2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末复习

**基本信息** 2025-2026学年北师大版数学八年级下学期期末复习卷，涵盖几何与代数核心内容，通过基础题与综合题梯度设计，考查抽象能力、推理能力及空间观念，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|中心对称、分式值为0、全等三角形判定、规律探究|第10题结合坐标系与规律探究，培养创新意识| |填空题|5题|函数自变量取值、三角形中位线、一次函数与不等式|第15题以等边三角形为背景，考查平行四边形动态最值，体现空间观念| |解答题|7题|因式分解、旋转作图、等腰直角三角形综合、一次函数与几何|第19题融合全等证明与中位线性质，第21题探究平行四边形存在性，突出推理能力与应用意识|

2025-2026学年北师大版数学八年级下学期期末复习 一、单选题 1．下面四个图标中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．实数的倒数是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如果分式的值为0，那么的值为（　　） A． B． C．或 D．3或0 5．下列各式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（      ） A． B． C． D． 7．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知由平移后得到，则边对应的边为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在▱ABCD中，AD＝6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 11．函数中，自变量的取值范围是_____． 12．如图，在中，、分别为，的中点，若，则的长为_________． 13．如图，一次函数的图象经过点P，则关于x的不等式的解集为________． 14．若（，为有理数），那么______，______． 15．如题图，为等边三角形，，分别是，边上的点，且，，是边上的一动点，以，，为顶点，为对角线构造平行四边形，则的最小值为______． 三、解答题 16．因式分解： (1)； (2)； 17．解不等式（组）： (1)解不等式：； (2)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．如题图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点旋转后得到的； (2)求证：与互相垂直平分． 19．如图1，已知是等腰直角三角形，，点，是三角形外的两点，分别连接，，，，其中，． (1)求证：； (2)如图2，交于点，连接，是的中点，分别连接，．若求与的数量关系． 20．如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． (1)证明：与互相平分； (2)如果，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 (1)求直线AB的表达式； (2)在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形； (3)是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如1图，在等边三角形中，是边上的高，为线段上一动点（点不与点重合），以为边在的下方作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如2图，为直线上两点，且的周长为16，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年北师大版数学八年级下学期期末复习》参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了倒数的定义，根据“两数之积等于1，则称这两个数互为倒数”，得出答案即可，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变． 【详解】解：A、不等式两边不是同时减去相同数，不能比较大小，故这个选项不符合题意； B、不等式两边同时除以，则，故这个选项不符合题意； C、不等式两边同时乘以再加，则，故这个选项符合题意； D、当时，，故这个选项不符合题意； 故选C． 4．B 【分析】根据分式的值为零、分式有意义的条件求解即可得． 【详解】由分式的分母不能为0得： 解得 由题意得： 整理得： 解得或（舍去） 综上， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值为零、分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键． 5．D 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A 中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误； B 中不是整式，故B错误； C 是整式乘法，故C错误； D 故D正确． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 将不等式①②的解来表示在同一条数轴上， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：依题意，在和中，， ∴ 故选：A． 8．D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质可得边对应的边为. 【详解】解：由平移的性质可得边对应的边为， 故选：D． 9．B 【分析】根据平行四边形的性质可得BC长，再利用三角形中位线性质可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=6， ∵点E，F分别是BD，CD的中点， ∴EF=BC=3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中位线性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 10．D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， 解得：， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 以此类推可得，点的坐标为 ∴点的坐标为， 故选：D． 11． 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12． 【分析】本题考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理． 根据三角形的中位线定理计算即可． 【详解】解：∵在中，、分别为，的中点， ∴为的中位线，对应第三边为， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 13． 【分析】根据过点，利用数形结合思想解答即可，本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据过点， ∵， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：；． 15． 【分析】作交于点，证明四边形是平行四边形，推出 ，得到，点在直线上, 当 时， 即有最小值，据此计算即可求解． 【详解】解：作交于点，连接，， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， 当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高， 作于点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法，准确计算． （1）用平方差公式分解因式即可． （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：   ； （2）解： ． 17．(1)； (2)，数轴见解析． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】（1）去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解不等式①，得． 解不等式②，得． 不等式组的解集在数轴上表示如图所示． 不等式组的解集为． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出点、、的对应点，顺次连接即可得答案； （2）根据旋转的性质得出与均经过点，且均被点平分，利用勾股定理逆定理得出即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）如图，为所作： （2）∵绕着点旋转得到， ∴与均经过点，且均被点平分， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴与互相垂直平分． 【点睛】本题考查坐标与图形、作旋转图形、勾股定理及勾股定理逆定理及线段垂直平分线判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得出，结合已知条件可得出，结合已知条件利用即可证明． （2）连接，设交于点，利用全等三角形的性质可得出，对顶角相等可得出，根据三角形内角和定理可得出，结合已知条件利用三腰三角形三线合一的性质可得出，利用垂直平分线的性质可得出，再证明是的中位线．即可得出，等量代换可得出． 【详解】（1）证明：， ． ，， ． 是等腰直角三角形， ． 在与中， （2）如图，连接，设交于点， 由（1）得， ． ， ． ， ． 垂直平分． ． ， 点是的中点． 又点是的中点， 是的中位线． ． ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定以及性质，垂直平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键． 20．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查勾股定理及三角形中位线定理和平行四边形的判断与性质． （1）根据题意利用三角形中位线定理：三角形得中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即，且，平行且相等，根据平行四边形的判定即可得出证明． （2）由（1）可知为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，及勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：在中，， ， ∵， ∴， 在中， ． 21．(1)直线解析式为． (2)或，或，． (3)，，或，，或 ，，． 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）①当时，②当或时，画出图形即可解决问题． （3）存在．分两种情形讨论即可．①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，分别求出、坐标即可． 【详解】（1） 设直线解析式为，把点，，代入得 ， 解得， 直线解析式为． （2） 如图1中， ①当时，点坐标． ②当或时， ， 点，，，， 综上所述，当是以线段为腰的等腰三角形时，点坐标为或，或，． （3） 如图2中，存在． ①当为平行四边形的边时，，，或，，． ②当为平行四边形的对角线时，，，． 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题，属于中考常考题型． 22．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）可利用证明，则可证明． （2）过点作于点，由三线合一定理可得，则由全等三角形的性质可得，则，由三线合一定理可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ． ，即． ． ． （2）解：如图，过点作于点． 为等边三角形，为边上的高， ， ， ， ， ∵的周长为16， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $