河南省开封高级中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试（全真模拟卷) 数学答案 1.【答案】A 【1为月，)8，所似数- 的虚部是-8，故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，以及复数的概念，属于基础题 2.【答案】C 【详解】当x>0时，f(x)=e-1>0, 由fo)0,,a<0,且白商属数知，f-a写0，所以-1月得a=1 3 4 3.【答案】C 【详解】设该等比数列的公比为9，当q=1时， S=6=2≠3，不符合题意： S,3 1-g 当9≠1时， 受3竖}号13=13g-2 1-q 1-q 所以a4=1q=2. 4.【答案】D【详解】由题知b-a=(3-2,x-1)=(1,x-1),因为a◆b-a), 所以a:6-a)=2×1+1×(x-1)=0,解得x=-1 所以b=(3,-1),则：a+6=(2+3,1+(-1)=(5,0),所以a+=V5+02=5. 5.【答案】C 【详解】圆心O到直线l的距离为d=√2， 在直角三角形01P中，Q4=-10P≥V2,所以sm∠A0=0s5 OP2,由于∠A0: 所以可得∠AP0≤子则∠AP6=2∠APO≤号，因为O4L4PO6L8P,所以∠AP8与∠A0B互补，所 以当∠APB=时，弦长AB最小，北时40B-受弦长B=反故选：C 6.【答案】C 【详解】因为PX-可≥P(X-5),所以CpQ-p,p≥CpQ-p或p,解得p≤号，即P的最大值为？故 选：C 7.【答案】A 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGOST,取CS的中点I, 则多面体CDG07可以分成8个全等二棱锥C-G01,则Sa2x万=1， 且C1L平面Go,CI1,则cax1x1e 3,该“十字贯穿体的体积即为 V=2x6-8.6r=12-8-28 33 8.【答案】C 【详解】由于f(x)的取值范围是[-2,2]，f(x)f(x,)=-4,所以当且仅当f(x)=2且f(x)=-2,因 π 4{4m+ 为x∈[0，元]，所以ox+ 要使f(x)在[0，π]上能取到2，则区间 4,n+ 内至少要包含一个形如2m(k∈Z)的数， 4 其中最小的可能值为2元档k=1时，故需满足m+牙2π，解得0≥： 4 要使f(x)在0，元上能取到-2，则区间 4m+ 内至少要包含一个形如2(k+1)π(k∈Z)的数，其中最小 的可能值为元（当k=0时），故需满足om+亚≥元， 4 3 7 解得o2,为使x,均在0，元内，同时清汞。27和02。因此最小的@为 4 4 9.【答案】AB 【详解】选项A:根据方差的运算性质，对任意常数a,b,有D(aX+b)=aD(X),本题中a=2,b=-1,因 此D(Y)=D(2X-1)=4D(X),A正确. 选项B:回归分析中，决定系数R衡量模型对因变量变化的解释能力，R越接近1，说明残差平方和越小，模型 拟合效果越好，B正确. 选项C:经验回归直线一定经过样本中心点（低，），但不需要经过任何一个样本数据点，C错误. 益项出条#死幸鞋.N0-1a子肉光PN=M)PVM0=号号写 D错误. 10.【答案】ACD 2 【详解】由题意可知直线1斜率不为0，设A(x,),B(x2,y2),1:x=y+4,联立 x=y+4, 2=4x得 y-4y-16=0,则y1+y2=4m,y2=-16,x+x3=m(y+y2)+8=4m+8, 对于A选项，xx=myy+4(+y)+16=16, 因为OA.OB=x3+y2=0，,所以OA⊥OB,所以以AB为直径的圆过坐标原点，A说法正确； 对于B选项，若=2=十业=2，则m=少=1，由抛物线的定义可得 2 IAF|+|BF=x+x,+p=14,B说法错误； 对于C选项，因为M(,y)为线段AB中点，所以M2m+4,2m), 若直线1的斜率存在，则m20,直线1：y=x-4的斜率太=1之 ，C说法正确： 17 m yo 对于D选项，FA·FB=(x-1,)(x-1,y2)=xx-(x+x)+1+y=-4m-8<0,D说法正确： 故选：ACD 11.【答案】ABD 【部解】对打441，么=4=片马=4方西=景放A正格： 1 1 1 对于B,-4=女s0,当n22时，若a,=0,则a1=0或a-2 令x号-2，印-2x40,国为4<0，故方程号式-2无解，即a142, 当an-1=0时，an-2=0或a-2=2,而a-2≠2，以此类推，4=0或4=2，又4=1，所以4-1≠0， 所以&70，所以a《女<0，所以致列a}为运减数列、放B正确： 1 对于C.,=-三G=8,所以S4=4+%+4+a4=1++2+39=279 28128128 >2,故C错误： 厨了D,因方数风数0血，由Q。=A号女可得汉力名L2L由 a 。-a式nsa4文女分是之 所以当n≥2时， 县是g会…设》会 减传设县会合 L-1=4+4++81∈0m-12n-2],又4=1，所以2≤a.< 即21- n+1 当n1时，&41，t时片a后，综上，%≤片放D正确 1 n 12.【答案】-3 【样1由f到-2x是好a有f倒-子名则/0)-=2+2a, 因为该切线与直线x-4y-2=0垂直，则(2+2)×】=-1，解得a=-3故答案为：-3. 4 13.【答案】√5 【详解】如图，设P=x.则P=2x.由双曲线定义可得P-P=2x-x=2a.即x=2a, 所以PR=2a,5网=4，又g,∠RP明写 在RZ中，由余弦定理得cos∠RP职-4a+2a-(2a,解得c=Va,故c 2.4a.2a 的离心率e=C=5. a 1 14.【答案】 ①. 120 【详解】记Mk=max{4,凸，，ae},Mk41=max{a+1,ak+2,ao}，则A,等价于Mx-Mg+1≥3。 ①若10在后段，则M.≤9，M+1=10,于是M-M41≤-1，不满足： ②若10在前段，但8或9在后段，则M=10,M+1≥8，于是M-M+1≤2，不满足： ③若8,9,10都在前段，则M+1≤7，于是Mx-M+1≥3，满足. 因此，事件A等价于8,9,10都在前k个位置. 计算P(A):将8,9,10放在前3个位置，共3！种选择，余下的7个位置随机排列，共7！种选择，因此 P(4)=31711 10！120 注意到对k=1,2,…,8,均有A为A+1的子事件，因此404004=A,. 计算P(A,):将8,9,10放在前9个位置，等价于第10位是1到7中的某个数，共7×9！种选择， 因此P(4UA,UU4)=P(4)=7x9!-7 -104-10 15.【详解】(1)在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴LAB,因为ADL平面ABC,以 又 AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-z,如图所示， 4aa0 .nC00cL0oa3aMma1时》g经} P0-(040-@02, 因为ADL平面ABC,所以平面ABC的一个法向量为AD=(0,0,2), 因为P04D=0,PQc平面ABC,所以P91/平面ABC: (2)因为y轴1平面BDM,所以平面BDM的一个法向量为m=(0,1,0)BD=(-20,2,B沁=(11,0)， n.BD=-2x+2z=02=x 设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,), i.BC=-x+y=0’y=x 取x=1,则y=1,z=1,所以n=Q,1,1),设平面BCD与平面BDM的夹角为6， m02点9s-og-9 所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为√2： 16.【答案】胥@5+9 2 【解1因为层29c, 所以V5a=-2 hsinc+写}-nC+VBcoc, 由正弦定理可得√3(sinA-cosCsinB)=sinBsinC, 所以√3(sin(B+C)-cosCsinB)=sinBsinC,所以√5 cosBsinC=sinBsinC, 又Ce(0,),则sinC>0,所以sinB=BcosB,则tanB=√5，B∈(0，m),所以B= 31 (2)由(1)知，B-,a=4,在△4BC中，由正弦定理得， AC BC sin∠Bsin∠BAC sin∠BAC' 23 3W5 35 所以AC= 又ADC=,A4D=33,BAC=2DAC,所yC 2 2 Sin∠BAC1 2 cOS∠DAC-CcOS∠BAC 3V5 故2W3 2 ,即3sin∠BAC=4cos∠BAC. sin∠BAC cos.∠BAC 又sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,所以sin∠BAC=4, wBC=所以AC5 又sin∠ACB=sin ∠BAC+ π-413V5_4+35 3尸5×2+52=10 所以△MBC的面积为)AC.BCsin /ACB=55sim∠4CB=4V5+9 2 17.【详解】(1)由题意得X的所有可能取值为2,4,5，则P(X=2)= 5 P(X=4= 》阳 P(X-5)= 所以X的分布列为 X 2 4 5 15 9 8 64 64 所以X的期望E(X)=2水g+4k 6+5x9=18s 6464 (2)设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA,BB,AB,BA,其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以PM)=P(AA)·1+P(BB)·0+P(AB)·P(M0+P(BA)·P0 =P(A)P(A)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M) =a+aBP(M)+BaP(M)=a2+2aBP(M), 因此0-2APa0=&2,得PUM=1-2aB' 02 a2 a a? 而a+B=1,所以PM=a+-2Bx+2a0+F-2ap2+F 18.【答案】④片+二-1005：②过定点(2,0). 43 【解11)因为箱圆C苦茶=1a>b>0,张女(10.5L0,c-Ld-6-1. 由派备，点w的候车杯为1，代入面方提，合岁1y-名四-子公 fa2-b2=1 联立方程组： ？，解得a=2=3，桶圆C的方程为：子+号1 a 2 （2)由)知点》M返为直线=1，由h1瓜，得H0,, x=y+4 设直线AB的方程为x=y+4,A(,),B(2,乃)，则联立： x2+=1 43 消元得：(3r2+4)y2+24m0y+36=0,△=5762-144(32+4)>0，所以2>4， 24m 36 由韦达定理：片+为=3r+4%3+4 12Wm2-4 ①So=31oPly-=2y-,则y-g=vG+P-4%=3mt+4 1-00川4器6 t 山均位不等式立5a5,当且汉当时等9、对6 t ②直线B过点H1,)和B(k),方程为：y-片=片-生(K-). 5-1 令-0，得：=14怎，将5=+4代入：=5-四-4组 为-片 5- 由韦达定理得y= 多.代入化简：与级 y-乃 -片 2 洁线历恒过定点0 19. (ii)证明见解析 【详解】1)f(w)=x2-(v,求导可得f'(y=2a-2r_2(a-, x 因为f(x)在(0，+o)上单调递增，所以当x∈(0，+o)时，f"(x)≥0，即am2-lnx≥0→a≥nr lxx-2xxlnx 设g)->0),求导可得g- x-2xnx_1-2lnw, x4 x23 令g'(x)=0,即1-2nx=0,可得x=√E, 当x∈(0，VE)时，g(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(VE,+∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 因此8g)的极大植为个女即g)=所以a约取植范里足[ （2)D令f)=0,可得am2-(r产=0=a-r 因为f()有三个零点，所以a>0,因此可得±Va=n有3个不同的实数根， > 设()=(x>0),求导可得(y)= 1xx-Inx 1-m x x 令h(x)=0,即l-lnx=0,可得x=e, 当x∈(O,e)时，h(x)>0,h(x)单调递增，h(x)的值域为 当x∈(e,+o)时，H(x)<O,h(x)单调递减，h(x)的值域为 o.e) 所以当且仅当0<a<士时，士a=血有3个不同的实数根， e 1 a的取值范围是0，。) i证明：0<a<,<-a<0, e :当x∈(0，e)时，h(x)单调递增，当x∈(e,+o)时，h(x)单调递减，且hI)=0,x<x<, .∈(0,1)，∈(1，e),∈(e,+∞)， )是46A)OF年调准，六 1 1 :h)<h=0,后<5<l,心证明555>e可以转化成证明g>c,即证血6+s>2, Vax,inx vax,=Inx ,化简可得点=5 x Inx :s+长=ns+ls,:此+irs=s+5xh点 3-6hs-53 6-为3 设营-4，可符鲜+费如> 证明+s>2可以转换为证明当1>1时告>2，即正w-子>0， t+1 数=w.周r0-北--片 t(t+1) t(t+1)2tt+1)2(t+1)t 当t>1时，F(t)>0,.F(t)在(1，+o)上单调递增，F(t)>F(1)=0,x5>e2, 1 >xe=e」 x>衣，>姓名 机密大启用前 准考证号 2026年普通高等学校招生全国统一考试（全真模拟卷) 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填， 写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核 对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上 对应的答题区城内。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1复数- 的虚部是( A.-8 B.-8i C.8 D.8i 2已知了问是定义城为R的商画数，且当x>0时，了问=心-1.若f问)-月 则a的值为() A峰 c好 D. 4 3.已知等比数列{an}的首项为1，前n项和为Sn,若 =3,则a4=(.) A.-2 B.1 C.2 D.1或-2 4.已知向量a=(2,),5=(3,x),若d1(6-a),则+=（) A.2 B.3 C.4 D.5 5,已知P是直线1：x+y-2=0上的任意一点，若过点P作圆O:x2+y=1的两条切 线，切点分别记为A,B,则弦长AB的最小值为() A.2 B.5 C.2 D.l 1 6.在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0<p<1),则失败的概率为1-p,将试 验进行到恰好出现”次成功时结束试验，用随机变量X表示试验次数，则称X服从以r,,，:, P为参数的帕斯卡分布，记为X~NB(心，P).已知X~NB(3,p);若P(X=6)2P(X=5), 则P的最大值为() ”为： A分 B. 2-3 D. 6 7.如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，.其中一个四棱柱的侧棱与 另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C,D),另外 两条相对的侧棱交于一点（如O).已知正四棱柱底面边长为√2，侧棱长为3，则该多面 体的体积为（) 28 A. B.282 c D.56V2 3 3 &已知函数f=2@sr+引@>0)，若，名e0,f)r5)=-4, 则①的最小值为() 3 B c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分。 2 9.下列说法中正确的是（) A.若随机变量X,Y满足Y=2X-1,则D(Y)=4D(X) B.在回归分析中，决定系数R2的值越接近1，模型的拟合效果越好，·~ C.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D.若事件M,N满足P(M)）=子P(N=之P(M)=则P()= 10.过点P(4,0)的直线1交抛物线C:y2=4x于A,B两点，线段AB的中点为 M(,%),抛物线的焦点为F,下列说法正确的是() A.以AB为直径的圆过坐标原点 B.若y%=2,则AF|+BF=12 C若直线1的斜率存在，则斜率为 D.FA-FB<0 o 1.已知数列a,}的前n项和为S,若a=l,gm=a方aeN),则() B.数列{an}为递减数列 C.任意neN,Sn≤2 D.任意neN,a≤ n+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。： 12.已知函数了()-2x-是的图象在x=l处的切线与直线x-4y-2=0垂直，则a= 1B.已如双曲线C号卡-a>0b>0的左，右焦点分别为5.5，点P在C上，日 ∠RP%=牙，P明=2P,则c的离心率e=— 14.已知1~10这10个正整数的随机排列为41,42，，410.记 d4=max{a,42,,ax}-max{ak,ak+2,a0},k=1,2,,9,事件4为“a, 42,,4o满足dk≥3”，则事件A的概率为，事件4040.04的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明 3 过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在三棱锥D-ABC中，AD⊥平面ABC,AABC为等腰三角形 ∠AC5=90°，AC=BC=√2,4AD=2,M为AD的中点，P是M的中点，且、· D2=30C. (I)求证：P2/1平面ABC: (2)求平面BCD与平面BDM夹角的正切值： 16.（15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,·:, 2mc+引 (1)求B: ②话D为△MC外-点，B,D分别位于直线4C的两侧，DC=受：D-39 ∠BAC=∠DAC,求△ABC的面积. 17.(15分)甲、乙两名选手进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比 赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛。已知每局比赛中，甲 获胜的概率为子，乙获胜的概率为片，且每局比赛结果相互独立。 (1)若比赛最多进行5局（若打5局，第5局胜者赢得比赛），求比赛结束时比赛局数X的 分布列及期望E(X): (2)若不限比赛局数，每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为B，记“甲赢得比 2 赛”为事件M,证明：P(M)= a2+B2· 18,(17分)已知椭圆c号+长-1e>60)的左、右焦点分别为5(-10，E0,点 M在C上，MSLx轴，且=： (I)求C的方程： (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥M于点H, ①求△OAB面积的最大值； ②判断直线B是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由， 5 19.(17分)己知函数f(x)=ar2-0mx)(aeR). ()若(x)在(0，+o)上单调递增，求a的取值范围： (2)若(x)有3个零点，2，(：<<书) ()求a的取值范围： ()证明：55>. 14 6