精品解析：四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（三）数学试题（4.15）

卓同教育集团高2023级强化训练（三）数学试题（4.15） 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于复数的命题错误的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. 的共轭复数的模为2 C. 方程的两根之和不等于 D. 满足方程的 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的相关概念及运算法则依次计算即可判断四个选项正误. 【详解】对于A，复数，虚部是1，故A正确； 对于B， 的共轭复数为，模为，故B正确； 对于C， 方程的两根之和为，故C错误； 对于D， ，则，故D正确. 故选：C 2. 已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出函数的图像，结合图像，即可求得不等式的解集. 【详解】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减， 可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减， 函数的图像如图所示， 结合图像可得，不等式的解集为. 故选：A. 3. 某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（ ） A. 120 B. 96 C. 48 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法， 最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种， 由分步计数原理，可得取法种数为. 故选：C． 4. 中，内角的对边分别为，若，则（   ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理结合两角和的正弦公式即可得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得，即， 所以，即， 又因为是的内角，所以，得，即， 由正弦定理得，所以，即，故D正确. 5. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台侧面积、体积公式列式求出圆台的底面圆半径及高，再结合球的截面圆性质列式求出球半径即可. 【详解】设圆台的上底面的半径为r，母线长为l，则圆台的高为， 由圆台的侧面积为，体积为，得， 解得，圆台的高，设圆台的外接球的半径为R， 球心到圆台两底面圆的距离分别为，因此，解得， 或，无解，所以圆台的外接球的表面积为． 故选：D 6. 设数列是公差为2的等差数列，且首项，若，则（ ） A. 12224 B. 12288 C. 12688 D. 13312 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质与组合性质，化简得，进而得到方程组，求得，即可求解． 【详解】根据等差数列性质：若则与组合性质， 可得， 且，，，…，，，， 进而有， 于是， 由①+②得 整理得，即． 于是. 故选B． 【点睛】本题主要考查了以等差数列与组合数联袂为载体命题，这是一道小综合题型，主要考查了数列性质与组合性质的应用，考查了教材中利用倒序相加法求和问题，这是一道紧扣教材的好题，同时考查了考生的观察能力、逻辑推理能力与运算求解能力． 7. 给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做距离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，例如：{1.2}=1，{2.8}=3．给出下列关于函数的四个命题： ②； ④y=f（x）的定义域是，值域是则正确的命题的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义求出，，，，再根据，分别求出，，，，由可以得到的定义域是，由求出的范围，即得的值域. 【详解】因为，，，，所以，，，，∴，①错误； ，②错误； 因为，，所以，故③正确； 的定义域是，因为，所以， 即，∴值域是，故④错误． 综上，正确的命题个数为1个. 故选：A． 8. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（     ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A不正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C不正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由的面积为，所以D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用数据的和差积商性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A，因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B，由事件，相互独立可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C正确； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D； 【详解】解：因为，又由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 又， ， ，故选项D错误． 故选：AC． 11. 若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在，使得四边形是平行四边形 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成， 所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况. A：由椭圆的标准方程可知， 所以是椭圆的焦点， 于是有，所以本选项结论正确； B：显然，所以是直角三角形，且， 所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意， 即，所以本选项说法不正确； C：当时， 由. 当时， 由. 假设四边形是平行四边形，因为， 所以， 即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确； D：的面积为，当且仅当时取等号，即， 所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在上投影数量为，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用投影数量的公式，求得，结合数量积的运算律，即可求解. 【详解】因为向量在上投影数量为，，所以， 所以，所以. 13. 已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 【答案】1 【解析】 【分析】先将不等式整理，构造函数，通过导数分析其单调性，分和讨论；再构造，求导分析其最值，得到. 【详解】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，，单调递增，且， 所以，，不满足题意； 当时，，单调递增，，单调递减， 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当，单调递增， 所以， 所以当时，满足成立，则实数的值为. 14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出向量的坐标，并由已知判断出分别与的夹角范围，从而求解. 【详解】因为，所以，故. 由，得， 所以有，即，. 由题不妨可设，，， 由，知, 由可得， 同理可得，可得，所以， 所以， 而，所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程，求解首项和公差即可解题； （2）由（1）确定通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 . 16. 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. （1）假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 【答案】（1） 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 期望 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意确定服从二项分布，即可求解； （2）设“任取一个零件为次品”“零件是从第箱取出的”，由全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可求解. 【小问1详解】 设，由题意知： 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 . 【小问2详解】 设“任取一个零件为次品”， “零件是从第箱取出的”，则且， 由题意知：，， 由全概率公式： ， 由贝叶斯公式知： . 17. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数； （2）利用导数讨论单调性，得出函数的极值，再解不等式即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于， 因为，所以切线斜率为， 所以，则，所以切点为， 又因为切点在直线上，所以， 所以． 【小问2详解】 ， 则． 当时，，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，， 所以在上单调递增， 所以不是的极值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，满足题意， 综上，的取值范围是． 18. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 【答案】（1）证明：记椭圆所在平面为，由椭圆柱定义可知，. 因为，所以 因为平面， 所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆柱的平移性质得到线面垂直关系，结合的条件，推导线线垂直，再根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）先确定点在底面上的射影，建立平面直角坐标系写出椭圆方程，设直线方程并联立椭圆，结合已知条件求解点的坐标，再根据线面角的定义计算正弦值； （3）先通过等体积法建立四面体体积与内切球半径的关系式，表达出内切球半径的表达式，再利用基本不等式求的最小值，同时验证、与坐标轴垂直的特殊情况，确定最终最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设在下底面射影分别为， 则． 如图，在平面直角坐标系中， 椭圆的方程为， 设，若与坐标轴不垂直，设直线的方程为， 联立直线与椭圆方程，得， 所以， 同理，可得． 由得，，解得， 所以 所以， 所以． 设直线与底面所成角为，则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为四面体的体积 ， 设四面体的内切球半径为，则 所以 当且仅当，即时，等号成立. 若与坐标轴垂直，不妨设为长轴，为短轴，即， 此时内切球半径． 所以四面体的内切球半径最小值为. 19. 如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） ①由（1）知，为椭圆：的焦点，所以，， 由对称性，不妨设点在轴右侧，设内切圆半径为. 则，，所以，即. 又为的重心，所以. 所以与轴平行. ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）①结合三角形内心及重心的性质证明出，横坐标相同即可得到所在的直线与轴平行. ②设出点坐标，求出，根据为重心求出点坐标；结合内心的性质及三角形面积公式得到，进而得到，求出坐标，结合向量关系求出点坐标；设出直线方程及，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出，即可求出三角形面积表达式，结合点范围求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义，点的轨迹是以,为焦点，长轴的椭圆. 所以点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②设延长线交轴于点. 设点，则，. 则. 同理可得. 因为为的内心，结合三角形面积公式可得，， 即，也即，所以，则. 又，所以. 设，，则，所以. 设，则直线， 即. 设，联立，整理得， 则， 所以，所以. 又， 所以， 又，且，所以，所以，即. 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级强化训练（三）数学试题（4.15） 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于复数的命题错误的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. 的共轭复数的模为2 C. 方程的两根之和不等于 D. 满足方程的 2. 已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（ ） A. 120 B. 96 C. 48 D. 24 4. 中，内角的对边分别为，若，则（   ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设数列是公差为2的等差数列，且首项，若，则（ ） A. 12224 B. 12288 C. 12688 D. 13312 7. 给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做距离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，例如：{1.2}=1，{2.8}=3．给出下列关于函数的四个命题： ②； ④y=f（x）的定义域是，值域是则正确的命题的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（     ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在，使得四边形是平行四边形 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在上投影数量为，，则_____ 13. 已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. （1）假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 17. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 18. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 19. 如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点，，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $