学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（天津专用，范围：人教A版）

**基本信息** 本卷聚焦选择性必修第三册与函数导数，融入春晚机器人舞蹈、新能源汽车调查等真实情境，通过分层设问考查数学建模、数据分析与逻辑推理能力，适配高二期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|排列组合、线性回归、函数性质|以湖南球员城市活动为背景考查排列应用，体现文化传承| |填空题|6/30|二项式定理、概率、导数|结合光刻机次品率计算考查条件概率，融入科技情境| |解答题|5/75|统计案例、概率分布、导数证明|新能源汽车销售回归分析（社会热点），导数极值点证明（逻辑推理与创新意识）|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册+函数导数。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．从5名湖南籍球员（甲、乙、丙、丁、戊）中选出4人分别参加在四个湖南城市（长沙、株洲、永州、衡阳）举行的足球巡回推广活动，每个城市安排1人参加，每人只参加一个城市的活动，已知甲、乙两人不去长沙，不同的安排方案共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．120种 3．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 0．5 0．9 1 1．1 1．5 A． B．x与y的样本是负相关 C．当时，y的预估值为2．2 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 4．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（    ） A．若离散型随机变量服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．随机变量满足，若，则 D．随机变量，若，则 7．已知函数在上是增函数，且满足．若，，．则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 11．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 12．函数若，则________． 13．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为．现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为．任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______． 14．已知函数．若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________． 15．已知函数当时，方程的解是________；若关于x的方程恰有三个实数解，则实数a的取值范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 17．（15分） 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关． (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中． 0．1 0．05 0．01 0．001 2．706 3．841 6．635 10．828 18．（15分） 莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 19．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 20．（16分） 已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有一条直线与曲线，都相切； (3)若，是方程的两根，证明：． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则． 2．从5名湖南籍球员（甲、乙、丙、丁、戊）中选出4人分别参加在四个湖南城市（长沙、株洲、永州、衡阳）举行的足球巡回推广活动，每个城市安排1人参加，每人只参加一个城市的活动，已知甲、乙两人不去长沙，不同的安排方案共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】B 【分析】对于有特殊要求的元素，优先考虑，优先安排，其他人再按排列计算，分步将两个结果用乘法计算． 【详解】首先从除甲乙之外的3人中选1人去长沙，共有种， 其次从剩余4人中选3人到其他三个城市，共有种， 分步用乘法：共有种． 3．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 0．5 0．9 1 1．1 1．5 A． B．x与y的样本是负相关 C．当时，y的预估值为2．2 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 【答案】A 【分析】由表格数据求出样本中心点求解判断A；由的正负判断B；由回归方程计算判断C；由相关系数公式判断D． 【详解】，则样本中心点为， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得与的样本是正相关，B错误； 对于C，当时，的预估值为，C错误； 对于D，由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，D错误． 故选：A 4．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 5．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性及大于1时函数值正负判断即可． 【详解】函数的定义域为， ， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD； 当时，，排除B，选项A符合要求． 故选：A 6．下列说法错误的是（    ） A．若离散型随机变量服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．随机变量满足，若，则 D．随机变量，若，则 【答案】D 【分析】根据二项分布，两点分布和正态分布，结合期望、方差的性质依次计算判断即可． 【详解】A，由服从两点分布，则， 而，则，对； B，由，则，对； C，由，则， 又，则，对； D，由，，则， 故，错． 7．已知函数在上是增函数，且满足．若，，．则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性和单调性，再由对数运算法则比较出自变量的大小，即可得出结论． 【详解】已知函数满足，所以是偶函数， 又在上是增函数，则在上是减函数， 因为，，, 易知，又 所以， 因此， 即． 故选：C． 8．年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按 “第步到” 和 “第步到” 分类枚举所有路径，计算事件（仅一次经过）的总路径数与事件（同时满足水平移动次）的路径数，再用条件概率公式​求解． 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）点”，事件“水平方向移动次”，按移动到需要步还是步分类讨论， 记为向左，为向右，为向上，为向下， ①若第步到为事件，则移动次满足要求的是（或或），（或或），（或或），（或或）， 所以； ②若第步到为事件，则移动次满足要求的是，所以． 因为，且互斥，所以． 满足的情况有：，所以， 所以． 9．已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和指数型函数的单调性，结合零点的定义、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可． 【详解】因为，且函数和都是上的增函数， 所以要想恒成立，则需函数和的零点相同， 令， 令， 所以，则， 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 故，所以最大值为． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】84 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 11．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据正态分布曲线的性质可得，结合基本不等式“1”的代换求最值即可． 【详解】由题意，随机变量的分布图象关于直线对称， 又，所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． 故答案为： 12．函数若，则________． 【答案】 【详解】已知分段函数，且． 结合分段函数性质可得或． 当时： 若，则，解得； 若，则，解得． 当时： 若，则，方程无解； 若，则，解得． 因此满足条件的的值为，，． 13．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为．现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为．任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______． 【答案】 / 【分析】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品，根据条件可求出，，再由全概率公式、条件概率和乘法公式，即可求解． 【详解】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以． 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为． 14．已知函数．若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】将问题转化为，即可利用二次函数的性质，以及导数求解函数最值即可． 【详解】对，使得等价于： 当时，， 因为在上单调递增， 所以，而， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 由，得， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 15．已知函数当时，方程的解是________；若关于x的方程恰有三个实数解，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行讨论分析求解即可． 【详解】当时，， 当时，由得， 若，方程等价于，解得， 若时，方程等价于，解得， 当时，由得，得， 解得或，此时无解， 综上方程的解集为； 当时，的最小值为， 在上的最大值为， 当时，函数的图象是开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，顶点为， 当时，最多有两个零点， 当时，最多有两个零点， 则要使恰有三个实根， 则当时，有两个零点，时有一个零点， 或当时，有一个零点，时有两个零点， ①若当时，有两个零点，则，得，即， 此时当时只能有一个零点，若对称轴满足，此时当时，必有一个零点， 则只需要当时，， 即，得，此时， 若对称轴满足，此时在上为减函数， 要使此时只有一个零点，则， 即，得，此时， ②若当时，有一个零点，此时，即时， 此时当时， 函数的对称轴为，，要使时有两个零点，则， 即，得（舍去）或，此时， 综上实数的取值范围是或， 故答案为：①，②． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)函数为奇函数，理由见详解 (3)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】（1）根据对数可得，解不等式即可得函数定义域； （2）根据题意结合奇函数的定义分析判断即可； （3）根据对数函数单调性结合复合函数单调性分析判断． 【详解】（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为． （2）函数为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数． （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间． 17．（15分） 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关． (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中． 0．1 0．05 0．01 0．001 2．706 3．841 6．635 10．828 【答案】(1)（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系 (2)，与线性相关性很强 【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算根据临界值表判断即可； （2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断． 【详解】（1）（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为， 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率． （ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过． （2）因为，， 所以， 故与线性相关性很强． 18．（15分） 莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 【答案】(1) (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 (3) 【分析】（1）根据题意，设出事件，结合全概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）设表示“合格”学生人数，表示“总得分”，得到，且，结合期望的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，可得， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）解：根据题意，随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望为． （3）解：设表示“及格”学生人数，表示“总得分”, 则变量，其中， 所以，则． 19．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）当时先写出表达式,代入求得函数值,再对求导得到,代入算出切线斜率,由点斜式即可得出曲线在点处的切线方程为． （2）（i）由求出导数并通分化简,根据函数有两个极值点,转化为分子二次方程在上有两个不等正根,利用韦达定理与判别式列出不等式组,求解得出实数的取值范围． （ii）利用极值点满足二次方程关系,代入化简构造单变量函数,再对二次求导分析单调性,确定其极小值点与单调区间,找到唯一极值点,借助进行代换化简,配方后放缩证得． 【详解】（1）当时，，则， 又，所以． 所以曲线在处的切线方程为． （2）（i），求导得， 因为有两个极值点，所以在上有两个不相等的根， 又，则只需要解得， 所以实数的取值范围为． （ii）因为，且是方程的根， 所以且， 则， 令，，则， 令，则，令，解得， 因为在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以使得函数在上单调递增，在上单调递减，且． 故函数的最大值为 ，即得证． 20．（16分） 已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有一条直线与曲线，都相切； (3)若，是方程的两根，证明：． 【答案】(1)若，的单调递增区间为；若，的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数与函数单调性间的关系，分和，即可求解； （2）利用导数的几何意义，将问题转化成方程只有一解，即可求解； （3）根据条件得，，进而可得，构造函数，求出其单调区间，得到，即可求解． 【详解】（1），易知的定义域为，， 若，则，故在上单调递增， 若，则当时，，时，， 故时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上，若，的单调递增区间为， 若，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）设直线方程为与曲线，分别相切于点，， 故，即，整理得， 当，由得到， 令，则恒成立， 所以在区间上单调递减，且，， 所以在有且只有唯一零点， 故当时，有且只有一个解， 当，由得到， 令，则， 当时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增， 所以，故时，无解， 综上所述，有且只有一个解，即有且只有一条直线与曲线，都相切． （3）由得，， 令，则，即， 因为，所以当时，，则在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递增， 所以当，取得最小值， 又当，；当，，，所以的图象如图所示， 依题意得，与有两个交点，所以，， 因为，所以，则． 令，则，所以在区间上单调递减， 则，故当时，，． 因为，所以，则， 由，，可得． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C B A A A D C A B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．84 11． 12． 13． / 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【解析】（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为．（4分） （2）函数为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数．（9分） （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．（14分） 17．（15分） 【解析】（1）（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为， 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率．（5分） （ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过．（10分） （2）因为，， 所以， 故与线性相关性很强．（15分） 18．（15分） 【解析】（1）解：设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，可得， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为；（5分） （2）解：根据题意，随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望为．（10分） （3）解：设表示“及格”学生人数，表示“总得分”, 则变量，其中， 所以，则．（15分） 19．（15分） 【解析】（1）当时，，则， 又，所以． 所以曲线在处的切线方程为．（5分） （2）（i），求导得， 因为有两个极值点，所以在上有两个不相等的根， 又，则只需要解得， 所以实数的取值范围为．（10分） （ii）因为，且是方程的根， 所以且， 则， 令，，则， 令，则，令，解得， 因为在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以使得函数在上单调递增，在上单调递减，且． 故函数的最大值为 ，即得证．（15分） 20．（16分） 【解析】（1），易知的定义域为，， 若，则，故在上单调递增， 若，则当时，，时，， 故时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上，若，的单调递增区间为， 若，的单调递减区间为，单调递增区间为．（5分） （2）设直线方程为与曲线，分别相切于点，， 故，即，整理得， 当，由得到， 令，则恒成立， 所以在区间上单调递减，且，， 所以在有且只有唯一零点， 故当时，有且只有一个解， 当，由得到， 令，则， 当时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增， 所以，故时，无解， 综上所述，有且只有一个解，即有且只有一条直线与曲线，都相切．（10分） （3）由得，， 令，则，即， 因为，所以当时，，则在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递增， 所以当，取得最小值， 又当，；当，，，所以的图象如图所示， 依题意得，与有两个交点，所以，， 因为，所以，则． 令，则，所以在区间上单调递减， 则，故当时，，． 因为，所以，则， 由，，可得．（16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册+函数导数。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．从5名湖南籍球员（甲、乙、丙、丁、戊）中选出4人分别参加在四个湖南城市（长沙、株洲、永州、衡阳）举行的足球巡回推广活动，每个城市安排1人参加，每人只参加一个城市的活动，已知甲、乙两人不去长沙，不同的安排方案共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．120种 3．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 0．5 0．9 1 1．1 1．5 A． B．x与y的样本是负相关 C．当时，y的预估值为2．2 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 4．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（    ） A．若离散型随机变量服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．随机变量满足，若，则 D．随机变量，若，则 7．已知函数在上是增函数，且满足．若，，．则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 11．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 12．函数若，则________． 13．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为．现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为．任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______． 14．已知函数．若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________． 15．已知函数当时，方程的解是________；若关于x的方程恰有三个实数解，则实数a的取值范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 17．（15分） 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关． (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中． 0．1 0．05 0．01 0．001 2．706 3．841 6．635 10．828 18．（15分） 莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 19．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 20．（16分） 已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有一条直线与曲线，都相切； (3)若，是方程的两根，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[AB][C][D] 5[A]B][C]D] 8[A][B][C]D] 4 3[A][B][C][D] 6[A]B][C]D] 9[A][B][C]D] 闻 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 11 12 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）