. 你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染升水，这个数字用科学记数法表示为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 如图，直线a，b被直线c所截，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法等知识点，利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，完全平方公式，合并同类项的法则对各项进行运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 5. 点是反比例函数的图像上的一点，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点，若一个点在某个函数图像上，则这个点一定满足该函数的解析式． 将点代入即可求解． 【详解】解：将点代入得，， 故选：A． 6. 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三种视图如下图所示．这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【详解】解：由三视图可知这个几何体是长方体． 7. 已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为 （ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形为边形，根据多边形的内角和为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，由题意，得： ， 解得：； ∴这个多边形为八边形； 故选B． 8. 如图，，那么与的相似比为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需求出的值即可得到答案. 【详解】， ， ． 又， ， 与的相似比为． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求出的值是解题的关键. 9. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式的有意义的条件．根据二次根式的有意义的条件，被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：D． 10. 剪纸是我国优秀的传统文化之一，是国家非物质文化遗产．在下列美妙的剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 11. 某校举办了“诵诗文经典，扬家国情怀”朗诵比赛，七年级6个班的成绩(单位：分)分别为90，92，90，95，96，94，则这6个班的成绩的中位数是（ ） A. 92 B. 93 C. 94 D. 95 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求中位数，将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可．熟练掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：将数据排序得90，90，92，94，95，96， 位于中间两位的数据为：92，94， ∴中位数为：． 故答案为：B． 12. 找规律：，若为正整数，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知这一列单项式的系数为序号的平方，指数是从1 开始的连续的奇数，据此可得答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ……， 以此类推，可知第个单项式是， 故选：D． 13. 一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（ ） A. 8cm B. 12cm C. 16cm D. 24cm 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得：， 解得．即圆锥的母线长为. 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设共有x个队参加比赛，根据“赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设共有x个队参加比赛，则， 故选：D． 15. 如图，中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知的半径是，则中最长的弦长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的基础知识，弦的概念，直径的概念即可求解． 【详解】解：已知的半径是， ∴中最长的弦长是过圆心的直径，即是半径的倍， ∴最长的弦长是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的弦，直径的概念是解题的关键． 17. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先推导出是等边三角形，再利用直角三角形30度角的性质，可得，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 18. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式x进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 19. 如图是某学校学生喜欢看的电视节目情况的统计图，其中喜欢《焦点访谈》节目的学生有150人，那么喜欢《走近科学》节目的学生人数为________． 【答案】320 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，从统计图中正确读取数据和应用是解题的关键．用喜欢《焦点访谈》节目的学生的150人除以对应的百分数求出总人数；再用单位“1”减去已知的三个节目的百分数，求出走进科学占单位“1”的百分之几，再乘总人数即可解答． 【详解】解：（人） （人） 故答案为：320． 三、解答题（本题共8小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用相关公式及性质进行正确化简各项是解题的关键．根据计算规律直接计算即可． 【详解】解： 21. 如图，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 22. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    请求出排球的单价是多少元？ 【答案】排球的单价为100元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 设排球单价为元，则篮球单价为元，根据“用2000元购买的排球个数和用3200元购买的篮球个数相等”列方程求解即可． 【详解】解：设排球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， 答：排球的单价为100元． 23. 学校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合实践活动，七年级组准备从环草海段、海晏村两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级组准备从环草海段、海晏村、宝丰湿地、海埂大坝四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择“环草海段”为A，选择“海晏村”为B，选择“宝丰湿地”为C，选择“海埂大坝”为D，七年级组的选择为x，八年级组的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数． （2）求该校七年级组，八年级组选择的地点互不相同的概率． 【答案】（1）8种 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列表法列出所有情况即可； （2）根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： A B C D A B 由上表可知，所有可能出现的结果数为8种． 【小问2详解】 解：由（1）可知，所有等可能出现的结果数为8种，七年级组、八年级组选择的地点互不相同的情况有6种． ∴该校七年级组、八年级组选择的地点互不相同的概率． 24. 如图，在矩形中，E、F分别是、的中点，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为24，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据三角形中位线定理，证明出四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，证明，从而推出，即可证明结论； （2）连接、，根据角的正切值设，，得到，证明四边形是平行四边形，得到，利用三角形中位线定理，得到，结合菱形的面积，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵F、M、N分别是、、的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴设，， ∴， ∵E、F分别是、中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去） ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 25. 商店计划从工厂购进大号、中号两种型号的春晚吉祥物“龙辰辰”．已知2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共需支付230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共需支付150元． （1）求大号、中号两种型号“龙辰辰”的进价． （2）该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半．大号“龙辰辰”的定价为70元/个，中号“龙辰辰”的定价为60元/个．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）大号“龙辰辰”的进价为55元，中号“龙辰辰”的进价为40元 （2）当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是1100元 【解析】 【分析】（1）设大号“龙辰辰”的进价为a元，中号“龙辰辰”的进价为b元．根据2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共需支付230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共需支付150元列方程组求解即可； （2）设购进大号“龙辰辰x个，利润为w元，求出w的函数解析式，根据大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半求出x的取值范围，进而根据一次函数的性质作答． 【小问1详解】 解：设大号“龙辰辰”的进价为a元，中号“龙辰辰”的进价为b元， 依题意，得， 解得， 答：大号“龙辰辰”的进价为55元，中号“龙辰辰”的进价为40元； 【小问2详解】 解：设购进大号“龙辰辰”x个，利润为w元，则购进中号“龙辰辰”个， 依题意，得． ， 随着x的增大而减小． ∵大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半， ， 解得． ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是1100元． 26. 已知抛物线的图象经过点． （1）求a的值； （2）点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为：或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）把代入表达式求出结论即可； （2）先得出表达式，把代入表达式，根据分析得出可取，进而求出结论． 【小问1详解】 解：把代入中得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴， ， ∵为整数， ∴为整数， 又∵的值为整数， ∴为整数， ∴可取， ①当时，此时， ∴， ②当时，此时， ∴， ③当时，此时， ∴， ④当时，此时， ∴， 综上所述，点P的坐标为：或或或． 27. 如图，四边形的外接圆是以为直径的，，点是劣弧上任意一点（不与点重合），连接．延长至点，使． （1）求的度数； （2）求证：直线与相切； （3）点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）不变，． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆内接四边形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由圆内接四边形的性质即可求出的度数； （）先证明，由是的直径，则所以，然后由相似三角形性质可得，最后由切线的判定方法即可求证； （）过点作，交于点，则，通过圆周角定理得，即，通过两角相等的三角形相似证明，最后通过相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； 【小问3详解】 解：的值不改变，，理由如下： 过点作，交于点，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》是我国古代一部综合性数学经典著作，其中“方程术”中明确引进了“负数”，这部著作说明我国是世界上最早使用负数的国家．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．根据这种表示方法，如果收入800元记作元，那么元表示（　　） A. 支出800元 B. 收入800元 C. 收入300元 D. 支出300元 2. 你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染升水，这个数字用科学记数法表示为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 3. 如图，直线a，b被直线c所截，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 点是反比例函数的图像上的一点，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 6. 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三种视图如下图所示．这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 7. 已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为 （ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 8. 如图，，那么与的相似比为（ ）     A. B. C. D. 9. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 剪纸是我国优秀的传统文化之一，是国家非物质文化遗产．在下列美妙的剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 11. 某校举办了“诵诗文经典，扬家国情怀”朗诵比赛，七年级6个班的成绩(单位：分)分别为90，92，90，95，96，94，则这6个班的成绩的中位数是（ ） A. 92 B. 93 C. 94 D. 95 12. 找规律：，若为正整数，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 13. 一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（ ） A. 8cm B. 12cm C. 16cm D. 24cm 14. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知的半径是，则中最长的弦长是______． 17. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 18. 分解因式：__________． 19. 如图是某学校学生喜欢看的电视节目情况的统计图，其中喜欢《焦点访谈》节目的学生有150人，那么喜欢《走近科学》节目的学生人数为________． 三、解答题（本题共8小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图，相交于点O，，．求证：． 22. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    请求出排球的单价是多少元？ 23. 学校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合实践活动，七年级组准备从环草海段、海晏村两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级组准备从环草海段、海晏村、宝丰湿地、海埂大坝四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择“环草海段”为A，选择“海晏村”为B，选择“宝丰湿地”为C，选择“海埂大坝”为D，七年级组的选择为x，八年级组的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数． （2）求该校七年级组，八年级组选择的地点互不相同的概率． 24. 如图，在矩形中，E、F分别是、的中点，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为24，求菱形的周长． 25. 商店计划从工厂购进大号、中号两种型号的春晚吉祥物“龙辰辰”．已知2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共需支付230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共需支付150元． （1）求大号、中号两种型号“龙辰辰”的进价． （2）该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半．大号“龙辰辰”的定价为70元/个，中号“龙辰辰”的定价为60元/个．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 26. 已知抛物线的图象经过点． （1）求a的值； （2）点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 27. 如图，四边形的外接圆是以为直径的，，点是劣弧上任意一点（不与点重合），连接．延长至点，使． （1）求的度数； （2）求证：直线与相切； （3）点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $