四川省彭州中学2025-2026学年高三下学期第二次高考模拟考试数学试题

**基本信息** 立足高三高考模拟需求，覆盖集合、函数、几何、概率等核心知识，通过谢尔宾斯基三角形（等比数列）、超市抽奖（概率应用）等情境，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、命题否定、向量数量积、椭圆性质|结合谢尔宾斯基三角形考等比数列求和，体现数学抽象| |多选题|3/18|三角函数性质、正方体线面关系、负二项分布|立体几何题涉及空间角与向量表示，考查直观想象| |填空题|3/15|向量模长、双曲线周长、函数存在性问题|双曲线题结合焦点弦，考查几何直观与运算能力| |解答题|5/77|数列递推、导数极值、立体几何面面垂直、解析几何轨迹方程、概率统计应用|以超市抽奖为情境考概率均值与优化，体现应用意识；立体几何提供多种证明方法，培养逻辑推理|

2025-2026学年度四川省彭州中学高2023级高三下第二次高考模拟考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：王昭 *祝愿同学们高考顺利，我们后会有期！* 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.命题“”的否定是(    ) A. B. C. D. 3.若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知在边长为的正方形中，点满足，则(    ) A. B. C. D. 5.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点， ，的面积是，则(    ) A. B. C. D. 6.用数字，，，，组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(    ) A. B. C. D. 7.如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图中阴影三角形的个数为，记为，图中阴影三角形的个数为，记为，以此类推，，，，数列构成等比数列．设的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 8.设函数，若关于的方程恰好有个不相等的实数解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有错得0分） 9.设函数，则下列结论正确的是(    ) A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C.  的一个零点为 D. 在单调递减 10.在棱长为的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是    (    ) A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 11.已知在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率为p(0< p<1),记试验进行至事件A发生r次为止时试验进行的次数X服从负二项分布,记作X~NB(r,p),则下列说法正确的是(    ) A. 若X~NB(r,p),则P(X=k)=,k=r,r+1,r+2, B. 若X~NB(1,),则P(X=k)=,k=, C. 若X~NB(2,),则P(X=3)= D. 若X~NB(r,p),则当k取不小于的最小正整数时,P(X=k)最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，的夹角为，，，则          ． 13.已知双曲线，左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与双曲线交于，两点，则的周长为          ． 14.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 已知数列满足，且是关于的方程的两个根． 求； 设，求数列的前项和． 16.本小题5分 已知函数． Ⅰ求的极值； Ⅱ若函数在定义域内有三个零点，求实数的取值范围． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，一题多解 证明：平面平面 设，，，且点，，，均在球的球面上． 证明：点在平面内 求直线与所成角的余弦值． 18.本小题分 已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点， 求曲线的轨迹方程 若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点 若直线与直线，分别交于，，求证：． 19.本小题分 某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数． Ⅰ当时，随机抽得一张代金券 Ⅱ当时，随机显示张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费，仅供参考，随后从剩下的种代金券中逐个随机抽取，一但出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． 当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时． 若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差 求其抽得元代金券的概率． 当，顾客抽取为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大 2025-2026学年度四川省彭州中学高2023级高三下第二次高考模拟考试 数学试题答案 1. 单选题。 1-8 CADB DDCB 二.多选题。 9.ABC 10.BD 11.BCD 三.填空题。 12.  13.12 14.  四.解答题。 15.解：因为是关于的方程的两个根， 所以． 所以数列是一个首项为，公差为的等差数列． 因此． 由知，对于方程， 由韦达定理得，即． 所以 ． 所以 ．   16.解：由题意可知函数的定义域为． Ⅰ因为． 所以， 由，得，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． Ⅱ因为， 所以为一个零点． 所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”． 令，则， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，有最小值． 若方程有两个非零实根，则，即． 若，方程只有一个非零实根， 所以． 综上，．  17.证明方法一平面，平面，， ，，，平面， 平面， 平面，平面平面． 方法二二面角定义平面，平面，平面， ，． 平面平面，平面，平面， 为平面与平面所成二面角． ，，平面平面． 证明由题意，，，两两垂直，以点为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 方法一设球心为，半径为，则即解得 ，平面． 方法二在坐标系中，的中点坐标为，直线的斜率为， 直线的垂直平分线方程为，即． 直线的垂直平分线方程为． 解得 设的外接圆圆心为，则点的坐标为 ，，，四点在同一球面上，平面． 设，，， ，， 即与重合，在平面上． 方法三由方法二知平面． 在中，，， ，为球心，在平面上． 解方法一由得，， 设直线与直线所成角为， 则，． 方法二由得在线段上，且， 则，， 则， ，． 设直线与直线所成角为， 则，． 方法三由得在线段上，且过点作，交于点，连接，，则即为直线与直线所成角的补角． 在中，． ，，． ， ． 在中，． 在中，． 在中，， ，即直线与直线所成角的余弦值为．   18.解：设点为曲线上一点，则 由题意有， 整理得， 又所以曲线的轨迹方程为； 证明：设，，当直线的斜率为时，，， ，不合题意， 所以可设直线的方程为， 由得 由题意可知则由韦达定理有，， 所以 ， 解得， 所以直线的方程为，过定点； 证明：设的中点为，则， 由得， 由得， 设的中点为，则， 因为点与都在直线上，所以的中点与的中点重合， 所以．  19.解：设最后抽得代金券的面值为，则可能取值为，，， 若先抽取的代金券面值为的概率为，此种情况下最后抽得元或元的概率均为， 先抽取的代金券面值为的概率为，此种情况下最后抽得元的概率为， 先抽取的代金券面值为的概率为，此种情况下最后抽得元或元的概率均为， 综上可得，，，， 则抽得代金券的面值的均值为， 方差； 即若其抽取的数，其抽得代金券的面值的均值为，方差为； 记事件为“抽得元代金券”，表示事件“抽得的数为”， 显然，，彼此互斥，为样本空间， ， 当时，； 当时，此种情况下由分析可得， 当时，有种情况：，，所以， 由全概率公式，得 ， 所以抽得元代金券的概率； 不妨设张代金券面值为元，元，元，元，元， 由题可得，， 当抽取的数，则抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中元，概率为， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中元， 对应的概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为或第张为，第张为或前张为或，第张为时，才能抽中元， 第一张抽到的情况有种， 第一张抽中，第二张抽中的情况有种， 第张为，第张为的情况有种， 前张为或，第张为的情况有种， 又总情况有种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为， 此时因剩余代金券中只有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时抽到的概率为； 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为，时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，剩余张代金券的全排列数为， 第张抽到的情况有种，则对应概率为； 参考面值为，时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值为，时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值中有，但是没有时，情况有种， 又总情况有种，则概率为， 此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有时，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为，，时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，因剩余张代金券排列方式有种，则对应概率为； 参考面值中有，但没有，有种情况， 又总情况有种，概率为，此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值有种情况， 当且仅当参考面值为，，，时，可抽到，对应概率为； 综上，抽得最高面值的代金券的最大概率为， 则当时，抽得最高面值的代金券的概率最大．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $