浙江省杭州市2026年七年级下册期末考试数学自编模拟卷

**基本信息** 以甲骨文平移、学习软件调查等真实情境为载体，通过“友好关系”方程组、乘法公式几何验证等创新设计，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、分式、统计、二元一次方程|甲骨文平移题渗透文化传承，统计题强化数据观念| |填空题|6/18|因式分解、平行线判定、方程组解迁移|平行线判定题融合几何直观，方程组迁移题培养符号意识| |解答题|8/72|新定义“友好关系”、乘法公式几何应用、角平分线与平行探究|“友好关系”题发展推理能力，几何代数综合题提升创新意识|

浙江省杭州市2026年七年级下册期末考试数学模拟卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 【答案】C 【详解】解：A、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意； B、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意； C、能大致看成用其中一部分平移得到，符合题意； D、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意． 2．若“”是分式，则“∃”不可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的定义为：若中，是整式，且中含有字母，则是分式，据此判断即可． 【详解】解：∵若是分式，则分母必须是含有字母的整式， 选项A的，选项B的，选项C的，均含有字母，符合分式的分母要求， 又∵是常数， ∴是不含字母的常数，若 ，则是整式，不是分式， 因此不可以是． 3．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 【答案】B 【分析】根据统计相关的基本概念，包括总体、个体、样本、普查与抽样调查的定义，判断各选项即可． 【详解】解：A．总体是我市初中八年级名学生的体育成绩，不是名学生，错误，故不符合题意； B．名学生的体育成绩是从总体中抽取的一部分个体，符合样本的定义，∴B正确； C．总体的一个个体是每名学生的体育成绩，不是每名学生，错误，故不符合题意； D．本次调查只抽取了部分学生，属于抽样调查，不是普查，错误，故不符合题意． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：∵，∴A运算正确； 选项B：∵，∴B运算错误； 选项C：∵，∴C运算错误； 选项D：∵，∴D运算错误． 5．已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，则m的值是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的一组解， ∴把代入方程得 解得． 6．下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，但分解的不彻底，选项A不符合题意； B、等式右边，不是几个整式乘积的形式，则选项B不符合题意； C、该变形是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，则选项C不符合题意； D、等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且分解彻底，符合因式分解的定义，则选项D符合题意． 7．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 8．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 9．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 10．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 二、填空题（共18分） 11．分解因式：____________． 【答案】 【详解】解：． 12．计算：_____． 【答案】1 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 13．某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，将收集的数据制成了如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中篮球部分对应的圆心角为，已知该校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有_____名． 【答案】1280 【分析】根据圆心角度数求出占比，然后求出羽毛球部分的占比，根据总数乘其占比即可求解． 【详解】解：篮球部分的占比为， 羽毛球部分的占比为， ∴估计该学校选择羽毛球的学生有（名）． 14．若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 15．如图，下列能判定的条件有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④ 【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①， ，符合题意； ②， ，不能判定，不符合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤与是同旁内角，若才能判定，而不能判定，不符合题意； 综上所述，能判定的条件有①③④． 16．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解为， ∴， ∴． 三、解答题（共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由方程，变形得， 将其代入方程， ， 解得：， 把代入：， 方程组的解为 ． （2）解：方程 两边同乘2，得：， 用其减去方程： ， 解得：， 把代入方程：， 解得：， 方程组的解为 ． 18．（8分）先化简，再求值：，从的范围内选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值及分式有意义的条件，先将分式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定代入的值计算即可． 【详解】解： ， 且为整数，，，， ，，， ，，， 当时， 原式． 19．（8分）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得： 把代入分母，得， 因此是增根，原分式方程无解． （2）解： 去分母得， 解得 当时，最简公分母， 故原方程的解为． 20．（8分）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．针对五个软件：（A）作业帮（B）橙果错题集（C）小猿搜题（D）豆包（E），某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样调查，并绘制如下统计图．完成下列问题： (1)求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图． (2)已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件学生人数． 【答案】(1)30人， (2)225人 【分析】（1）根据样本容量频数所占百分数，求得样本容量，利用频数之和等于样本容量，计算补图即可； （2）利用样本估计总体计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得A有70人，占比为， 故， 故喜欢豆包软件的人数为：（人）， 补图略． （2）解：根据题意，得（人）， 答：该校最喜爱软件的学生共有225人． 21．（8分）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 22．（10分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系” 【分析】（1）先解二元一次方程组求出、的值，再代入验证，判断是否具有友好关系． （2）先通过方程组消元，用含的代数式表示，再根据友好关系的定义列方程求解的值． （3）先通过加减消元法用含的代数式表示，结合、、为正整数的条件，分情况讨论的取值，再验证是否满足，判断是否具有友好关系． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②-①得， ∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解： ， 得，， 解得， 与，都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 23．（10分）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． (1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； (2)【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； (3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）用两种方式表示阴影面积即可解答； （2）①直接利用（1）得结论求解即可；②设，，则，然后再利用（1）的结论求解即可； （3）由题意可得：，再求得，利用（1）的结论可得；再利用完全平方公式可求得，最后代入求S即可． 【详解】（1）解：如图①中阴影部分的一种表示为：；另一种为：，则． （2）解：①由（1）可得：， 所以， ∴， ∵，， ∴． ②设，，则， 由（1）知， ∴． （3）解：由图②可知，阴影部分的面积为 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 24．（12分）已知平分，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，且，请探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，再直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明： 平分，平分， ， ， ，， ，即， ； (2) ， 证明：设，则 ， 平分， ， ， 由（1）可知：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即 ； (3)或； 【分析】（1）由角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形的内角和定理和等量代换有，由此可证得； （2）设，依题意可得 ， ， ，由（1）可知：，根据平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义得 ，最后由三角形的内角和定理以及角之间的关系可得出 ， ，即可求得与的数量关系； （3）分点H在右侧和左侧两种情况，①当点H在右侧时，设 ，根据题意运用平行线的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理得出 ， ，由此即可求得此时的与的数量关系；②当点H在左侧时，设 ，则 ，利用角平分线的定义以及三角形的外角和定理可得，，由此即可求得此时的与的数量关系． 【详解】（1）略； （2）略 （3）解：或，理由如下： ①如图，当点H在右侧时， 理由如下：设 ，则 ， ， ， 又平分， ， ， 即 ， ， ， 即 ； ②如图，当点H在左侧时， 设 ，则 ， 又平分， ， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市2026年七年级下册期末考试数学模拟卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 2．若“”是分式，则“∃”不可以是（     ） A． B． C． D． 3．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，则m的值是（　　） A．3 B． C． D．2 6．下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 9．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 10．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 二、填空题（共18分） 11．分解因式：____________． 12．计算：_____． 13．某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，将收集的数据制成了如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中篮球部分对应的圆心角为，已知该校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有_____名． 14．若的展开式中不含项，则______． 15．如图，下列能判定的条件有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 16．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 三、解答题（共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程组． (1)； (2)． 18．（8分）先化简，再求值：，从的范围内选一个合适的整数代入求值． 19．（8分）解分式方程： (1)； (2)． 20．（8分）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．针对五个软件：（A）作业帮（B）橙果错题集（C）小猿搜题（D）豆包（E），某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样调查，并绘制如下统计图．完成下列问题： (1)求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图． (2)已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件学生人数． 21．（8分）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 22．（10分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 23．（10分）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． (1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； (2)【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； (3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 24．（12分）已知平分，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，且，请探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，再直接写出与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $