19.3.1矩形(第1课时) 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦矩形的概念、性质及直角三角形斜边上中线性质，通过生活中长方形实例（如显示屏、书封面）导入，联系平行四边形知识，构建“平行四边形-矩形”的特殊与一般关系，搭建学习支架。 其亮点在于以“观察-猜想-证明”为主线，通过教具演示和剪矩形纸片活动，培养学生推理能力与几何直观。规范几何语言表述，结合矩形折叠例题（如AD=8、AB=4求AE），助力学生用数学语言表达，提升探究能力，也为教师提供清晰教学流程。

第19章 四边形 19.3.1矩形(第1课时) 沪科版2024·八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 了解矩形的概念,掌握矩形的性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系;会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 经过探索矩形性质的过程,激发学生合情推理意识,进一步掌握几何思维方法. 培养严谨的推理能力,以及自主合作精神,渗透运动联系、从量变到质变的观点. 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 情景引入 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 探究新知 电脑、电视机的显示屏是什么形状？本书的封面是什么形状？ 小学阶段我们称这些图形为长方形 也叫做矩形 思考：矩形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 探究新知 有一个角是直角的 叫做 . 矩形 平行四边形 矩形 有一个角是直角 平行四边形 矩形的定义 A B C D 矩形必须具备 两个 ① 它是一个平行四边形 ② 它有一个角是直角 条件 二者缺一不可 矩形是特殊的平行四边形， 但平行四边形不一定是矩形. (矩形就是长方形) 讲授新课 矩形的性质 一 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角发生变化成为直角,请同学们注意观察. 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. 平行四边形不一定是矩形. 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. A B C D O （形象图） 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 若∠ABC=90°，则另外三个角，以及对角线有什么关系？ 新知探究 思考： 观察下图，把平行四边形的一个内角变为90°，这时的平行四边形是什么图形？ ∟ 新知探究 思考： 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是矩形. 探究新知 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 几何语言 : ∵ 在 ABCD中， ∴  ABCD是矩形 反过来 ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∵ 四边形ABCD是矩形 知识拓展： ∠A=90° 且∠A=90°  ABCD ∠A=90° 矩形的定义既是矩形的一种判定方法，又是它的一个性质. A B D C 探究新知 我们知道矩形是一种特殊的平行四边形，因此矩形就具有平行四边形的一切性质. A B D C 对角线的性质 边的性质 角的性质 矩形的对边平行且相等. 矩形的对角相等，邻角互补. O 矩形的对角线互相平分. 证明：由定义，矩形必有一个角是直角， 设∠A = 90°. ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴∠B=∠C=∠D =90°. （两直线平行，同旁内角互补） 即矩形ABCD的四个角都是直角. 已知,矩形ABCD. 求证： ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证一证 探究1 矩形的四个角都是直角. 结论 ：矩形的四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. A B C D O 如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O. 求证：AC=DB. 探究2 矩形的对角线相等. 结论： 矩形的对角线相等. 新知探究 矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 1 对边平行且相等 2 对角相等 3 对角线互相平分 除此之外，它的边、角和对角线还具有哪些特殊的性质呢？ 新知探究 下面给出“矩形的四个角都是直角”的证明. 已知：如图，矩形ABCD. 求证： ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明：由定义知矩形必有一个角是直角，不妨设∠A = 90°. ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴∠A+∠D=180°，∠D+∠C=180°，∠C+∠B=180°. （两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B=∠C=∠D =90°. 因此，矩形ABCD的四个角都是直角. A D B C 新知探究 矩形的性质定理： 矩形的四个角都是直角． A D B C 符号语言表示： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 探究新知 思考：矩形除了具有一般平行四边形的性质外，它的边、角和对角线还具有哪些特殊的性质呢？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等． A B D C O 我们知道矩形是一种特殊的平行四边形，因此矩形就具有平行四边形的一切性质. 探究新知 已知： 求证： 证明： ∵ AB∥DC，AD∥BC 矩形的四个角都是直角. 猜想 1： A B D C ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 如图，四边形 ABCD 是矩形. 由定义， 矩形必有一个角是直角， 设∠A=90° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即 矩形 ABCD 的四个角都是直角. 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. A B C D O 矩形的边、角、对角形有哪些性质？ 归纳总结 矩形的对边平行且相等 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等且互相平分. 新知探究 下面给出“矩形的对角线相等”的证明. 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形. 求证： AC = BD. 证明：在矩形ABCD中， ∵∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC ， BC = CB. ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC = BD， 因此，矩形的对角线相等. A B C D 新知探究 矩形的性质定理： 矩形的对角线相等． A D B C ¬ O 符号语言表示： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 探究新知 A B D C 已知： 猜想2：矩形的对角线相等． O 求证：AC = BD 在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ △ABC≌△DCB ∴ AC=BD ∠ABC = ∠DCB = 90° (矩形的对边相等) (矩形的四个角都是直角) 在△ABC和△DCB中 AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB 证明： ∴ AB = DC ∵ (公共边) (SAS) 探究新知 矩形特殊的性质 矩形的四个角都是直角． 矩形的两条对角线相等． 性质 1： 性质 2： A B D C O ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 【几何语言】 (矩形的四个角都是直角) ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD 【几何语言】 (矩形的两条对角线相等) 例2 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求AE的长及△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5. 则AE=3 ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC中，O是AC的中点，则BO是Rt△ABC斜边AC的什么线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 直角三角形斜边上的中线的性质 二 新知探究 思考： 证明猜想： A B C D O 如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证：BO= AC. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD, 又 BO= BD， ∴BO= AC 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 新知探究 直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． A B C O 符号语言表示： ∵∠ABC=90°,OA=OC, ∴BO= AC. 探究新知 ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD， 矩 形 的 性 质 A B D C O 矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等且互相平分 对角线的性质 边的性质 角的性质 ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AB CD， BC AD ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 且 OA=OB=OC=OD 矩形的相关概念及性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 $