精品解析：重庆市渝中区 巴蜀中学校2026年中考第三阶段测试数学试题

初三数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 践行绿色低碳，全民携手护环境，下面环保标识里，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种西瓜的甜度情况 B. 调查某种灯泡的合格率 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班同学的视力情况 4. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第6个图形需要的小棒数量为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为对角线上一点，满足，过点作，交于点，连接交于点，为边中点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中为正整数，为自然数，，，…，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，单项式共有个； ②当时，满足条件的所有整式和为； ③存在两个自然数，使满足条件的整式有且仅有个； ④满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有个红球和个白球，这个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，则摸出红球的概率是________． 12. 如图是一种日常通用吸管杯的截面简易图示，已知杯口与杯底平行，若，则的度数为________． 13. 满足的整数是________． 14. 若实数，同时满足，，则________． 15. 如图，矩形的边与相切于点为，在上且交于点，连接交于点，连接，．若，，且，则的半径长度为________，的长度为________． 16. 四位自然数的各数位数字均不为零，若它的各数位数字的平方和能被百位数字整除，则称为“圆满数”．例如，，所以是“圆满数”；再如，不是整数，所以不是“圆满数”．将“圆满数”的千位数字与百位数字组成的两位数记为，十位数字与个位数字组成的两位数记为，令．已知为“圆满数”，则________；已知四位数（，，，且，，为整数）是“圆满数”，且能被整除，求满足条件的的最大值与最小值的和为________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以，原不等式组的解集为 ． 18. 如图，在中，，点为边的中点． （1）用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 19. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，激发学生对传统节日的探索热情，旭辉中学在七年级和八年级开展了“传统文化知识竞赛”，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为4组：组．；组．；组．；组．，下面给出了部分信息： 七年级25名学生竞赛成绩在组中的数据是：89，83，84，86，88，85，87，89． 八年级25名学生竞赛成绩数据是：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，80，78，77，75，71，68． 七、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请根据上述信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ；并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有名学生、八年级有名学生，请你估计该校七、八年级参加此次传统文化知识竞赛成绩达到优秀（）的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 露营是当下非常流行的休闲方式，“栖野”露营用品店为促销，向某工厂定制了一批露营套装作为赠品，每套套装由个露营灯和个挂饰配套组成．已知工厂里一名工人每天可生产个露营灯或者个挂饰． （1）工厂现安排名工人分工生产露营灯和挂饰，要使每天生产的露营灯和挂饰恰好全部配套，应安排多少名工人生产露营灯？ （2）该店月份投入了元定制露营套装，月份每套露营套装的成本比月份提高了元，月投入资金比月多元，且定制的露营套装的数量是月的，求月份每套露营套装的成本是多少元？ 22. 如图，长方形中，，，对角线，交于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时以每秒个单位长度的速度向右平移得到，与交于点，当点到达点时，和点都停止运动．设的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 某大型游乐场五一期间为了制造梦幻色彩，吸引更多的年轻人游玩，在每天下午:开始进行的花车表演中加入了放“烟雾泡泡”的表演．游乐场的平面布局如图所示，点为过山车，点为激流勇进，点为飞跃地平线，点为海盗船，点位于点的正北方向米处，且在点的北偏东方向，点位于点的西北方向，点位于点的南偏东方向米处． （参考数据：，，） （1）求点和点之间的距离（结果保留根号）； （2）花车甲从点出发，沿着方向行进，当它到达点时，花车乙从点出发，沿着方向行进．已知花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为，当两车之间的直线距离恰好等于花车甲离点的距离时，两车会同时表演“烟雾泡泡”．求此时花车乙离点的距离（结果保留整数）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，点，分别为抛物线对称轴，轴上的两个动点，且轴，连接，，，，当的面积取最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是轴正半轴上的动点，连接，点关于的对称点为，连接，所在直线交新抛物线于点，连接，所在直线交直线于点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，，若，求的度数； （2）如图，，过点作交的延长线于点，在边上取点，连接，若，求证：； （3）如图，，，若射线交的延长线于点，当取得最大值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知． 【详解】解：3的倒数是， 故选：C 【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 践行绿色低碳，全民携手护环境，下面环保标识里，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】选项A、B、C的图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以都不是轴对称图形． 选项D沿着中间竖直直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种西瓜的甜度情况 B. 调查某种灯泡的合格率 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班同学的视力情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的特点：适合调查范围小，无破坏性，易操作的调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选择普查还是抽样调查，需要根据调查范围，是否具有破坏性判断， A、调查西瓜甜度具有破坏性，且调查数量大，适合抽样调查； B、调查灯泡合格率具有破坏性，适合抽样调查； C、调查某市垃圾分类情况，调查范围大，适合抽样调查； D、调查全班同学视力情况，范围小，易操作，适合普查． 4. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；反比例函数图象的分布取决于系数的符号，当系数小于0时，图象在第二、四象限. 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ， 故选：A. 5. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角等于，求出，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求得的度数． 【详解】解：∵是的直径，  ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角  ∴． 6. 如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第6个图形需要的小棒数量为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据图形的变化探索规律．观察图案发现，从第二个图案开始，每个图案比上一个图案增加了2根小棒，结合第一个图案有3根小棒，即可探索得出第6个图案中小棒的数量． 【详解】解：第①个图案有3根小棒， 第②个图案有根小棒， 第③个图案有根小棒， …… 第⑥个图案有根小棒． 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先按的幂次判断量级，再对同幂次的数比较系数，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 正数乘较小量级的结果更小，排除指数为的A和C； 对于和， ∵ ，给不等式两边同乘以正数，不等号方向不变， ∴ ， 因此四个数中最小的是． 8. 高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该条高铁线上的城市总数为，根据车票印制规则列出一元二次方程，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设该条高铁线上的城市总数为（为正整数）.， 每两个城市之间需印制种不同的往返火车票，总共有种不同火车票， 根据题意可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 城市个数为正整数，需舍去负根， ，即该条高铁线上的城市总数为． 9. 如图，在正方形中，为对角线上一点，满足，过点作，交于点，连接交于点，为边中点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形边长为 ，通过作辅助线构造相似三角形，求出 为中点，再利用，求出点位置，最后构造直角三角形利用勾股定理计算 与的比值． 【详解】解：设正方形边长为，过点作 于 ，于， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴, ∵， ∴， ∵ 于 ，于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ 于 ，于， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴N为中点， 延长交 的延长线于点 ，  ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作 于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， 在 中， ， ∴． 10. 已知整式：，其中为正整数，为自然数，，，…，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，单项式共有个； ②当时，满足条件的所有整式和为； ③存在两个自然数，使满足条件的整式有且仅有个； ④满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式、单项式、多项式的相关概念，结合已知条件对分类讨论，分别计算各说法的正误． 【详解】解：根据题意，为正整数，为自然数，为整数，满足 ，对分类讨论： 当： ，且为正整数，故，共个整式； 当： ，，为正整数： ，，则或，有个整式； ，，则或，有个整式； ，，则或，有个整式； ，，则，有个整式， 综上，共个整式； 当： ，，为正整数： ，可得 ，取时，，有个整式，取时，，有个整式，取时，，有个整式，总计个整式， ，可得，取时，，有个整式，取时，，有个整式，取时，，有个整式，总计个整式； ，可得，，，有个整式； 综上，共个整式； 当： ，，为正整数： ， ，取时，，，有个整式，取时，，，有个整式，取时，，，有个整式，总计个整式； ， ，，有个整式； 综上，共个整式； 当： ，即 ，由是正整数，可知，只有个整式； 当： ，即 ，可知 ，不满足是正整数的条件，舍去． 单项式只有一个非零项，即所有低于次的系数都为，满足条件的单项式为：，，，，，共个，故①错误； 时，所有整式相加，，正负抵消，总和为，故②错误； 和都满足整式个数为，存在两个自然数，③正确； 二次三项式要求，，都不为，故只能，，，共个二次三项式，其中只有，的都小于且函数图象开口向上，故恒非负的只有个，④错误； 综上，正确的个数为． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有个红球和个白球，这个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，则摸出红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用红球数量除以总球数即可得到结果． 【详解】解：袋子中总球数为，红球有个， 因此摸出红球的概率为． 12. 如图是一种日常通用吸管杯的截面简易图示，已知杯口与杯底平行，若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】利用平角求出，再根据两直线平行内错角相等，求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 13. 满足的整数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算不等式左右两边无理数的取值范围，再根据范围找出符合条件的整数． 【详解】解：， ， ， 又， ，即， ， ，即， 为整数， ． 14. 若实数，同时满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方的性质求出的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的值，最后代入原方程求出，计算即可． 【详解】解： ， 是算术平方根， ，即， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，代入 得 ， 两边平方得 ， 解得， ． 15. 如图，矩形的边与相切于点为，在上且交于点，连接交于点，连接，．若，，且，则的半径长度为________，的长度为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，连接并延长交于点，利用矩形性质和勾股定理求出半径；利用勾股定理逆定理判定为等腰直角三角形，推导，过点作，交于点，交于点P，作于点，则，证明可求出，最后在中利用勾股定理求 【详解】解：连接，，连接并延长交于点，   四边形是矩形 ， ，， ． 切于点，  ，  ，  四边形是矩形 ， ，．   设的半径为，则 ，，   在中， 即 ， 解得， 的半径长度为；    ， ，  ， 是等腰直角三角形，． ， ． 过点作，交于点，交于点P，作于点，则， 四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，．，， ， 即， 解得． ∵四边形是矩形， ， ， 在中，． 16. 四位自然数的各数位数字均不为零，若它的各数位数字的平方和能被百位数字整除，则称为“圆满数”．例如，，所以是“圆满数”；再如，不是整数，所以不是“圆满数”．将“圆满数”的千位数字与百位数字组成的两位数记为，十位数字与个位数字组成的两位数记为，令．已知为“圆满数”，则________；已知四位数（，，，且，，为整数）是“圆满数”，且能被整除，求满足条件的的最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问根据“圆满数”的定义，列出各数位平方和，结合整除性质求出，第二问先根据定义得到“圆满数”满足的条件，再得到满足的整除条件，结合的取值范围，求出满足条件的的最大值和最小值，再计算它们的和． 【详解】解：的各数位为，，，，各数位均不为零，且为整数， 由“圆满数”定义得：为整数， 因此能被整除， 又为到的整数， 故. 四位数 ， 各数位为千位，百位，十位，个位，，，，均为整数，各数位均不为零； 各数位上的数的平方和为： ， 由“圆满数”定义得：是整数， 又，， 故， 则 该式能被整除， 求的最大值， 优先让取最大值，，再让取最大值，： 则是整数， ∴必为整数， ∵， ∴或， 当时，，不能被7整除，此情况不合题意； 当时， ，不能被7整除，此情况不合题意； 让取最大值，，再让取： 则是整数， ∴必为整数， ∵， ∴， 当时 此时，，不能被7整除，此情况不合题意； 当时 此时，，不能被7整除，此情况不合题意； 当时 此时，，能被7整除，此情况符合题意； ∴的最大值为； 求的最小值， 优先让取最小值，，再让取最小值，： 则是整数， ∴必为整数， ∵， ∴ 当时，，不能被7整除，此情况不符合题意； 当时，，不能被7整除，此情况不符合题意； 当时，，不能被7整除，此情况不符合题意； 当时，，不能被7整除，此情况不符合题意； 当时，，能被7整除，此情况符合题意； 所以，最小取7， 此时，的最小值为 ； 故满足条件的的最大值与最小值的和为 ． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以，原不等式组的解集为 ． 【答案】，，， 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， 将不等式①和②的解集在数轴上表示略 故原不等式组的解集为． 18. 如图，在中，，点为边的中点． （1）用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 【答案】（1） （2）； ； 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，解答即可；用圆规采用画弧法截取即可； （2）根据角的平分线定义，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ，， ， ∴， ； 为的中点， ∴， ． 在与中， ， ． ． ． 19. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，激发学生对传统节日的探索热情，旭辉中学在七年级和八年级开展了“传统文化知识竞赛”，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为4组：组．；组．；组．；组．，下面给出了部分信息： 七年级25名学生竞赛成绩在组中的数据是：89，83，84，86，88，85，87，89． 八年级25名学生竞赛成绩数据是：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，80，78，77，75，71，68． 七、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请根据上述信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ；并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有名学生、八年级有名学生，请你估计该校七、八年级参加此次传统文化知识竞赛成绩达到优秀（）的学生人数共是多少？ 【答案】（1）88，84，16， （2）见解析 （3）784人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，百分比的计算公式解答即可； （2）利用中位数，众数作出决策，求解即可； （3）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：根据数据：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，80，78，77，75，71，68． 得88出现次数最多，3次， 故八年级25名学生竞赛成绩的众数为分； 根据题意，得七年级25名学生竞赛成绩在组的人数为：（人） 中位数是第13个数据，C，D两组的人数为11人， 故中位数落在B组， 七年级25名学生竞赛成绩在组中的数据是：89，83，84，86，88，85，87，89． 从小到大重新排序为：， 故中位数分； 根据题意，得 ， 故； 【小问2详解】 解：八年级学生的竞赛成绩更优秀； 在这两个年级中，因为八年级成绩的中位数更大些． 【小问3详解】 解：（名）． 答：该校七、八年级参加此次传统文化知识竞赛成绩达到优秀（）的学生共有784人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先结合整式乘法、分式的混合运算法则化简原式，再根据负整数指数幂和二次根式的运算法则求出x的值，最后代入x的值计算结果即可． 【详解】解： ， 则原式． 21. 列方程解下列问题： 露营是当下非常流行的休闲方式，“栖野”露营用品店为促销，向某工厂定制了一批露营套装作为赠品，每套套装由个露营灯和个挂饰配套组成．已知工厂里一名工人每天可生产个露营灯或者个挂饰． （1）工厂现安排名工人分工生产露营灯和挂饰，要使每天生产的露营灯和挂饰恰好全部配套，应安排多少名工人生产露营灯？ （2）该店月份投入了元定制露营套装，月份每套露营套装的成本比月份提高了元，月投入资金比月多元，且定制的露营套装的数量是月的，求月份每套露营套装的成本是多少元？ 【答案】（1）应安排名工人生产露营灯 （2）月份每套露营套装的成本是元 【解析】 【分析】（1）根据“挂饰数量=露营灯数量”的配套关系，设生产露营灯的工人数为，用含的式子表示出露营灯和挂饰的总数，列一元一次方程求解； （2）根据“月定制数量=月定制数量”的数量关系，设月每套成本为元，用含的分式表示两个月的定制数量，列分式方程求解，最后检验分母不为，确认解有效． 【小问1详解】 解：设安排名工人生产露营灯，则名工人生产挂饰， 根据题意可得 ， 即 ， 解得， 故应安排名工人生产露营灯． 【小问2详解】 解：设月份每套露营套装的成本是元，则月份每套露营套装的成本是元， 根据题意可得， 即， ， 解得， 当，，故是原方程的解， 故月份每套露营套装的成本是元． 22. 如图，长方形中，，，对角线，交于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时以每秒个单位长度的速度向右平移得到，与交于点，当点到达点时，和点都停止运动．设的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）函数图象如图所示： 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，连接，，求解，当时，可得，进一步可得，当时，求解，可得，当时，如图，过作于，可得． （2）先列表，再描点画图，再总结函数的增减性即可． （3）根据一次函数图象在二次函数图象的上方可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过作于，连接，， ∵长方形中，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 从到的运动时间为，从到的运动时间为， 当时，， ∴， ∴的面积为， 当时，由平移可得：，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为， 的面积为， ∴， 当时，如图，过作于， 同理可得：， 此时， ∴的面积为， 综上：，． 【小问2详解】 解：画，列表如下： 画，列表如下： 描点连线可得函数图象． 函数性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：结合函数图象可得：时的取值范围为：． 23. 某大型游乐场五一期间为了制造梦幻色彩，吸引更多的年轻人游玩，在每天下午:开始进行的花车表演中加入了放“烟雾泡泡”的表演．游乐场的平面布局如图所示，点为过山车，点为激流勇进，点为飞跃地平线，点为海盗船，点位于点的正北方向米处，且在点的北偏东方向，点位于点的西北方向，点位于点的南偏东方向米处． （参考数据：，，） （1）求点和点之间的距离（结果保留根号）； （2）花车甲从点出发，沿着方向行进，当它到达点时，花车乙从点出发，沿着方向行进．已知花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为，当两车之间的直线距离恰好等于花车甲离点的距离时，两车会同时表演“烟雾泡泡”．求此时花车乙离点的距离（结果保留整数）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，点B的正北方向记作，根据三角函数的应用，等边三角形的判定和性质，求解即可； （2）用点M表示花车甲，点N表示花车乙，花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为，故路程之比等于速度之比，设花车甲距离点C的距离为米，则花车乙距离点A距离为米，根据特殊角的三角函数，勾股定理，解方程，求解即可； 【小问1详解】 解：过点A作于点E，点B的正北方向记作， 根据题意，得，，，米，， 是等边三角形，，， 米，， ，， ，， （米）， （米）； 【小问2详解】 解：用点M表示花车甲，点N表示花车乙，花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为， 故路程之比等于速度之比， 设花车甲距离点C的距离为米，则花车乙距离点A距离为米， ， 根据题意，得米， 过点N作于点T， ， 米，米， 米 根据勾股定理，得， 故， 整理，得 解得，（舍去）其3倍大于实际的长度， 故花车乙距离点A距离为 米， 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，点，分别为抛物线对称轴，轴上的两个动点，且轴，连接，，，，当的面积取最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是轴正半轴上的动点，连接，点关于的对称点为，连接，所在直线交新抛物线于点，连接，所在直线交直线于点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2），最小值 （3）或0 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线，过点作轴交于点，设，则，则，由，得到，再由二次函数的性质求解；可求，将点向右平移个单位得到点，则，作点关于轴的对称点，则，故，那么，因此当点三点共线时，的最小值为； （3）先求出平移后的，添加辅助线求解得到，再分两种求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：对于抛物线，当时，， ∴， 设直线 则， 解得， ∴直线， 过点作轴交于点， 设，则， 则， ∵， ∴ ； ∵， ∴抛物线开口向下， 而对称轴为直线，， ∴当时，最大， ∴； ∵点在抛物线的对称轴上，点在轴上，且轴，而抛物线的对称轴为直线， ∴， 将点向右平移个单位得到点， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，则， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的最小值为； 【小问3详解】 解：设点沿射线方向平移个单位长度的对应点为点，过点作轴于点，则，轴， ∵， ∴， 由轴，可得， ∴， ∴， ∴， ∴点向左平移3个单位，向下平移9个单位得到点， 而， ∴平移后的抛物线， 即， ∵， ∴由勾股定理得，， 延长至点，使得， ∴， ∵， ∴， 设，则， 而， ∵， ∴， 当点在轴上方时， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴此时点在轴上， ∵所在直线交新抛物线于点， ∴此时点在轴上， ∴点的横坐标为； 当点在轴下方时，过点作轴于点， ∵， ∴由折叠可得，， ∴， ∴ ， ∴，设 ， 则由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线 ， 则， 解得， ∴直线 ， 再与抛物线联立可得，， 整理得， ， 解得， 综上：所有符合条件的点的横坐标为或0． 25. 中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，，若，求的度数； （2）如图，，过点作交的延长线于点，在边上取点，连接，若，求证：； （3）如图，，，若射线交的延长线于点，当取得最大值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：延长，取点H，使，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质进行求解即可； （2）延长，取点H，使，证明，得出，，证明，得出，，再证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （3）证明，得出，设，则，得出，令，则，说明当时，t有最小值，即最大，根据折叠得出，，，说明点N到点D的距离为定值，点N在以点D为圆心，为半径的圆上运动，从而得出当点N在上时，最小，然后求出最小值即可． 【小问1详解】 解：∵线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ ， 根据解析（2）可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴当取最小值时，最大， ∵， ∴当时，t有最小值，即最大， ∴当时，最大， ∴此时， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得， ∴，，， ∴点N到点D的距离为定值， ∴点N在以点D为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点N在上时，最小，如图所示： 过点P作于点Q， 则， ∵此时 ， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设 ， ∵， ∴ ， ， ∵ ， ∴， 解得：， ∵，， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $