河南省开封高级中学2026届高三下学期模拟预测（三）数学试题

·数学· ·河南专版· 叁考含桌及解折 高三数学（三） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C A B B C D BC ACD AB 一、选择题 8/5sin Ceos B8/5 sin Ceos(-c)- 1.C【解析】因为M={x|-1<x<3},N= {-1,0,1},所以MUN=[-1,3) &5mc(msc+血c=-4mc 2.D【解析】因为2=2-，所以1 z+i cos C+12sin2C=6-(23 sin 2C+6cos 2C)= 2+21_2+2i=2+2i. 1-i√2 6-45sim(2c+3)又C∈(0，)则2c+ 3.C【解析】设圆台的下底面半径为R(R>0), 吾∈（管，），所以当2c+-经，即c 因为圆台的上底面半径为1，母线长为4，表面 积为26π，所以由圆台的表面积公式得π(12+ 受：B=时，6-45m(2c+)取得最大 R2+1×4+R×4)=26π，解得R=3,故圆台 值6+4√3，即BA·BC的最大值为6+4√3. 的高为√42-(3-1)2=2√3. 7.C【解析】设O为坐标原点，点G(xo,yo),其 4.A【解析】因为{am}的前5项和为45，所以 中，x0<0,y0>0,F1(-c,0),F2(c,0),由几 5a3=45,a3=9.又a4=13,则公差d=a4 ,故 a3=4,所以a1o=a4+6d=37. 何关系得云=-，为=+1z) c’b c 2 5.B【解析】因为f(x)=2sin(2x+p)十 2c-21zo c+xo cos2x(lg<2)是奇函数，所以f(0) ,解得x0=一 3’y0= 2sin9+1=0,解得9=-合当9=-君时， 即c(-台，曾)，代人C的方程得 2b a =1放写-1+解得=压。 462 fx)=5sin2x,为奇函数，所以f(） 8.D【解析】f'(x)=3x2十2ax+1,若f(x)有 两个极值点，则△=4a2一12>0，x1十x2 6.B【解析】设△ABC的内角A,B,C的对 台<01：=号因为分别为1) 边分别为a,b,c,则由正弦定理a sin A 的极大值点和极小值点，所以x1<x2<0,所 sin Bsin C=4,得a=25,c=4sinC,且 b 以>x1>0,即>3，可得<- 3 B+C=,所以B所·BC=eccos B= 由4=号得4=证所以货-证因为 1 。1 ·数学· 参考答案及解析 f(x)在区间（一3，-1）上单调，所以当-1≤ 3a 3b h b,0),P(a,b,h),E(a,0,0),F(2,2,2 <-时，<1，放写≤ 2<1当 则EF2=a2+9b2h2 4+4+4 =5,DF2= 9a2,b2 4+4 1 x1≤-3时，x2=3c 1>-1,故此时0< 91 4-=5.因为EF=DP,所以a=b,故四边形 3≤动除上，要的取位范阻是(0，动]U 1 ABCD是正方形.又DE2=a2+4b2=5,所以 [哈 a=b=1,h=√10，所以四棱锥P-ABCD的 二、选择题 体积为号×4XV而-4，放D正确， 9.BC【解析】样本数据的极差为10一5=5，故 A错误；将样本数据按从小到大的顺序排列， 第3项和第4项的数据分别为6,7，则样本数 据的中位数为6十？=6.5，故B正确；样本数据 2 的平均数为日×(6+8+5+6+7+10)=7，故 B C正确；样本数据的方差为6×[(6-7)+(8- 11.AB【解析】因为PF+QF+RF=0,所以F 7)2+(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(10 为△PQR的重心，则S△PrQ=S△PFR= 7门-号，故D维误 Sa,放21PF1·QFsn∠PFQ 1 10.ACD【解析】如图，连接AC,交BD于点 lPFI·RFI sin∠PFR,所以/QF O,连接OF,OP.因为底面ABCD是矩形，所 RFI 以O为AC,BD的中点，故由三角形的中位 n2PPQ放A正确：设P(1),Q(x, sin∠PFR 线定理可知OF∥PA.因为OFC平面BDF, y2),R(x3,y3),因为F(1,0),所以x1十x2十 PA丈平面BDF,所以PA∥平面BDF,故 A正确；因为点P在底面ABCD上的射影恰 x3=3,y1十y2+y3=0,且由抛物线的定义可 知|PF|=x1+1,|QF|=x2+1,RF|= 为BD的中点O,所以点F在底面ABCD上 x3+1,所以|PF+|QF+|RF|=6,故 的射影为OC的中点（记为点H),连接FH, B正确；若△PQR是等边三角形，则|PF|= EH,则FH⊥BD.若AF⊥BD,则BD⊥平 面AFH,所以BD⊥AC,当且仅当四边形 |QF|=|RF1,由上可知x1+1=x2+1= ABCD是正方形时成立，故B错误；易知当 x3十1，当且仅当x1=x2=x3时成立，但此时 P,Q,R中必有两点重合，不符合题意，故 AB=√2BC时，DE⊥AC,因为PO⊥底面 C错误；若△PQR是直角三角形，不妨设 ABCD,所以PO⊥DE.又AC,POC平面 PAC,所以DE⊥平面PAC,所以DE⊥PC, ∠QPR=90,则y-y1.y3-y=-1, x2一x1x3一1 故C正确；以A为坐标原点，AB,AD所在的 即(y2+y1)(y3+y1)=y2y3=-16,所以 直线分别为x轴、y轴，过点A且垂直于底面 ABCD的直线为之轴，建立空间直角坐标系. y216 y2,y1=一y2—y3=y3，x2 y3 设AB=2a,AD=2b,PO=h,则A(0,0,0), 4明x=,、 y3_64 B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),O(a, =4,yi=（y2十+y3)2=4x1= ·2· ·数学· ·河南专版· 43》即2i15-0因为 四、解答题 15.(1)证明：法一：连接BC1,交CB1于点G,连 △<0，所以上述方程无解，则不存在△PQR 接A1G,FG,如图 是直角三角形的情况，故D错误。 因为四边形CBB1C1是矩形， 三、填空题 所以G是CB1的中点. 12.2√2【解析】当x>1时，x-1>0,则 又F是BC的中点， x2-2x+3(x-1)2+2 =x-1+ 2 所以FPG/BB,且FG=专BB. (1分) x-1 x-1 2√-D·名=22，当且仅当x-1 又AE∥BB1,且A1E= 2BB1, 所以A1E∥FG,且A1E=FG, 2 ，即x=2+1时，等号成立，故 所以四边形A1EFG是平行四边形， x2一2x+3的最小值为2区. 所以A1G∥EF, (3分) x-1 又EF中平面A1B1C,A1GC平面A1B1C, 13.12【解析】因为a,b为正数，所以log2(ab)= 所以EF∥平面A,B,C. (5分) logza log2b log232 =5.log2a 6 1og64=6log2=iog,b,则1oga·logb=6, 所以log2a=2,log2b=3或log2a=3,log2b= G 2,解得a=4,b=8或a=8,b=4,故a+ b=12. 14.721【解析】因为3B=A+C,A+B+ 法二：如图，连接C1E,交A1C于点M,连接 C=,所以B=子，A+C=,2A-B CF,交CB1于点N,连接MN. 因为E为AA1的中点，且AA1∥CC1, A+C十A-C-B=A-C+2,所以 所以会-22 sin(2A-B)=sin(A-C+)=cos(A- 又F为BC的中点，且BC∥B,C1, C)=cos Acos C+sin Asin C= 2.又 所以9N月0-2 3 CM CN cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C= 所 EM-FN,则EF∥MN. (3分) 3π√2 cos 4=-2,故sin Asin C=72 12,cos Acos C= 因为MNC平面A1B,C,EF中平面AB,C, 所以EF∥平面A1B,C. (5分) 所以tan Atan C=sin Asin C cos Acos C=7.因为 2 AC=6,所以由正弦定理得 BC AB sin A sin C sin B6,BC-6/2 sin A,AB- AC M 6ZsnC,所以Sa=2AB·BC·s血B= 36sin Asin Bsin C=21. ·3· ·数学· 参考答案及解析 (2)解：如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC 则x1十x2= 42 2k2-2 的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建 1十2k2x1x2=1+2k2, 立空间直角坐标系. 所以y1+y2=(x1+1)+k(x2+1) 不妨设CA=CB=CC1=2,则C(0,0,0), 4k 2k A1(2,0,2),B1(0,2,2),E(2,0,1),F(0,1,0), x1+,)+2k=k(-1十20)+21十26 所以CA1=(2,0,2),CB1=(0,2,2),C2 (6分) (2,0,1),CF=(0,1,0). (8分) 则线段PQ的垂直平分线的方程为y= 设平面A1B1C的法向量为m=(x1,y1,之1)， 2 1CA1·m=0,2x1+2z1=0, 则 即 即y=- (+2)十1+2 2k2 CB·m=0,2y1+2x1=0. (8分) 令x1=1,得y1=1,之1=-1，则m=(1,1,-1). 若|BP|=|BQ|,则线段PQ的垂直平分线 设平面EFC的法向量为n=(x2,y2,z2), CE·n=0,n2x2十z2=0, 过点B(0） 则 ”即 求.n=0,1y2=0. 1 12k2 所以一 3=一·1+2+1+2k2 令x2=1,得y2=0,22=一2，则n=(1,0,-2). 化简整理得2k2一3k+1=0, (10分) 设平面A1B1C与平面EFC的夹角为0， 解得k=2或=1. (10分) 斯o9-贤设石及有 3=√15 5，(12分) 当k= 2时，因为x1十x=-名 3x1x2=-1, 所以平面A1B,C与平面EFC夹角的余弦值 为 5· (13分) 所以1PQ=+1x1一x=52, 3； (12分) 16.解：(1)由C的焦点F(-1,0)可知C的半焦 距c=1, (1分) 当b=1时，因为x1十x2=-3,x1x=0, 因为C的离心率为)， 所以PQ=+1,一，=4 3 所以=2 ,则a=2. (2分) (14分) 又a2=b2十c2,所以b2=1, (3分) 综上，PQ的值为5或4号 3 (15分) 故C的方程为+y°-1 (4分) 17.解：(1)设事件A:(i=1,2,3,4,5)表示甲队第 (2)设直线PQ的方程为y=k(x十1)(k≠ i局获胜， 0),P(x1y1),Q(x2y2). 则前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为 [x2 由2+)=1，得1十2)x+场z十 PAP(A,)+Pa)PA:)=号×号+ y=k(x+1), 1、24 2k2-2=0, 3×3=9 (3分) ·4· ·数学· ·河南专版· (2)设事件B为甲获得本场比赛的胜利， (2)证明：因为am十bn=2,且am+1一bn= 则pA,B)=()+G×号××()+ (-1)” n(n+1)(n+2)' c×号×（日'×）-9 (5分) 所以an十ant1=2 (-1)” n(n+1)(n+2)=2+ PB)=()'+×(××号 +C× 《”(品-1”（日 ()××号- (7分) 故P(A3B) P(AsB)3 P(B) 4 (9分) 所ue-+(-】 (3)根据题意得X的所有可能取值为3,4,5， 其中P(X=3)-()'+()'-号 -a.-+”(店} (11分) 又a-1-×1-2】=o, pX=0=cx(3)'x号×号+c×号× 断以a-+(日-】-o, (12分) 所以a=1+(日中 p(X=)=C×(3)×()'×号+C× .=1”(日+) (10分) ()广×()xg-8 (13分) 当i=1,2,…,m时，不妨设满足a:>1>b 的情况共有(k∈N*)个，满足a,<1<b:的 则X的分布列为 情况共有m一k个.记{an}中大于1的项为 3 4 5 a1,a'2,…,ag,{bn}中大于1的项为bk+1 1 10 8 3 27 27 b+2,…,bm,它们恰为cm+1,Cm+2,…,C2m中 的项记{an}中小于1的项为a+1,a《+2,…, (14分) am,{bn}中小于1的项为b,b2,…,bk,它们 所以E(X)=3X 1 107 恰为c1,c2,…,cm中的项，其中a:十b:=2, (15分) 所以c-2c:-2a-)+三6 18.(1)解：因为am十bm=2,且am+1十2bn=5, (14分) 所以am+1十2bn-2(am十bn)=5-4=1, a1)-Sla.-b.l 即am+1-2am=1, 又由上可知a,-bn= nn+1' (15分) 所以am+1+1=2(an+1). (4分) 又a1=1,所以数列{am+1}是首项为2，公比 所以，总c一含c:=含(}-)-1- 为2的等比数列， (5分) 所以an+1=2×2-1=2”, 故an=2”-1. (7分) (17分) ·5· ·数学· 参考答案及解析 19.(1)解：x=0不是f(x)的极值点，理由如下： (1分) 故g(x)的极小值为g(1)=n2无极大值. (10分) 若a=2则f(x)=e+x-2, 1 (3)证明：当x>0时，(x)-f(x) 2 eax十 所以f'(x)=-ex+1-x. (2分) ax 令h(x)=-ex+1-x,则h'(x)=ex-1. In x-e-z -1+ax =2e-In(ax)-ax+In x- 工 当x<0时，h'(x)>0,f'(x)单调递增； e-In*-#-1+ax. (12分) 当x>0时，h'(x)<0,f'(x)单调递减， 因为函数y=一lnx一x在定义域上单调递 (4分) 减，函数y=e在定义域上单调递增，且当 所以f'(x)≤f'(0)=0,f(x)在R上单调 0<a<1时，0<ax<x, 递减， 所以-ln(ax)-a.x>-lnx-x,且e-ln(ax)-ar> 所以x=0不是f(x)的极值点 (5分) e-lnz-x, 2解：若a=1h2,则g)2(位) 所以5x）-fx)ekam-ar+lnc-1十ax. xlnx, (14分) 1 所以g'(x)=lnx+1- (7分) 由(1)可知f'(x)≤0，即ex≥-x+1, 因为g'(x)在区间(0，十∞)上单调递增，且 所以eax)-ar+lnx-1+ax≥-ln(ax) g′(1)=0， ax+1+In x-1+ax=In x-In(ax). 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调 (16分) 递减； 又函数y=lnx在定义域上单调递增，且当 当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调 0<a<1时，0<ax<x, 递增， 所以lnx>ln(ax). 所以x=1是g(x)的极小值点， (9分) 综上，当x>0时，f(x)<g(x). (17分) ·6姓名 准考证号 绝密★启用前 高三数学（三）》 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名，准考 证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上， 然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案 写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={xx2-2x-3<0},N=(y∈Zy=sinx},则MUN= A.{0,1》 B.{-1,0,1,2}C.[-1,3) D.(-1,1] 2.已知z=2-i,则 z+i -1 A.2 B.-2i C.2-2i D.√2+2i 3,已知圆台的上底面半径为1，母线长为4，表面积为26π，则该圆台的高为 A,3 B.√10 C.23 D.25 4,已知等差数列{an}的前5项和为45，且a4=13,则ao= A,37 B.38 C.41 D.43 5,若函数fx)=2sin(2x十9)+c0s2x(p<2)是奇函数，则f(）- A.-/3 2 c D4+ 数学试题（三）第1页（共6页） 6.已知△ABC的外接圆半径为2，若A=行，则B队，BC的最大值为 A.5+65 B.6+4√5 C.7+3/3 D.4+73 天已知双曲线C后-兰-1o>06>0的左右然点分别为F,R,点B0b 线段BF,交C于点G,且直线GF,在y轴上的，距为名，则C的离心率为 A.5 B.11 C./13 D.√/15 8.已知函数f(x)=x3十a.x2十x+1(a>0),若x1,x2分别为f(x)的极大值 点和极小值点，且f(x)在区间（一3，-1）上单调，则的取值范围是 (. B.(.5) c.o) D.(0,21U[3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.有一组样本数据6,8,5,6,7,10，则这组数据的 A.极差为4 B.中位数为6.5 C.平均数为7 D.方差为3.5 10.已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，且点P在底面ABCD上的射影恰为 BD的中点，E,F分别为AB,PC的中点，则 A,PA∥平面BDF B,AF⊥BD C,当AB=2BC时，DE⊥PC D,当△DEF是边长为5的等边三角形时，四棱锥P-ABCD的体积 酒 数学试题（三）第2页（共6页） 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,△PQR的所有顶点均在C上，且P庐+ Q正+R京=0，则 IQFI sin∠PFR A.RF sin∠PFQ B.IPFI+IQFI+RFI为定值 C.△PQR可能是等边三角形 D.△PQR可能是直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设x>1,则2x+3的最小值为 x-1 13.设a,b为正数，若ab=32,且1og2a=log664,则a+b= 1在△ABc中，3B=A+Cn2A-B)-2号AC=-6则mAmC= △ABC的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E,F分别为AA1,BC的中点. (1)证明：EF∥平面A1B1C; (2)若∠ACB=90°，AC=BC=CC1,求平面A1B1C与平面EFC夹角的 余弦值 B 数学试题（三）第3页（共6页） 16.(15分) 已知椭调C号+兰-1ob>0》的左焦点为P(-1,0高6率为号 (1)求C的方程： (2)设点B(0,一3)，过点F且不与坐标轴垂直的直线交C于P,Q两点， 且BP|=|BQ1,求|PQ1. 17.(15分) 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的 概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立。 (1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； (2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； (3)记比赛结束时所进行的局数为X,求X的分布列及数学期望. 数学试题（三）第4页（共6页） 18.(17分) 已知数列{an},{b.}满足a.+b.=2. (1)若a1=1,且am+1+2b.=5,求{a.}的通项公式： 3 (-1) (2)若a=a+1-b.-nn十1Dn+2设m∈N,数列c16cm 为a1,a2,…,am与b1,b2,…,bn的所有项按从小到大的顺序排列所得到的数 列，证明：兰c-2c,<1 数学试题（三）第5页（共6页） 19.(17分) 设0<a<1,函数fr)=e+工-ar,gr)=2e“+xln. (1若a=号，判断x=0是否为f(x)的极值点，并说明理由： (2)若a=ln2,求g(x)的极值： (3)若x>0,证明：f(x)<g(x). 数学试题（三】第6页（共6页）