广东汕头市潮阳实验学校2026届考前自测数学试卷

高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3.在空间直角坐标系中，是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量．若，则（ ） A.4 B. C.2 D. 4.从的展开式的各项中任选4项，恰好有1项为x的奇次幂的选法共有（ ） A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 5.已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6.已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱．某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上．若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8.已知，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知正态密度函数，．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：cm）服从正态分布，其正态密度函数为，，则下列说法正确的是（ ） A.该地水稻的平均株高为100cm B.该地水稻株高的方差为10 C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D.随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 10.已知正数m，n满足，则（ ） A. B. C. D. 11.已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（ ） A.当时，与圆O无公共点 B.当与圆O有6个公共点时， C.不存在过原点的直线与无公共点 D.上仅有4个点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若数列的前n项和为，且，则______； 13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率______； 14.已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为三角形的面积，，且． （1）判断的形状； （2）设点D为所在平面内一动点，C，D分别位于直线AB的两侧，设，若，，求四边形ADBC面积的取值范围． 16.（15分）已知菱形ABCD中，，，E为AD中点，如图一所示；现将沿着BE按顺时针方向旋转折起，使得点A到达点P，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面PBE； （2）当三棱锥的体积第二次达到时，求平面PDE与平面PCD所成角的余弦值． 17.（15分）游乐场抓娃娃机设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃，乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃，游戏规则：选择一个机器并从中等可能地抓取1个娃娃，称为一次抓取；先进行首次抓取，再将首次抓取的娃娃放回原机器，重新进行第二次肌取，两次抓取相互独立；若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关，小明每次选择抓取甲机器的概率为，抓取乙机器的概率为． （1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； （2）已知小明已经游戏通关，求首次选择的是乙机器的概率； （3）小明为了更好的通关，现有两种方案 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，为小明选择合适的通关方案 18.（17分）设函数，． （1）当时，求曲线在点的切线方程； （2）若是函数的极大值点，求实数a的值； （3）若对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围． 注：为自然对数的底数，（．） 19.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆C于P，Q两点（P在x轴上方），的周长为8，当时，的面积为2． （1）求椭圆C的方程； （2）若半径为r的圆M与的延长线、的延长线及线段PQ分别相切于点S，T，H． （ⅰ）当时，求四边形的面积； （ⅱ）求的最大值． 高三数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D A B C C B A AC ACD ABC 12. 13. 14. 1.A 【详解】，则，所以的虚部为 2.【答案】D 【详解】由，，得，又，所以． 3.【详解】因为，所以，则，解得．故选：A． 4.【答案】B 【详解】因为二项式的展开式通项为，其中，r为x的次数，所以x的奇次幂对应r为奇数：，共3项， x的偶次幂对应r为偶数：，共4项， 任选4项恰好有1项为x的奇次幂，即选1个奇次项、3个偶次项， 由组合计数可得：，因此选法共12种． 5.【答案】C 因为，所以，又，则，解得或（舍去），则，所以，又，则，故选：C． 6.C 【详解】由题意得，所以是首项为1，公差为2等差数列，所以，，． 7.【答案】B 【详解】设内、外层圆柱的高分别为，，外接球的半径为R，由题意可得：，解得，所以此模型外接球的体积为． 8.【答案】A 【详解】因为，且，所以，同理，由，可得；由，可得． 令，，得，所以在上单调递减， 满足的a即为函数与交点的横坐标； 满足的b即为函数与交点的横坐标； 满足的c即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出，，，的图象，如图所示：从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为． 9.AC 【详解】由正态分布密度曲线函数，，可得，，所以该地水稻的平均株高为100cm，故A正确；该地水稻株高的方差为100，B错误；由， 所以随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大，故C正确； 由正态分布的对称性可知：，故D错误． 10.ACD 【详解】，，，，解得， 指数函数单调递增，，即，故A正确； 由基本不等式得， 两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； ，， 当且仅当时取等号，，故C正确； ，则，，， 由于函数的图象开口向上，对称轴， 故的最小值为，则，故D正确． 11.ABC 【详解】依题意可知为圆， 为圆，为圆， 这3个圆的半径均为2，且． 当时，，则圆O与这3个圆都外离，所以与圆O无公共点，A正确． 当与圆O有6个公共点时，圆O与这3个圆都相交，则解得，B正确． 设过原点的直线为直线，若直线曲线，，都相交， 即，无解，不存在过原点的直线与无公共点所，C正确． 因为到直线的距离为且与其平行的直线为：，：，且到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 所以直线，与共有6个公共点，即上有6个点到直线的距离为，D错误． 故选：ABC． 12.答案为： 【详解】，当时，， 解得，当时，，即， 数列是等比数列，首项为，公比为2．． 13.答案： 【详解】如图，设，则，由双曲线定义可得，即，所以，，又，， 在中，由余弦定理得，解得，故C的离心率． 14.【答案】 【详解】设S为A的奇子集，则若，令，若，令T为把S中的3去掉后剩下的元素形成的集合，则T中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集， 显然每个奇子集S，均恰有一个偶子集T与之对应， 每个偶子集T，均恰有一个奇子集S与之对应， 故A的奇子集与偶子集个数相等； 对任一，含i的子集共有个，用上面的对应方法可知， 在时，这个子集中有一半为奇子集， 在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集，于是在计算奇子集元素之和时，含元素i的和是， 奇子集容量之和是． 故答案为： 15.【解】（1）由余弦定理以及三角形面积公式及， 得：， 所以，即， 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即，是等边三角形 （2）如图，由余弦定理得，记四边形ADBC的面积为S， ． ． 因为，所以，在上递增，在上递减， 所以在即时取得最大值， 因为，当时，计算． 所以的取值范围是． 16.【详解】（1）在菱形ABCD中，由，得是正三角形，由E为AD中点，得，在图二中，，由，得， 又，BE，平面PBE，因此平面PBE， 由，得平面PBE， 又平面PBC，所以平面平面PBE． （2）三棱锥的体积，解得． 由，，，得平面PDE，又平面BEDC，所以平面平面PED，又两平面交线为DE过点P作，则平面BEDC；则，，所以为正三角形， 解法1：作，则平面PDE，直线Ox，OD，OP两两垂直，以O为原点，直线Ox，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ，，， ，， 取平面PBC的法向量， 设平面PCD的法向量为，则，取， 得， 所以平面PBC与平面PCD所成角的余弦值为． 解法2：过C作，则CF平行BE，由平面PDE得平面PDE，作，连接CG，则，，平面CFG，可得， 平面PDE与平面PCD所成角为， 可求得，，，，， 在中，， 平面PDE与平面PCD所成角的余弦值为． 17.【详解】（1）设选取甲机器为事件A，则，选取乙机器为事件B，则，抓到良品娃娃为事件G，则，， 由全概率公式． （2）两次选机器、抓取均互相独立，则两次抓取良品概率相同：； 首次选乙，第一次抓到良品，第二次独立选机器抓良品的概率为： ； 由条件概率公式得：． （3）方案一：两次选取同一机器，抓取相互独立，概率为： ； 方案二：两次选取不同机器，抓取相互独立，概率为： ， ，，故方案二的通关概率更大． 18.解：（1）当时，，，． 又，所以曲线在点的切线方程为， （2）的定义域为，， 由是函数的极值点得，或， 设，则，当时，， 所以当时，在递增． ①当时，，由在递增且知， 时，，在递增，所以不是的极大值点． ②当时，，由在递增且知， 时，时， 在递增，递减；所以是的极大值点． 综上，若是函数的极大值点，则． （3）法一：参变分离 ①当时，对任意的，恒有成立， ②当时，由恒成立得恒成立． 设，，则，在递增， ． 设，，则， 设，则， 在递增，又， 时，，时，， 在递减，递增，， ，． 综合①②得a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $