四川成都天府中学2025-2026学年七年级（下）期中数学试卷

**基本信息** 以复旦大学芯片研发、七巧板等真实情境为载体，覆盖整式运算、几何全等、概率统计等七年级下册核心知识，通过基础题与动态探究题的梯度设计，考查运算能力、推理意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|科学记数法（0.65纳米）、平行线判定、三角形高|第2题结合科技前沿，第4题用频率统计图考概率| |填空题|5/20|补角计算、折叠角度、三角形三边关系|第10题通过纸条折叠考查平行线性质| |解答题|多/48|整式化简求值、全等证明、动态几何探究|第25题以七巧板为背景考数形结合，第26题设计等腰直角三角形动态探究，培养创新意识|

2025-2026学年四川省成都市天府中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题5分，共8道题，共32分） 1．（5分）下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．a6÷a2＝a3 C．（a3b）2＝a6b2 D．（﹣x2）÷x＝x 2．（5分）复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位RISC﹣V架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有0.65纳米（1纳米＝10﹣9米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据0.65纳米用科学记数法表示为（　　） A．0.65×10﹣9米 B．6.5×10﹣10米 C．6.5×10﹣8米 D．65×10﹣7米 3．（5分）直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠4＝∠6 D．∠5＝∠6 4．（5分）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示（　　） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C．抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 5．（5分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（y+x） B．（2x+1）（x﹣1） C．（x+1）（x+1） D．（﹣x﹣y）（x+y） 6．（5分）如图，在以下图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 7．（5分）如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A．AF＝DE B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC 8．（5分）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点△ABC＝48cm2，则△DEF的面积等于（　　） A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2 二、填空题（每小题4分，共5道题，共20分） 9．（4分）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是　 　 ． 10．（4分）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2的度数是　 　 ． 11．（4分）现有4根木条、长度分别为（单位：cm）：2、3、5、6，从中取出三根连成一个三角形　 　 ．（任写一种即可） 12．（4分）在一个盒子中，装有若干个形状、大小相同的白球和黄球，如果袋中有4个黄球且摸到黄球的概率为　 　 ． 13．（4分）如图，△ABC≌△ADE，若∠CAE＝60°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为 　 　 度． 三、解答题（共5道题，共48分） 14．（4分）计算： （1）； （2）x•x5﹣（2x3）2+x9÷x3； （3）（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2； （4）． 15．（6分）先化简，再求值：[n（m+8n）﹣（3m﹣2n）2﹣（2n﹣m）（2n+m）]÷（﹣2m），其中（m﹣1）2+|n﹣2|＝0． 16．（8分）如图，有一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成6等份，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在边界线时重新操作），请回答下列问题： （1）随机转动一次转盘，转出数字2是 　 　 事件，转出数字7是 　 　 事件； （从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个，填空） （2）随机转动转盘，转出的数字大于5的概率是 　 　 ； （3）现有甲、乙两人做转盘游戏，每人随机转动一次转盘，转盘停止转动后，转出数字为3的倍数时乙获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 17．（8分）如图，AB＝AC，CD∥AB，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）若点E是AC的中点，CD＝3，△ABE的周长比△BCE的周长大2 18．（10分）已知AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，点E、F分别在射线AD、BC上运动，连接EG． （1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF； （2）如图2，当点F在点G右侧时，设∠BAG＝α，请直接用含α，β的代数式表示∠AGE的度数 　 　 ； （3）在射线BC下方有一点H，连接AH、EH，满足∠BAH＝2∠HAG，若∠FEG＝20°，∠BAG＝60°　 　 ． 三、解答题（共5道题，共48分） 19．（5分）若xm＝5，xn＝3，则xm﹣2n＝ 　 　 ． 20．（5分）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，则小球停留在阴影部分的概率为 　 　 ． 21．（5分）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　 　 ． 23．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，在运动过程中始终保持AP+AQ＝AB，连结BQ和CP，的值为 　 　 ． 二、解答题（共3道题，共30分） 24．（8分）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，空白的A，B两正方形区域是建筑物，两正方形区域的边长为（a+b）米． （1）用式子表示铺设地砖的面积； （2）当a＝3，b＝2时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是边长为0.2米的正方形，不考虑其它因素，如果要购买此种地砖 25．（9分）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　 　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝　 　 ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝32+4b2+c2的值． 26．（12分）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，作 AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA； （2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝8，求证：E点为BC中点； （3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，则＝　 　 ． 2025-2026学年四川省成都市天府中学七年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共8道题，共32分） 1．（5分）下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．a6÷a2＝a3 C．（a3b）2＝a6b2 D．（﹣x2）÷x＝x 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：A、x2•x3＝x4，故该项不正确，不符合题意； B、a6÷a2＝a7，故该项不正确，不符合题意； C、（a3b）2＝a4b2，故该项正确，符合题意； D、（﹣x2）÷x＝﹣x，故该项不正确． 故选：C． 2．（5分）复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位RISC﹣V架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有0.65纳米（1纳米＝10﹣9米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据0.65纳米用科学记数法表示为（　　） A．0.65×10﹣9米 B．6.5×10﹣10米 C．6.5×10﹣8米 D．65×10﹣7米 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1米＝1000000000纳米， 0.65纳米＝4.00000000065米＝6.5×10﹣10米． 故选：B． 3．（5分）直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠4＝∠6 D．∠5＝∠6 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由同位角相等，不能判定c∥d； B、由同旁内角互补，不能判定c∥d； C、由内错角相等，故C符合题意； D、两角不是同位角，不能判定c∥d． 故选：C． 4．（5分）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示（　　） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C．抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【解答】解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动， A、掷一枚质地均匀的骰子，故此选项不符合题意； B、从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，故此选项符合题意； C、抛一枚1元钱的硬币，故此选项不符合题意； D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（5分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（y+x） B．（2x+1）（x﹣1） C．（x+1）（x+1） D．（﹣x﹣y）（x+y） 【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、（x﹣y）（y+x）＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意； B、（8x+1）（x﹣1），不能利用平方差公式计算； C、（x+5）（x+1），不能利用平方差公式计算； D、（﹣x﹣y）（x+y），不能利用平方差公式计算； 故选：A． 6．（5分）如图，在以下图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可判断． 【解答】解：线段BE是△ABC高的是图形D中的图形． 故选：D． 7．（5分）如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A．AF＝DE B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC 【分析】先利用等式的性质可得BF＝CE，然后添加AF＝DE利用SAS证明△ABF≌△DCE，即可解答． 【解答】解：添加AF＝DE后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE， 理由：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， 故选：A． 8．（5分）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点△ABC＝48cm2，则△DEF的面积等于（　　） A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2 【分析】根据△ABC的面积，依次得出△ADC、CDE及△DEF的面积即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵S△ABC＝48cm2，且点D是BC的中点， ∴（cm2）． ∵点E是AD的中点， ∴（cm2）． ∵点F为CE的中点， ∴（cm2）． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共5道题，共20分） 9．（4分）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是　45°　 ． 【分析】做此类题可首先设未知数，然后列出等式解答即可．这个角的补角则为180°﹣x，余角为90°﹣x． 【解答】解：设这个角的度数为x． 即180°﹣x＝3（90°﹣x） 则x＝45°． 故答案为：45° 10．（4分）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2的度数是　40°　 ． 【分析】由∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，可得∠3＝70°，由折叠可得∠4＝∠3＝70°，故∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD是长方形， ∴AB∥CD， ∴∠1+∠3＝180°， ∵∠6＝140°， ∴∠3＝70°， 由折叠可得∠4＝∠5＝70°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠7＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故答案为：40°． 11．（4分）现有4根木条、长度分别为（单位：cm）：2、3、5、6，从中取出三根连成一个三角形　3cm，5cm，6cm ．（任写一种即可） 【分析】只要所取的三根钢条的长符合三角形三边关系定理即可． 【解答】解：答案不唯一：如3cm，5cm；验证：6+5＞6，故此种取法符合题意． 故答案为：2cm，5cm． 12．（4分）在一个盒子中，装有若干个形状、大小相同的白球和黄球，如果袋中有4个黄球且摸到黄球的概率为　16个　 ． 【分析】设袋中白球的个数为x个，根据题意可列方程为，求出x的值即可． 【解答】解：设袋中白球的个数为x个，则袋中共有（4+x）个球， ∴， 解得x＝16， 经检验，x＝16是原方程的解且符合题意， ∴设袋中白球的个数为16个． 故答案为：16个． 13．（4分）如图，△ABC≌△ADE，若∠CAE＝60°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为 　80　 度． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，根据直角三角形的性质求出∠DAE＝80°，据此即可得解． 【解答】解：如图，AD交BC于点F， ∵△ABC≌△ADE，∠E＝70°， ∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE， ∵AD⊥BC于点F， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∵∠CAE＝60°， ∴∠DAE＝∠CAF+∠EAC＝20°+60°＝80°， ∴∠BAC＝∠DAE＝80°． 故答案为：80． 三、解答题（共5道题，共48分） 14．（4分）计算： （1）； （2）x•x5﹣（2x3）2+x9÷x3； （3）（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2； （4）． 【分析】（1）根据有理数混合运算的运算法则进行计算； （2）根据同底数幂的乘除法和积的乘方的运算法则进行计算； （3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算； （4）根据整式的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）； ＝﹣1+1+8 ＝4； （2）x•x5﹣（6x3）2+x3÷x3； ＝x6﹣6x6+x6 ＝﹣8x6； （3）（x+2y）（x﹣7y）﹣（x+4y）2； ＝x8﹣4y2﹣x5﹣8xy﹣16y2 ＝﹣20y6﹣8xy； （4） ＝x2y6﹣2xy+4xy ＝x7y2+2xy． 15．（6分）先化简，再求值：[n（m+8n）﹣（3m﹣2n）2﹣（2n﹣m）（2n+m）]÷（﹣2m），其中（m﹣1）2+|n﹣2|＝0． 【分析】利用单项式乘多项式法则，平方差及完全平方公式展开并计算，然后算除法，再由绝对值及偶次幂的非负性求得m，n的值，最后将其代入化简结果中计算即可． 【解答】解：原式＝（mn+8n2﹣4m2+12mn﹣4n3﹣4n2+m8）÷（﹣2m） ＝（﹣8m3+13mn）÷（﹣2m） ＝4m﹣n； ∵（m﹣1）2+|n﹣2|＝0， ∴m﹣1＝4，n﹣2＝0， 解得：m＝3，n＝2， 原式＝4﹣13＝﹣2． 16．（8分）如图，有一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成6等份，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在边界线时重新操作），请回答下列问题： （1）随机转动一次转盘，转出数字2是 　不可能　 事件，转出数字7是 　随机　 事件； （从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个，填空） （2）随机转动转盘，转出的数字大于5的概率是 　　 ； （3）现有甲、乙两人做转盘游戏，每人随机转动一次转盘，转盘停止转动后，转出数字为3的倍数时乙获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 【分析】（1）根据不可能事件和随机事件的定义进行判断； （2）直接利用概率公式求解； （3）先找出转出数字为2的倍数结果数和转出数字为3的倍数的结果数，再计算出甲获胜的概率和乙获胜的概率，然后比较两概率的大小即可判断游戏是否公平． 【解答】解：（1）随机转动一次转盘，转出数字2是不可能事件； 故答案为：不可能，随机； （2）随机转动转盘，转出的数字大于5的概率＝＝； 故答案为：； （3）这个游戏不公平． 理由如下： 共有6种等可能的结果，转盘停止转动后，所以甲获胜的概率＝＝， 转出数字为3的倍数的结果数为8，所以乙获胜的概率＝＝， 因为＞， 所以这个游戏不公平． 17．（8分）如图，AB＝AC，CD∥AB，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）若点E是AC的中点，CD＝3，△ABE的周长比△BCE的周长大2 【分析】（1）根据ASA可证明△ABE≌△CAD； （2）根据全等三角形的性质求出AE＝CD＝3，根据中点的定义求出AE＝CE＝3，AC＝AB＝6，再根据三角形周长定义求解即可． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠BAE＝∠ACD， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（ASA）； （2）解：∵△ABE≌△CAD，CD＝3， ∴AE＝CD＝3， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE＝3，AC＝AB＝6， ∵△ABE的周长比△BCE的周长大2， ∴（AB+AE+BE）﹣（BC+BE+CE）＝6， ∴AB﹣BC＝2， ∴BC＝4， ∴△ABC 的周长＝AB+AC+BC＝16． 18．（10分）已知AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，点E、F分别在射线AD、BC上运动，连接EG． （1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF； （2）如图2，当点F在点G右侧时，设∠BAG＝α，请直接用含α，β的代数式表示∠AGE的度数 　α+β　 ； （3）在射线BC下方有一点H，连接AH、EH，满足∠BAH＝2∠HAG，若∠FEG＝20°，∠BAG＝60°　70°或130°　 ． 【分析】（1）利用角平分线的定义可证明∠BGA＝∠DAG，根据平行线的判定得到AD∥BC，再证明∠AEF+∠BAD＝180°即可证明AB∥EF； （2）利用三角形的内角和定理求得∠B＝180°﹣2α，得到∠GEA＝180°﹣2α﹣β，再利用三角形的内角和定理即可求解； （3）先求得∠BAG＝∠BGA＝∠DAG＝∠B＝60°，∠HAG＝20°，∠EFH＝∠GFH＝10°，再分类讨论，分为点F在点G左侧时和点F在点G右侧时，利用三角形的内角和即可求解． 【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠DAG（角平分线的定义）， ∵∠BAG＝∠BGA， ∠BGA＝∠DAG（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠AEF＝∠B， ∴∠AEF+∠BAD＝180°（等量代换）， ∴AB∥EF． （2）解：∵AB∥EF，∠BAG＝∠BGA， ∴∠EAG＝∠BAG＝α，∠B＝180°﹣2α， ∵∠AEF＝∠B＝180°﹣2α，∠GEF＝β， ∴∠GEA＝180°﹣6α﹣β， ∵AD∥BC， ∴∠EGF＝∠GEA＝180°﹣2α﹣β， ∴∠EGA＝180°﹣∠AGB﹣∠EGF＝180°﹣α﹣（180°﹣2α﹣β）＝α+β． 故答案为：α+β． （3）解：∵AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA， ∴∠BAG＝∠BGA＝∠DAG＝∠B＝60°． ∵∠AEF＝∠B，∠BAH＝4∠HAG， ∴∠AEF＝∠B＝60°，∠HAG＝20°， ∵EH平分∠FEG，∠FEG＝20°， ∴∠FEH＝∠GEH＝10°， 当点F在点G左侧时，如图： 在△HAE中，∠H＝180°﹣20°﹣60°﹣60°﹣10°＝30°． 在△GAE中，∠AGE＝180°﹣60°﹣60°﹣20°＝40°， ∴∠AGE+∠H＝70°． 当点F在点G右侧时，如图： 在△HAE中，∠H＝180°﹣20°﹣60°﹣（60°﹣10°）＝50°， 在△GAE中，∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣20°）＝80°， ∴∠AGE+∠H＝130°． 故答案为：70°或130°． 三、解答题（共5道题，共48分） 19．（5分）若xm＝5，xn＝3，则xm﹣2n＝ 　　 ． 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵xm＝5，xn＝3， ∴xm﹣4n＝xm÷x2n＝xm÷（xn）2＝6÷32＝． 故答案为：． 20．（5分）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，则小球停留在阴影部分的概率为 　　 ． 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：如图， ∵设总面积为16，则其中阴影部分面积为1+1+3+2＝5， ∴飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 21．（5分）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　　 ． 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：因为多项式（x2+ax+3）（x+2）＝x3+（a+4）x3+（4a+3）x+12不含x的一次项， ∴8a+3＝0， 解得a＝． 故答案为：． 23．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，在运动过程中始终保持AP+AQ＝AB，连结BQ和CP，的值为 　1　 ． 【分析】由“SAS”可证△ACP≌△BEH，可得CP＝HE，由“SAS”可证△CBQ≌△BCH，可得CH＝BQ，则BQ+CP＝CH+HE，即当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，由“ASA”可证△ACH≌△BEH，可得AH＝BH，即可求解． 【解答】解：如图：过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接CH， ∵AB＝AC，AP+AQ＝AB，AC＝AQ+CQ， ∴AQ＝BP，CQ＝AP＝BH， ∵AC∥BE， ∴∠A＝∠EBH， 在△ACP和△BEH中， ， ∴△ACP≌△BEH（SAS）， ∴CP＝HE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△CBQ和△BCH中， ， ∴△CBQ≌△BCH（SAS）， ∴CH＝BQ， ∴BQ+CP＝CH+HE， ∴当点C，点E，BQ+CP有最小值， 此时，∵AC∥BE， ∴∠A＝∠EBA，∠ACH＝∠BEH， 又∵AC＝BE， ∴△ACH≌△BEH（ASA）， ∴AH＝BH， ∴点H是AB的中点， ∴AP＝BH＝AB， ∴点P与点H重合， ∴BP＝BH＝AQ＝AP， ∴＝3， 故答案为：1． 二、解答题（共3道题，共30分） 24．（8分）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，空白的A，B两正方形区域是建筑物，两正方形区域的边长为（a+b）米． （1）用式子表示铺设地砖的面积； （2）当a＝3，b＝2时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是边长为0.2米的正方形，不考虑其它因素，如果要购买此种地砖 【分析】（1）根据题意可得：需要铺地砖的面积＝（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2，然后进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：（6a+2b）（5a+2b）﹣2（a+b）3 ＝24a2+20ab+4b3﹣2a2﹣8ab﹣2b2 ＝（22a3+16ab+2b2）平方米， ∴铺设地砖的面积为（22a8+16ab+2b2）平方米； （2）当a＝2，b＝2时2+16×5×2+2×52＝198+96+8＝302（平方米）， ∴需要铺地砖的面积是302平方米； （3）由题意得：302÷5.22×8.5 ＝302÷0.04×2.5 ＝11325（元）， ∴如果要购买此种地砖，需要11325元． 25．（9分）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝32+4b2+c2的值． 【分析】（1）先由2a+b＝6平方得4a2+4ab+b2＝36，结合4a2+b2＝24求出ab＝3；阴影面积为ab，求出结果即可； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024，则m+n＝1，2mn＝﹣2；利用m2+n2＝（m+n）2﹣2mn计算得5． （3）图3正方形边长为a+2b+c，分割成小图形后面积相加，得展开式a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）由a+2b+c＝5平方得a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc＝25；将2ab+2bc+ac＝3乘2得4ab+4bc+2ac＝6，代入得a2+4b2+c2＝19． 【解答】解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24， 所以（6a+b）2＝4a4+b2+4ab＝52＝36， 4ab＝36﹣（5a2+b2） ＝36﹣24 ＝12， ab＝3， 阴影面积＝ab＝． 故答案为：； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024 （2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2， 即（2025﹣y）×6（y﹣2024）＝﹣2， 所以2mn＝﹣6， m+n＝2025﹣y+y﹣2024＝1， 因为（2025﹣y）2+（y﹣2024）4 ＝m2+n2 ＝（m+n）5﹣2mn ＝12﹣（﹣2） ＝3； （3）（a+2b+c）2＝a2+7b2+c2+7ab+2ac+4bc； （4）因为a+8b+c＝5，2ab+7bc+ac＝3， 所以（a+2b+c）8＝52＝25， 因为（a+4b+c）2＝a2+4b2+c2+6ab+2ac+4bc 3ab+2ac+4bc＝2×（2ab+2bc+ac）＝5×3＝6， a2+4b2+c3＝25﹣6＝19． 26．（12分）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，作 AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA； （2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝8，求证：E点为BC中点； （3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，则＝　　 ． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠FAG＝∠AEC，根据AAS证明△FAG≌△AEC； （2）证明△FGD≌△BCD，根据全等三角形的性质得到DG＝DC，进而证出CE＝BE，则可得出结论； （3）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H，由（1）（2）得到△AHF≌△ECA，△DHF≌△DCB，根据全等三角形的性质计算即可． 【解答】（1）证明：∵FG⊥AC， ∴∠FGA＝90°＝∠C， ∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠F＝90°， ∴∠CAE＝∠F， 在△AGF和△ECA中， ， ∴△AGF≌△ECA（AAS）， ∴AG＝EC； （2）证明：∵△AGF≌△ECA， ∴FG＝AC＝BC， 在△FGD和△BCD中， ， ∴△FGD≌△BCD（AAS）， ∴DG＝CD， ∵AD＝3CD， ∴， ∴＝7， ∴＝， ∵AG＝CE，AC＝BC ∴＝， ∴E点为BC的中点； （3）解：如图3，过点F作FH⊥AD， ∵＝，BC＝AC， ∴＝， 由（1）（2）可知，△AHF≌△ECA， ∴AH＝CE，CD＝DH， ∴， ∴＝， ∴＝＝， ∴＝． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/1 20:50:19；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $