广东惠州市光正实验学校2025-2026学年高一下学期数学高考假期作业2

**基本信息** 以几何与代数、概率统计为核心，通过基础概念辨析、逻辑推理与实际应用题型，构建知识内在联系，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何与代数|向量3题、复数3题、立体几何3题、解三角形3题|概念辨析（斜二测画法）、推理证明（面面垂直）、运算求解（向量分解）|向量复数为工具，立体几何与解三角形结合空间形式与数量关系，形成“概念-推理-应用”链条| |概率与统计|概率1题、统计4题|数据处理（分层抽样）、图表分析（频率直方图）、实际情境（哈希表）|从随机事件到数据特征，体现“收集-分析-推断”统计思维，培养数据意识|

2025-2026学年惠州光正高一下学期高考假期作业2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数，则(    ) A. B. C. D. 3.在中，分别为内角所对的边，且，则(    ) A. B. C. D. 4.事件、相互独立，若，，则与同时发生的概率为． A. B. C. D. 5.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是(    ) A. 平行四边形在直观图中仍是平行四边形               B. 三角形在直观图中仍是三角形 C. 菱形的直观图是菱形                                               D. 梯形的直观图是梯形 6.如图，是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且垂直于圆柱的底面，则必有(    ) A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 7.如图所示，在中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，则(    ) A. B. C. D. 8.哈希表是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构常用的方法之一是“除留余数法”例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置如键值和均映射到同一位置现有一个容量为个位置编号的哈希表，以除留余数法除数为进行映射，需要存储个数据设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是(    ) A. 至少有个位置存放了不少于个数据 B. 若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C. 若的方差为，则的最小值为，最大值为 D. 若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验已知年到年我国到家市场规模单位：千亿元依次为，，，，，则这个数据的(    ) A. 极差是 B. 中位数是 C. 分位数是 D. 平均数是 10.已知两个平面，和两条直线，，满足，，下列命题正确的是(    ) A. 若，不垂直，则，不可能垂直 B. 若，垂直，则，可能不垂直 C. 若，不平行，则，不可能平行 D. 若，平行，则，可能不平行 11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某高中高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了人，则           ． 13.如图，，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得，，，则，两点间的距离为           14.已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，． 若复数是纯虚数，求的值； 若是关于的方程的一个根，求的值． 16.本小题分 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． 若，且，求的坐标； 若，且与垂直，求与的夹角． 17.本小题分 在，中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知_____． 求； 若的外接圆半径为，且，求注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分． 18.本小题分 学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： 若从成绩不高于分的同学中按分层抽样方法抽取人成绩，求人中成绩不高于分的人数： 以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： 若学校安排甲乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 19.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，，且，点为棱的中点． 求证：平面 若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； 若，请在图中作出四棱锥过点，及棱中点的截面，并求出截面周长． 2025-2026学年惠州光正高一下学期高考假期作业2答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由，可得，则． 2.【答案】 【详解】． 3.【答案】 【详解】由，得，即， 故，又，所以． 4.【答案】  【解析】解：由题意得，事件与也相互独立，， 则． 5.【答案】 【解析】解：对于，由斜二测画法的规则知，在直观图中，平行关系不变，所以水平放置的平行四边形的直观图仍然是平行四边形，故A正确对于，水平放置的三角形的直观图还是三角形，故 B正确对于，菱形的四条边相等，但相等的线段在直观图中不一定相等， 因此菱形的直观图是菱形不正确，故C错误 对于，梯形的直观图是梯形，故 D正确； 6.【答案】  【解析】因为是圆柱上底面的一条直径，所以，又垂直于圆柱的底面，所以因为，，平面，所以平面又平面，所以平面平面故选B． 7.【答案】  【解析】因为是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，所以，，所以故选A． 8.【答案】  【解析】解：设为数据除以的余数为的数的个数， 对于选项，，不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，错； 对于选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、， 这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 所以，，，，，，，， 将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，错； 对于选项，由题意可知，这个数的平均数为，且，， 因为，， 当这个数中有个，个时，取最小值， 即， 当这个数中有个，个时，取最大值， 即，错； 对于选项，不妨这个数依次为：、、、、、、， 满足极差为，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为， 因为，此时至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，对． 9.【答案】  【解析】解：由年到年我国到家市场规模单位：千亿元依次为，，，，， 故这个数据的极差为，故A正确； 中位数是，故B正确； ，所以分位数是与的平均数，故C错误； ，故D正确． 10.【答案】  【解析】解：项：面，面， 面与面不垂直， 而，故A错误 项：面面，面，面， 而与不垂直，故B正确 项：面，面， 面面，而，故C错误 项：面面，面，面， ，故D正确． 11.【答案】  【解析】解：选项A，在中，由大角对大边定理知：若，则。根据正弦定理为外接圆半径，可得，。因为且，所以，故选项A正确； 选项B，由，根据余弦函数性质，在的条件下，。则或。若，则，此时，与三角形内角和为矛盾，故舍去。因此，即，为等腰三角形，选项B正确。 选项C，由，根据正弦定理得，即。则或，即或。当时，为等腰三角形；当时，，为直角三角形。因此可能是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，选项C错误。 选项D，已知，。根据余弦定理，代入得：，整理得，即，所以。又因为，所以，故为等边三角形，选项D正确。 12.【答案】  解：利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了人进行问卷调查，其中高二年级抽取了人，高二年级共有人，则每个学生被抽到的概率为， 可得，解得人， 13.【答案】  【解析】解：由题设， 在中，由正弦定理，得， 14.【答案】  【详解】设，则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，为半径的圆上， ， 设，， ，所以的最小值为． 15.【答案】解：， 因为是纯虚数，所以且，解得． 因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以解得，，所以．  16.【答案】解：设，则由，可得，由，可得， 联立，解得或， 或； 与垂直， ，即， 又， ， ，又，与的夹角．  17.【答案】解：若选择条件：因为， 在中，由余弦定理可得， 由余弦定理可得，则， 因为，所以； 若选择条件：因为， 由正弦定理得，，即， 则， 因为，， 所以，因为，所以； 因为，所以，即，即， 又因为，所以， 由于的外接圆半径为，由正弦定理可得， 可得，所以， 由余弦定理可得， 所以．  18.【答案】解：由，得， 则成绩不高于分的人数为：， 成绩不高于分的人数为：， 则从不高于分的人中抽人，其中不高于分人数为：； 平均数． 因为在内共有人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件，乙复赛获优秀等级为事件，则 方法，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 法二：则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 19.【答案】解：取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； 取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为．   1 学科网（北京）股份有限公司 $