广东省广州市黄浦区广大附中黄埔实验学校2025-2026学年下学期九年级数学综合练习

**基本信息** 以现实情境为载体，整合代数、几何、统计核心知识，突出逻辑推理与模型应用，渗透数学眼光与思维的综合训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|单选1-5、填空11-13|结合生活场景考查数与式、方程、对称等|从数感、符号意识到运算能力，构建代数基础逻辑链| |几何综合|单选6-9、填空16、解答20|涉及三视图、圆、折叠、新定义“切接圆”|以空间观念为核心，从图形性质推导到动态几何应用| |函数与应用|单选10、填空15、解答22-24|反比例函数路径、拱桥建模等实际问题|通过模型意识将函数关系与几何图形、现实情境融合| |统计与概率|单选4、解答21|抽奖概率、成绩统计分析|数据意识与随机观念结合，体现数据分析与决策价值|

黄埔广附二模 一、单选题 1.2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元 (1亿=10)，同比增长8%.将数据1800亿用科学记数法表示是() A.0.18×102 B.1.8×10" C.18×10o D.1.8×102 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数.科学记数法的表示形式为α×10的形式，其中 1≤a<l0,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点 移动的位数相同.当原数绝对值大于等于10时，n是正数：当原数的绝对值小于1时，n是负数， 【详解】解：将数据1800亿用科学记数法表示是1.8×10" 故选：B. 2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列美术字是轴对称图形的是() 梦 A.9 ®想 c成 o.真 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形， 利用轴对称图形的概念可得答案， 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意： B、不是轴对称图形，故此选项不合题意： C、不是轴对称图形，故此选项不合题意： D、是轴对称图形，故此选项符合题意： 故选：D. 3.小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了10km,小阳骑行 时间比小红少用了0.h,设小红的骑行速度为xkh,则可列方程为() A品=019B品+10-9 c.10-0.1=10 D.10-10=10 1.2x 1.2x 【答案】A 【知识点】列分式方程、分式方程的行程问题 试卷第1页，共31页 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【详解】：小红的骑行速度为xkm/h,小阳的速度是小红速度的1.2倍， ·小阳的速度为1.2xkm/h, :两人各自骑行了10m,小阳骑行时间比小红少用了0.h,且时间=路程 速度’ “可得方程10+0.1=10 1.2x 4.某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随 机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（) A君 8} C.3 D.2 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题考查简单的概率计算.需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据 概率=符合条件的结果数 总结果数 再求概率。 【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元. 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1.10元和20元，和为30元： 2.10元和30元，和为40元： 3.20元和30元，和为50元. 其中，和为50元的组合只有1种(20元和30元). 因此，所求概率为：· 故选：C 5.下列计算正确的是() A.a2+a3=a3B.a2a23=a6 c.（-a2}2=a D.a8÷a2=a 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的 法则是解题的关键 6.如图为DF-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（) 试卷第2页，共31页 正面 A.主视图与俯视图相同 B.主视图与左视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同 【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， “主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同。 7.如图为某校数学社团用数学软件制作的蚊香”画法如下：在水平直线上取长为1cm的线段AB,作等边 △ABC,然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)：再以点C 为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E(第二段圆弧)：再以点A为圆心，AE为半径 逆时针画圆弧交线段BA的延长线（第三段圆弧）：：以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊 香”的总长度是（) 蚊香 A.12πcm B.14元cm C.16πcm D.18πcm 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、求弧长 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式.由题意可知，每段圆弧的中心角都是120°，每 段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可。 【详解】解：：三角形ABC是等边三角形，边长为1， ∴.∠CBA=∠ACB=60°，BC=AB=1, ∴第一段圆弧圆心角：∠ABD=180°-∠CBA=180°-60°=120°， 第二段圆弧圆心角：∠ECB=180°-∠ACB=180°-60°=120°， ,以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)， 试卷第3页，共31页 城数学 ∴.BD=AB=1, ∴.CD=CB+BD=2, 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是120°，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为21+2+3+…+6)×20 360° =14r(cm), 故选：B. 8.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,BC=√3，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落 在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与AC的交点为E,则AE的长是 () B A.3 B.9 c D.3 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先由折叠的性质得出AB=AD=2,ED=EC,∠ADB=∠B,∠EDC=∠C,推出∠ADE=90°， 再由勾股定理求出AC=3,设AE=x,则CE=DE=3-x,然后由勾股定理列出方程，解方程即可. 【详解】解：由折叠的性质得：AB=AD=2,ED=EC,∠ADB=∠B,∠EDC=∠C, ×∠BAC=90°， ÷∠B+∠C=90°， ÷∠ADB+∠EDC=90°， ÷∠ADE=90°， 在Ra4BC中，由勾股定理得：AC=BC-AB=V国-2=3， 设AE=x,则CE=DE=3-x, 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2, 即22+(3-x)2=x2, 解得：吕 故选：D. 试卷第4页，共31页 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键， 9.某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形ABCD内接于⊙O, AB=2CD·若AB=6,CD=V3,则⊙0的半径是（) D ● B A.3 B. 7 c D.5 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】首先取AB的中点E,利用弧长关系得出AE=BE=CD,然后通过垂径定理和勾股定理建立关 于半径的方程求解即可. 【详解】解：如图，取AB的中点E,连接AE,BE, D .AB=2CD B E ∴AE=BE=CD, .AE=BE=CD=√3. 过点O作OM⊥AB于点M,连接ME, 5AM=方B=3,且0，M,E三点共线。 在R△AME中，EM=√AE2-AM2=VW3}2-3=2. 设⊙O的半径为R,则OA=OE=R, ∴.OM=OE-EM=R-2, 在Rt△OMA中，OA2=OM2+AM2, .R2=(R-2)2+32 试卷第5页，共31页 解得R=3 I0.如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿AB,BC两边匀速运动，运动到 点C时停止.设点P运动的路程为x,DP的长为y,y关于x的函数图象如图2所示.其中M,N分别是两 段曲线的最低点.点N的纵坐标是() 20 5128 N D 图1 图2 116 4. 120 B C. 112 D.16 17 17 15 15 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的 纵坐标表示点D到BC的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键.由图2可知 AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，再根据勾股定理及其逆 定理、三角形面积公式求出点D到BC的距离即可. 【详解】解：根据图2，AD=20,CD=8,BD=15,点D到AB的距离DE=12,点N的纵坐标表示点D到BC 的距离DF.如图： B 20 D 图1 在Rt△ADE中，利用勾股定理，得AE=√AD-DE2=√20-122=16， 在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE=√BD-DE2=√S-12=9, 则AB=AE+BE=16+9=25, :AD2+BD2=202+152=625,AB2=252=625, ·AD2+BD2=AB2, ÷∠ADB=90°， 试卷第6页，共31页 ÷∠BDC=180°-∠ADB=90°， 在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC=√BD2+CD2=√152+82=17， 则号BDCD=BCDF, 1 解得DF=BDCD-15x8120 BC 1717’ ∴点N的纵坐标是 20 17 故选：B. 二、填空题 11.在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：℃) 1535 -117 -218 0 【答案】液态氧 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点 的大小即可得到答案。 【详解】解：117=117<-218=218， -218<-117<0<1535, :凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧。 2 12.在函数y= x一3中，自变量x的取值范围为 【答案】x≠3 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数的取值范围，解题的关键是知晓分式有意义的条件. 根据函数中分式的分母不为0即可得到答案。 【详解】当分式，名的分母为零时，分式才设有意义，故3。 试卷第7页，共31页 即自变量x的取值范围为x≠3. 故答案为：x≠3. 13.方程1=4 里x可的解是 【答案】x=3 【知识点】解分式方程（化为一元一次) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键.先将分式方程化为整 式方程，解整式方程，再检验即可. 【详解】解：4 x-1-x-1 方程两边同乘(x+1)(x-1),得x+1=4, 解得x=3, 经检验，x=3是分式方程的解， 所以原方程的解为x=3, 故答案为：x=3. 14.若多项式4m2+1加上一个单项式后，能变成一个完全平方式，则加上的单项式为 【答案】±4m或4m 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题主要考查的是整式的乘法公式有关知识，根据题意，由题目的结构特点，依据题目的已知条 件，根据完全平方公式(2m±1)2=4m2±4m+1,写出一个，即可得到题目的结论. 【详解】解：~2m±2=4m2±4m+1,（2m2+l)=4m+4m2+1 ∴.多项式4m2+1与4m或-4m或4m的和是一个整式的完全平方式， 故答案为：±4m或4m(答案不唯一). 15.某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距 水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A,B之间的距离是 m.(tan22°取 0.4) p n245 水面B 【答案】180 试卷第8页，共31页 【知识点】仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键 过点P左PE⊥BA于点E,由题意得，∠FPA=∠PAE=45°，∠FPB=∠I=22°，PE=120m,先解Rt△AEP, 再解Rt△PEB,最后由线段和差计算即可. 【详解】解：过点P作PE⊥BA于点E, 22 45° 120m ©B 由题意得，∠FPA=∠PAE=45°，∠FPB=∠1=22°，PE=120m, 在RtoPEA中，AE= PE 120 tan∠PAE tan45° =120， 在RtAPEB中，tan22=PE BE 48E=120=300, 0.4 ÷AB=BE-AE=300-120=180m, 故答案为：180 16.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上且BE=BA,连接CE.点F为BC边上一点，过点F作 GF⊥CE于点H,交AD于点G,点K在AB边上，连接DH,KG,KH,若AB=DH,∠KGF=45°， 则份的值为 G 【答案】34 6 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、灵活选用判定方法证全等（全等三角形 的判定综合)、根据正方形的性质求线段长 【分析】先设出正方形边长为3a,利用勾股定理求出CE的长，通过相似三角形的性质求出CH的长，再证 △GQF≌aCBE求出AG的长，利用勾股定理的逆定理确定K的位置，最后构造直角三角形求出KH的长， 从而计算出比值 试卷第9页，共31页 【详解】解：设正方形ABCD的边长为3a, 则AB=BC=CD=DA=3a,∠B=∠BCD=90°， 8E-4, :BE=a, 在R1aCBE中，CE=VBC2+BE=3a'+a2=Voa, 如图，过点D作DP⊥CE于点P, G D .·∠BCD=90°， E B FM O .∠BCE+∠DCP=90°， ∠B=90°， ∴.∠BCE+∠CEB=90°， ∴.∠DCP=∠CEB, 又∠DBC=∠B=90°， ..DCPACEB, CP DP CD BE CB CE' CP DP 3a a3a√10a 3 9 ∴CP= ga,DP= =a, 1 在Rt△DPH中，DH=AB=3a, .CH=CP+PH=- 6 ， .GF⊥CE, ∴.∠CHF=90°=∠B, 又·∠HCF=∠BCE, 试卷第10页，共31页 :BM=BC-CM=a, *KB=2a,HM-3a, 5 ÷KN=KB-HM=a, 在aKNH中，KH=VN+m=、ga+a=厚a, - 品@ 6 【点晴】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等 三角形的判定与性质，掌握全等三角形和相似的性质是解题的关键， 三、解答题 17.计算： (-5+2sin60+小6-2斗 【答案】3 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂 【详解】解： (日八-5+2+小w5- =4-3+2x5+2-万 2 =4-3+5+2-5 =3 18。先化简，再求值. 其中x=2+1. 【答案】x-1,√5 【知识点】分式化简求值、实数的混合运算 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可. 【详解】解：原式=(x-少x+1-2 x+1 x+1 =(x-x+1 x+1x-1 试卷第12页，共31页 =x-1: 当x=√2+1时，原式=√2+1-1=√2. 19.学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材 料，并完成相关问题. 材料 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车 多载客15人：用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. A型客车租车费用为3200元/辆：B型客车租车费用为3000元/辆. 材料 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200-50m元/辆： 租用B型客车，租车费用打八折. 材料 租车公司最多提供8辆A型客车： 三 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆. (I)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27000元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售问题（实际问题与二次函数）、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键。 (1)设A型客车每辆载客量为x人，根据题意列出方程，求解即可： (2)设租A型客车m辆，B型客车(10-m)辆，租车总费用w,根据材料三先求出m的取值范围，再列出 w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可， 【详解】(1)解：设A型客车每辆载客量为x人，根据题意得： 600=450 xx-15 解之得x=60. 经检验：x=60是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人. (2)解：设租A型客车m辆，B型客车(10-m)辆，租车总费用w,则 60m+45(10-m)2530. 试卷第13页，共31页 解之得m≥ 31 w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m) =-50m2+800m+24000. :-50<0,且对称轴为m=- 800 =8, -50×2 m≤8时，w随着m的增大而增大. :m取正整数，且m23, 16 当m=6时，w最小值为27000（元). ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 20.如图，AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边AB于点D,连接DC,已知∠DOC=2∠BCD,AC=6, CB=3. B (I)求证：CB是⊙O的切线. (2)①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点F,保留作图痕迹，不用写出作法和 理由。 ②在①的条件下，求OF的长。 【答案】(1)见解析 2)①图见解析@5 【知识点】作角平分线（尺规作图）、证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角 形的判定与性质综合 【分析】(1)利用等腰三角形性质、圆周角定理与外角性质，推导出CB⊥AC,结合切线判定定理证明CB 是⊙O的切线： (2)先由勾股定理求出AB,再利用等腰三角形三线合一证OF⊥DC,结合平行线性质证△OFC∽△ACB, 最后通过相似三角形对应边成比例求出OF的长. 【详解】(1)证明：OA=OD, 试卷第14页，共31页 ·∠OAD=∠ADO, :∠DOC是△ADO的外角， :∠DOC=∠OAD+∠ADO=2∠OAD, :∠DOC=2∠BCD, :∠OAD=∠BCD, :AC是⊙O的直径， ÷∠ADC=90°， ·∠OAD+∠DCA=90°， :∠BCD+∠DCA=90°， :CB⊥AC, 又：AC是⊙O的直径， CB是⊙O的切线， (2)①解：如图，OF为∠DOC的角平分线，OF交DC于点F. D B ②解：~AC=6,CB=3,∠ACB=90°， AB=√52+6=35， :OC=OD,OF平分∠DOC, ÷OF⊥DC, AD⊥DC, AD∥OF, ·∠COF=∠OAB, :BC⊥AC, ÷∠OFC=90°=∠ACB, .aOFC∽aACB, 0g=0C即0=3 AC AB 6351 试卷第15页，共31页 “0r=5 5 21.某校开展“中国诗词竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分.为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取 m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下 列问题： 个人数 40 35 。。0。”00 1分 20 2分 5分 15 10 3分 4分 0 36% 2 3 4 5成绩/分 竞赛成绩的条形统计图 竞赛成绩的扇形统计图 (1)m的值是 扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 (2)该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数， (③)从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义. 【答案】(1)100,72° (2)520人 (3)见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心 角、求中位数 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，利用样本估计总体，求扇形圆心角的度数，解题关键是能 从统计图获取有用信息求解， (1)用3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值：用5分的人数除以100再乘以360度即可求5分 对应的扇形的圆心角： (2)用成绩超过3分的学生人数的百分比乘以1000即可： (3)分别根据众数、中位数的意义进行作答即可. 【详解】(1)解：m的值为：36÷36%=100， 扇形统计图中5分对应的扇形的圆心角大小是：100-2-10-36-32×360=72， 100 故答案为：100,72°： (2)解：10×100-2-10-36=100×52=520（人）， 100 100 答：该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数约为520人： 试卷第16页，共31页 (3)解：众数为3分，实际意义为：所有的成绩中，出现最多的是3分，试卷的难度中等： 中位数为4分，实际意义为：有一半的成绩在4分以下，试卷有一定的难度. 22.【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野.如图为某品牌的圆形扫地机器人，其 主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成。 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系.因此，将该扫地机器 人视作半径为2的圆，圆心为P,该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为 该扫地机器人圆心P的运动路径（x>0) 【问题解决】 (1)若在扫地机器人的运动路径上，圆心P会经过一污迹A(4,3),求该运动曲线的函数解析式： (2)在(1)的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物B(6,8),求当点P,O,B在一条直 线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物： ③)若以P,O,A为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心P的坐标 【答案10=是 (2)扫地机器人不会触碰到障碍物： (3)P(7+V6,V6-7)或P(-8+29,8+2W19 【知识点】公式法解一元二次方程、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】(1)根据待定系数法求解即可： 试卷第17页，共31页 y= 4 3 (2)先求出直线OB为y=了x,再联立 求得P(3,4),从而求出PB判定即可： 12 y= (3)分别过A、P作AM⊥x轴，PNLx轴于MN, 设P,), n 根据面积公式得受-北3+号)》加- 进而分当点P在点A的右侧时，n>3,和点P在点A的左侧时，0<n<3,两种情况讨论求解即可。 【详解】(1)解：设y=, :y=k过A4,3) k=4×3=12, 12 “y=兰： (2)解：设直线OB为y=mx, ~B(6,8)在y=mx上， 8=6m, m手 4 直线0B为y=3x, 4 y=-x 3 联立 =12, x=3tx=-3 解得=4或 =-4(舍去)， .P(3,4), PB=V6-3)}+(8-4)=5>2' 扫地机器人不会触碰到障碍物： (3)解：分别过A、P作AM⊥x轴，PN⊥x轴于MN, 设)， 试卷第18页，共31页 0 M :A(43),y=12 ∴S.AOP=S。HAOM+S福形NP一SaOP=6+S梯形ANp-6=S梯形ANP, 约引+)咖- 当点P在点A的右侧时，n>3,15n=(n+4)(n-3), 解得n=7+√6i或n=7-√6i(舍去)， 当m=7+6时，y=2.12 =-7, x7+6 P7+,N-7), 当点P在点A的左侧时，0<n<3,15n=(n+4)(3-n), 解得n=-8+2√19或n=-8-219(舍去)， 当n=-8+2时，y=2.12 x-8+21=8+219, P-8+219,8+219, 综上，机器人的圆心P的坐标为P7+√6，√-7)或P(-8+2W9,8+2⑨) 【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质，解一元 二次方程等，熟练掌握待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质是解题的关键 23.概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”， 如图1，△ABC,⊙O经过点A,并与点A的对边BC相切于点D,则该⊙O就叫做△ABC的切接圆.根据 上述定义解决下列问题： 试卷第19页，共31页 D 图1 图2 图3 图4 (I)已知，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10. ①如图2，若点D在边8C上，CD=空，以D为圆心，BD长为半径作圆，则OD是△AC的切接圆r吗？ 请说明理由. ②在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接圆”时， 求⊙D的半径（直接写出答案）. 思维拓展 (2)如图4，△ABC中，AB=12.AC=BC=10,把△ABC放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边 AB落在x轴上.试说明：以抛物线y=是x+4图像上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的切接圆 16 【答案】①是，理由见解析：② 40 (2)见解析 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、其他问题（二次函数综合）、圆与三角形的综合 (圆的综合问题) 【分析】(1)①过点D作DE⊥AC,利用勾股定理，求出BC的长，从而求出BD的值，证明△CED∽△CAB, 求出DE的长，根据“切接圆”的定义进行判断即可.②根据“切接圆”的定义，得到⊙D过点C,与AB相切 于点F,连接DF,设⊙D的半径为r,证明△CED∽△CAB,列出比例式，进行求解即可： (2)设P为抛物线上任意一点，坐标为：信+4，过点C作x轴的平行线，过点P作)的平行线，交x 轴与点G,连接CP,证明PC=PG,得到PG是圆P的切线，即可得证 【详解】(1)解：①是，理由如下： 过点D作DE⊥AC,交AC于点E, D E ∠BAC=90°，AB=6,BC=10, 试卷第20页，共31页 .DE∥AB,BC=√AC2+AB2=10, ∴.△CED∽△CAB, 25 ÷DECD 5, 5 15 ÷DE=2AB=2x6= 8 8 ~BD=BC-CD=10-23=15 441 :.DE=BD, ·AC为⊙D的切线， 点B在⊙D上， ∴.⊙D是△ABC的“切接圆”； ②如图，AB与⊙D相切于点F,连接DF,设⊙D的半径为r, D 则：DF⊥AB,CD=DF=r, DF∥AB, ÷△BDF∽ABCA, DF BD AcBC,即： 5=10-r 8-10 解得：7智 (2)解：设P为抛物线上任意一点，坐标为： *4 过点C作x轴的平行线，过点P作y的平行线， 交x轴与点G,连接CP, 试卷第21页，共31页 A OG B :AB=12,AC=BC=10,把△ABC放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边AB落在x轴上. oc-4c-(9-8, ∴.C(0,8) p信+4-j=16,信+r+号+6， ∴.PC=PG, ∴.PG是圆P的切线， 1 .以抛物线y=石+4图像上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”， 【点睛】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与几何的综合应用.理解并掌 握“切接圆”的定义，是解题的关键 24.【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们 根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题. 【实验操作】 如图1，第一小组在线段AB的垂直平分线CD与轮廓线的最高点的交点C处通过测量获得以下数据（单位： 米)： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 CD=4 AC=8 BC=8 试卷第22页，共31页 B D 图1 (I)任务1：请根据第一小组的数据求∠ACB的度数. 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线BC段上选取E点（不与B、C重合），在河边A和B处分别测量E点的仰角，测 量获得以下数据： --11 B D 图2 小组 A测E仰角 B测E仰角 第二小组 ∠a=13° ∠B=32° (2)任务2：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径：如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式 【解决问题】 (3)任务3：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒T型的限高杆（如图3中虚线部分），若横杆G长度 和竖杆长度C2之比为12：1，那么此时横向限高杆GH离水面AB的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不 计) G 图3 (4)任务4：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个 图形的距离.为了美观，在距离点D处8米的地面M、N处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角， 如图4所示，光线交汇点P在点C的正上方，求光线PN与拱桥之间的距离. M D B 图4 试卷第23页，共31页 【答案】(1)120° ②)拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线，理由见解析：y=- 2x2+4 1 ⊙)横向限高杆高水面距高为号米 ④光线与抛物线之间的最小距离为三米 【知识点】其他问题（实际问题与二次函数）、解直角三角形的相关计算、待定系数法求二次函数解析式、用 勾股定理解三角形 【分析】(I)由线段垂直平分线的性质，可得CA=CB,∠CDA=∠CDB=90°，由已知可得AC=2CD,可 得∠ABC=∠CAB=30°，由三角形的内角和定理，即可得∠ACB的度数： (2)假设该拱桥轮廓线是圆弧，设圆心为O,设圆的半径为”，在图1中，连接OB、OD,根据勾股定理 可得r=8,在图2中，连接OB、OD、OA,由三角形的内角和定理可得∠AEB=135°，可得∠AOB=90°， 解Rt△AOB,可得r=4v√6≠8，可判断拱桥的轮廓线不是圆弧，是抛物线，以AB为x轴，AB的垂直平分 线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法即可得抛物线的解析式： (3)设横杆GH长度和竖杆C2长度分别为12n、n,点H(6n,4-n),将点H的坐标代入抛物线的解析式， 可得n,即可得横向限高杆GH离水面AB的距离： (4)作直线NP的平行线I,使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），1交x轴于点J,过点 J,作JK⊥PN,垂足为K,设直线1的解析式为y=-x+m,与抛物线的解析式联立，整理为关于x的一 元二次方程，由△=0可得m,可得直线I的解析式，可得点J的坐标，可得JN,结合已知解三角形即可得 光线PN与拱桥之间的距离， 【详解】(1)解：~CD垂直平分AB, CA=CB,∠CDA=∠CDB=90°， :AC=8,CD=4, ÷AC=2CD, ÷∠ABC=∠CAB=30°， :∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=120°. (2)解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为O,设圆的半径为r,连接OB、OD, 在R1△OBD中，BD2=OB2-OD2, BD2=r2-(r-4)2, 试卷第24页，共31页 在R1△BCD中，BD2=BC2-CD2=64-16=48, r2-(r-4)=48, 解得r=8: ÷AB=2DB=8√5， 在图2中，设圆心为O设圆的半径为r,连接OB、OD、OA, 则∠AEB=180°-a-B=135°， 则劣弧AB所对圆心角度数为360°-135°×2=90°， 即∠AOB=90°， 则r=5AB=4W6≠8， :拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： a 图1 图2 如图，以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如下的坐标系， B 则点C(0,4)、B(4W5,0), 设抛物线的表达式为y=ax2+4, 将点B的坐标代入上式得0=(45×a+4, 解得a 则跳物线的表达式为y古产+4： (3)解：如图，设横杆GH长度和竖杆C2长度分别为12n、n, 试卷第25页，共31页 C G H B 则点H(6n,4-nm), 将点和的坐标代入y=立+4得4-A=(o+4, 解得a-写或n=0(会去)， 4写号 (米) “横向限商杆离水面距离为号米。 (4)解：作直线NP的平行线1，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点)， I交x轴于点J,过点J,作JK⊥PN,垂足为K,如图所示， .I∥PN, A 设直线！的解析式为y=-x+m, y=-x+m 联立直线与抛物线解析 y=-x2+4' 整理得x2-12x+12m-48=0, :直线1与抛物线相切， ∴方程有两个相等的实数根， .△=(-12)2-412m-48)=0, 解得m=7, ∴.直线1的解析式为y=-x+7, 令y=0,解得x=7, ·J(7,0), .JN=8-7=1, ,射灯射出的光线与地面成45°角， 试卷第26页，共31页 K=Wxsi咖45°=lx2=2 2 2 ÷光线与抛物线之间的最小距离为米。 2 25.在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点. 图1 图2 图3 (I)如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE,作OF⊥OE交CD于点F,求证：OE=OF: ②咖如图2，四边形18CD是平行四边形，MB14CB=35,em乙4C8-号BG:EC=12连接AB,作 EF1AE交CD于点F,连接OF,求 CF的值： (3)如图3，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，BC=6,连接DE交AC于点G,F是边AB上的一点，∠EDF=30°， 若AF=写4B,求OG的长. 【答案】(1)见解析 2) 2 ®号 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三 角形的相关计算 【分析】(1)连接OD,根据正方形的性质，利用AAS得到△OCE≌△ODE,即可证明结论： (2)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥BC于点H,根据勾股定理求出BC长，然后根据平行四 边形的面积公式求出AG长，根据正切得到CG长，然后设CH=a,则FH=2a,求出CF长，再根据正切 得到an∠FEH=-匹=求出a的值，解答即可： EH 3 (3)过点D作DP⊥BA于点P,作D2⊥BC于点Q,设CE=x,求出AP=C2=3,DP=DQ=35,然 后表示DF2,DE2,在射线CA上截取AM=AF=2,在射线AC上截取CN=CE=x,根据全等得到 DM=DF,DN=DE,∠MDN=90°，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解 答即可. 【详解】(1)证明：连接OD, 试卷第27页，共31页 E 图1 ~ABCD是正方形，OF⊥OE, ∴0D=OC,∠COD=∠EOF=90°，∠ACD=∠ACB=45°， ·∠DOF=∠COE, ·△OCE≌△ODE, 0E=OF: (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥BC于点H, D ■ G E 图2 4C2,AB=35 :AC L AB,tan∠ACB=AB=L :AC=2AB=55, 5 ·BC=√AB2+AC2=3, BE:EC=1:2, CE=2, 又：S平行四边形BCD=AB:AC=BC·AG, 65×256. “4G=48C.55X5Y-6 BC 3 5 又：rtan∠ACB=B=1 AC2' +CG=24G=12 12 2 ∴EG=CG-CE= 2- itan∠GAE=GE-1 AG=3' :ABCD是平行四边形， ÷AB∥CD, 试卷第28页，共31页 ÷∠ACD=∠BAC=90°， ·∠ACB+∠FCH=∠FCH+∠CFH=90°， ·∠ACB=∠FCH, aan<CH=tan∠4C8=克，即路-》 即FH=2' 设CH=a,则FH=2a, ∴CF=√CH?+HF=√5a, 朗即，20=1 同理可得an∠FEH=HE=, 2+a3 帮得a-号 ÷CF=25 5 又：O是AC的中点， 0℃=35 5 OF=0C2+CF2 V65 OF 5 3 CF 2v5 2: 5 (3)解：过点D作DP⊥BA于点P,作DQ⊥BC于点Q,设CE=x, ~ABCD是菱形， ·AD∥BC,DC∥AB, ·∠PAD=∠DCQ=∠B=60°， ÷∠ADP=∠CDQ=30°， AP=CO=3,DP=DO=AD2-APE=33, 试卷第29页，共31页 AF=AB, 3 ·AF=2, PF=PA+AF=5 DF2=DP2+PF2=27+25=52,DE2=D02+QE2=27+(3+x)2, 在射线CA上截取AM=AF=2,在射线AC上截取CN=CE=x, :ABCD是菱形， BA=BC,∠BAC=∠DAC=∠D=6O°， ·∠MAD=∠FAD=120°，AC=AB=6, 又：DA=DA, ÷△ADM≌△ADF, ÷DM=DF,∠MDA=∠FDA, 同理：DN=DE,∠NDC=∠EDC, :∠MAF+∠EDN=2(∠ADF+∠EDC)=2(∠ADC-∠EDF)=2x(60°-30°)=60°， :∠MDN=90°， DM2+DN2=MN2,DF2+DE2 MN2, 52+27+(3+x)}2=(2+6+x)2, 解得CE=2.4, 又：CE∥AD, ·∠BCA=∠CAD,∠CEG=∠ADG, ÷△CEGn△ADG, CG CE 示=0，即0=24 6-CG-6, 12 解得：CG= 又O是AC的中点， 0C=3, 00=0c-c0=3-号-号 【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判 定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键 试卷第30页，共31页 试卷第31页，共31页 2025学年广大附中黄埔实验学校第二学期九年级综合练习 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1.2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元(1亿=10⁸), 同比增长8%.将数据1800亿用科学记数法表示是( ) A. B. C. D. 2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列美术字是轴对称图形的是( ) 3.小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了10km，小阳骑行时间比小红少用了0. lh.设小红的骑行速度为 xkm/h，则可列方程为( ) A. B. C. D. 4.某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是( ) A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图为DF-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是( ) A.主视图与俯视图相同 B.主视图与左视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同 7.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为1cm的线段AB，作等边△ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E(第二段圆弧)；再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧交线段BA的延长线(第三段圆弧)；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是( ) A. 12πcm B. 14πcm C. 16πcm D. 18πcm 试卷第1页，共 10页 8.如图,在三角形纸片ABC中, ∠BAC=90°,AB=2,BC= 沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与AC的交点为E，则AE的长是( ) A. B. C. D. 9.某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=2CD.若AB=6, CD= 则⊙O的半径是( ) A. B. C. D. 5 10.如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点.点N 的纵坐标是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 . 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点 (单位：℃) 1535 -117 -218 0 12.在函数 中，自变量x的取值范围为 . 13.方程 的解是 . 14.若多项式 加上一个单项式后，能变成一个完全平方式，则加上的单项式为 . 15. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处,测得A处的俯角为45°, B处的俯角为22°,则A,B之间的距离是 m.( tan22°取0.4) 16.如图,在正方形ABCD中,点E在AB边上且. 连接CE.点F为BC边上一点，过点F作GF⊥CE于点H,交AD于点G,点K在AB边上,连接DH , KG, KH,若AB=DH, ∠KGF=45°,则 的值为 . 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算: 18.先化简，再求值. 其中 19.学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. 材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆. 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200-50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆. (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 20.如图, AC是⊙O的直径, ⊙O交△ABC的边AB于点D,连接DC,已知∠DOC=2∠BCD, AC=6,CB=3. (1)求证: CB是⊙O的切线. (2)①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点F ，保留作图痕迹，不用写出作法和理由. ②在①的条件下，求OF 的长. 21.某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分.为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题： (1)m的值是 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 . (2)该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数. (3)从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义. 学科网（北京）股份有限公司 22.【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野.如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成. 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系.因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径( ). 【问题解决】 (1)若在扫地机器人的运动路径上，圆心P会经过一污迹A(4，3)，求该运动曲线的函数解析式； (2)在(1)的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物B(6，8)，求当点P，O，B在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； (3)若以P，O，A为顶点的三角形的面积为 ，求此时机器人的圆心P的坐标. 23.概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1， ⊙O经过点A，并与点A的对边BC相切于点D，则该⊙O就叫做 的切接圆.根据上述定义解决下列问题： 24.【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线(图中的桥下沿虚线部分)为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题. 【实验操作】 如图1，第一小组在线段AB的垂直平分线CD与轮廓线的最高点的交点C处通过测量获得以下数据(单位：米): 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 CD=4 BC=8 (1)任务1：请根据第一小组的数据求∠ACB的度数. 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线BC段上选取E点(不与B、C重合)，在河边A和B处分别测量E点的仰角，测量获得以下数据： 小组 A测E仰角 B测E仰角 第二小组 (2)任务2：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由. 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式. 【解决问题】 (3)任务3：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒T型的限高杆(如图3中虚线部分)，若横杆GH长度和竖杆长度CQ之比为12：1，那么此时横向限高杆GH离水面AB的距离为多少米?(限高杆的宽度忽略不计) (4)任务4：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离.为了美观，在距离点D处8米的地面M、N处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成 角，如图4所示，光线交汇点P在点C的正上方，求光线PN与拱桥之间的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $