解答题专训09 条件概率（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题专训09 条件概率 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 条件概率 2 题型2 全概率公式 4 题型3 条件概率与统计 6 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 22 解题方法及技巧提炼 1.条件概率 (1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 2.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式. 3.常用结论 （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 题型通法及变式提升 题型1 条件概率 【例1】（25-26高三上北京大兴期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【解】（1）解：设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为种取法， 则，，可得， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为种取法， 设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球” 则，可得， 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率. （3）解：设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”， 事件“从甲袋中取到白球”， 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得， 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为； 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为， 根据全概率公式，可得， 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为. 求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 【变式1】（25-26高三下·北京大兴·期末）已知袋中装有个红球和个黄球，这个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出个球． (1)在第次摸出红球的条件下，第次摸出红球的概率； (2)设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望； (3)若摸出个红球得分，摸出个黄球得分，直接写出摸出球得分的数学期望． 【解】（1）在第次摸出红球的条件下，第次摸出红球的概率为． （2）随机变量的所有可能取值为 ； ； ． 数学期望． （3）设摸出球得分为，所以 ． 【变式2】（25-26高三下·北京通州·期中）已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球. (1)在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率； (2)设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望. 【解】（1）设事件为“第1次摸出红球”，事件为“第2次摸出红球”. 第1次摸出红球后，袋中剩余2个红球、2个黄球，共4个球， 因此第2次摸出红球的概率为：. （2）X为摸出红球的个数，所有可能取值为，从5个球中摸2个，总组合数为，分别计算概率： ； ； . 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 题型2 全概率公式 【例1】（25-26高三下·北京朝阳·期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个学校中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 【解】（1）记事件D：选取的这个人有“强基计划”报名资格，记事件E：此人来自A学校，记事件F：此人来自B学校，记事件G：此人来自C学校， 则，且E，F，G彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ． （2）由条件概率公式可得. 利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【变式1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【解】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 【变式2】（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，A，B两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了A，B两校高二年级各150名学生的答题数据，其中A校学生作答正确的人数为120，B校学生作答正确的人数为105． 假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计A校高二年级学生该题作答正确的概率； (2)从A，B两校高二年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望； 【解】（1）估计A校高二年级学生该题作答正确的概率. （2）设A为“从A校高二年级学生抽取1人做对”，则，， 设为“从校高二年级学生抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 ，依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. 题型3 条件概率与统计 【例1】（25-26高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【解】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 【变式1】（25-26高三上·北京·期中）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． (1)从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； (2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； (3)若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 【解】（1）2015至2020这六年中，丙有4年被认定为优质工程， 在这4年中，只有2015年甲、乙两个林场均被认定为优质工程， 所以概率为． （2）设事件A：优质工程的个数恰好为2． 甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， ． （3）变大． 去掉2016年的植树数据， 则甲林场植树共5年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共6年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共9年，其中优质工程有4年， 则. 【变式2】（24-25高三下·北京门头沟·期末）幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 【解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为 （2）幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故, 故分布列为 0 1 2 3 故 （3）来自于乙公司的概率大，理由如下： “模型来自于乙公司”，     “模型来自于丙公司”， “AI模型的编号为”， ，“AI模型的编号为”， ， “AI模型产生了AI幻觉”     则， 则 则, 由于 所以 , 由于,因此模型来自乙公司的概率大 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京大兴·期末）在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中不放回地随机抽出道题． (1)求第次抽到代数题且第次也抽到代数题的概率； (2)求在第次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的概率； (3)判断事件“第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”是否互相独立． 【解】（1）设“第1次抽到代数题”,“第2次抽到代数题”.第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率为 . （2）在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到代数题的概率为 . （3）第1次抽到代数题的概率， 第2次抽到代数题的概率. 所以， 由（1）知， 所以， 则事件“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”不相互独立. 2．（2026·陕西咸阳一模）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.2 0.5 0.3 球队胜率 0.5 0.6 0.8 (1)当甲出场比赛时，求球队赢球的概率; (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率; (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置?请说明安排理由. 【解】（1）设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 球队某场比赛赢球的概率为0.64. （2）由（1）知， ， 球员甲担当前卫的概率. （3）同（2）， ， 由于， 应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率. 3．（2026·广东广州·三模）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. (1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； (2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； (3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 【解】（1）由题意有， 所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为； （2）由题意有，因为，即，所以， 由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以， 所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为； （3）由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和， 按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份， 令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间， 所以， 所以. 所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为. 4．（2026·河南焦作·期末）2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享． (1)若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求和； (2)现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望． 【解】（1）根据题意可知，， ． （2）爸爸做经验分享的天数X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且， 故，，，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的期望公式可知，． 5．（25-26高二下·北京·期中）某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲员工 30天 20天 40天 10天 乙员工 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由． 【解】（1）设事件C＝“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”， 事件D＝“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”． 由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30， 乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40， 所以，； （2）设N1＝“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”， N2＝“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”， M1＝“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”， M2＝“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，． 因为， 所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐． 6．（25-26高二下·北京·期中）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知分别从A，B两家公司的调查问卷中随机选取120份和80份，统计数据如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. (1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率： (2)分别从该地区A和B快递公司的调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： (3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级，假设：小王从该地区A，B两家快递公司中随机选一家快递公司，再从该公司的调查问卷中随机抽取1份，抽到的问卷配送时效评价为“优秀”的概率为，抽到的问卷配送时效评价为“一般”的概率为，判断与的大小（结论不要求证明） 【解】（1）由题意得调查问卷中共有120份， 其中不低于75分的份数为，则， 故可估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率为； （2）由题意得A快递公司的样本调查问卷中不低于75分的概率为， 由题意得B快递公司的样本调查问卷中不低于75分的概率为， 而的可能取值为，可得， ，， 故其分布列为： X 0 1 2 P 其期望； （3）结论：， 由题意得A快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为，“一般”等级占比为； 而B快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为， “一般”等级占比为；由全概率公式得， ，故. 7．（25-26高三下·北京·阶段检测）某新能源汽车公司为测试A型和B型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力，用分别搭载A型和B型系统的汽车各测试了100次，其中A型系统成功避让80次，B型系统成功避让75次．假设每次测试相互独立，用频率估计概率． (1)估计A型系统每次测试中成功避让的概率； (2)若对B型系统再测试2次，对A型系统再测试1次，设X为其中成功避让的次数，求X的分布列和数学期望； (3)这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则A型和B型系统成功避让的概率都只有，若摄像头正确识别障碍物，则A型系统一定能成功避让，B型系统成功避让的概率为，设A型、B型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为，，试比较，的大小．（结论不要求证明） 【解】（1）估计型系统每次测试中成功避让的概率为. （2）由题，型系统每次测试中成功避让的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 故. （3）设为“型系统成功避让”，为“型系统的摄像头正确识别障碍物”， 则，，，， 而，即，解得； 同理，可得，解得，故. 8．（24-25高二下·北京东城·期末）甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为，，. (1)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； (2)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率； (3)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率. 【解】（1）因为甲机器生产的产品的合格率为，所有产品合格与否相互独立， 设甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格为事件， 所以. （2）设从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格为事件， 从甲机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从乙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从甲丙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件， 恰有2件产品合格的情况有：，，， 所以 , 所以从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率为. （3）因为三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品， 设该产品为甲机器生产为事件，该产品为乙机器生产为事件， 该产品为丙机器生产为事件，这件产品合格为事件， 根据已知条件有：， 根据全概率公式有： . 9．（2026高三·北京·专题练习）为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．高三张同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． (3)若该同学在 A 区域投篮n次，投中次数记为；在 B、C 区域各投篮n次，投中次数分别记为​、​，记，​，比较与的大小（直接写出结果即可） 【解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， “该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. （3）由题意可得，且相互独立， 因为，，由独立性得： ， ， 则有. 10．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 【解】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. （2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. （3）的所有可能取值为，60，． ， ， ， 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 11．（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 【解】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 由题意的可能取值为0，1，2，3，4 ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 ． （3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． 12．（2026·广东茂名·二模）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 【解】（1）依题意，平均值 ， ， 上四分位数落在区间，且等于. （2）由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩， 在之内的4次，在之内的抽取了2次， 所以可取的值有：0，1，2， ，，， 分布列为： 0 1 2 . （3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，， 则相互互斥，所以动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率， 设事件B为＂动作优化成功＂，则， 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 ， 故， 由解得，又的取值范围是. 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：， 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率， 由，得，又的取值范围是. 创新提升 13．（2026·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． (1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 (2)对任意一次测试，证明：． (3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 【解】（1）， ． （2）， 要证明， 需证明． 等式右边： ． 等式左边： 因为， 所以 ． 等式左右两边相等，因此成立． （3）由（2）得，因为， 所以（1）中机器人的检测效果一般． 14．（2026·四川·模拟预测）某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表： 性别 安全知识测试成绩 合计 不够良好 良好 男 800 300 1100 女 700 200 900 合计 1500 500 2000 (1)根据小概率的独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？ (2)设事件“选到的学生是男生”，事件“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小． 其中，表示事件发生的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【解】（1）零假设为：该校学生了解安全知识测试成绩与性别没有关联. 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，可以推断成立， 即认为了解安全知识测试成绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于. （2）因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以. 15．（2026·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：当球在甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人），的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有的概率传给甲，的概率传给乙．初始时球在甲处，每次传球是相互独立的． (1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率； (2)记次传球后，球在甲处的概率为，在乙处的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）求和的通项公式． 【解】（1）两次传球后球在乙处：只有“甲→甲→乙”这一种情况.第一次甲传给甲概率是，第二次甲传给乙概率是，分步用乘法，所以概率为. 三次传球后球在丙处：只有“甲→甲→乙→丙”这一种情况.第一次甲传给甲概率，第二次甲传给乙概率，第三次乙传给丙概率，分步用乘法，概率为. （2）（i）表示次传球后球在乙处的概率，它有两种情况： 第次球在甲处，第次甲传给乙，概率为； 第次球在丙处，第次丙传给乙，概率为. 所以. 则. 又，. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.   （i i）由（i）可知，所以. 因为， 则， 所以，符合上式， 所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训09 条件概率 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 条件概率 2 题型2 全概率公式 2 题型3 条件概率与统计 3 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 1.条件概率 (1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 2.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式. 3.常用结论 （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 题型通法及变式提升 题型1 条件概率 【例1】（25-26高三上北京大兴期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 【变式1】（25-26高三下·北京大兴·期末）已知袋中装有个红球和个黄球，这个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出个球． (1)在第次摸出红球的条件下，第次摸出红球的概率； (2)设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望； (3)若摸出个红球得分，摸出个黄球得分，直接写出摸出球得分的数学期望． 【变式2】（25-26高三下·北京通州·期中）已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球. (1)在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率； (2)设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望. 题型2 全概率公式 【例1】（25-26高三下·北京朝阳·期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个学校中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【变式1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【变式2】（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，A，B两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了A，B两校高二年级各150名学生的答题数据，其中A校学生作答正确的人数为120，B校学生作答正确的人数为105． 假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计A校高二年级学生该题作答正确的概率； (2)从A，B两校高二年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望； 题型3 条件概率与统计 【例1】（25-26高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【变式1】（25-26高三上·北京·期中）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． (1)从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； (2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； (3)若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 【变式2】（24-25高三下·北京门头沟·期末）幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京大兴·期末）在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中不放回地随机抽出道题． (1)求第次抽到代数题且第次也抽到代数题的概率； (2)求在第次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的概率； (3)判断事件“第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”是否互相独立． 2．（2026·陕西咸阳一模）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.2 0.5 0.3 球队胜率 0.5 0.6 0.8 (1)当甲出场比赛时，求球队赢球的概率; (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率; (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置?请说明安排理由. 3．（2026·广东广州·三模）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. (1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； (2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； (3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 4．（2026·河南焦作·期末）2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享． (1)若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求和； (2)现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望． 5．（25-26高二下·北京·期中）某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲员工 30天 20天 40天 10天 乙员工 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由． 6．（25-26高二下·北京·期中）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知分别从A，B两家公司的调查问卷中随机选取120份和80份，统计数据如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. (1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率： (2)分别从该地区A和B快递公司的调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： (3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级，假设：小王从该地区A，B两家快递公司中随机选一家快递公司，再从该公司的调查问卷中随机抽取1份，抽到的问卷配送时效评价为“优秀”的概率为，抽到的问卷配送时效评价为“一般”的概率为，判断与的大小（结论不要求证明） 7．（25-26高三下·北京·阶段检测）某新能源汽车公司为测试A型和B型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力，用分别搭载A型和B型系统的汽车各测试了100次，其中A型系统成功避让80次，B型系统成功避让75次．假设每次测试相互独立，用频率估计概率． (1)估计A型系统每次测试中成功避让的概率； (2)若对B型系统再测试2次，对A型系统再测试1次，设X为其中成功避让的次数，求X的分布列和数学期望； (3)这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则A型和B型系统成功避让的概率都只有，若摄像头正确识别障碍物，则A型系统一定能成功避让，B型系统成功避让的概率为，设A型、B型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为，，试比较，的大小．（结论不要求证明） 8．（24-25高二下·北京东城·期末）甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为，，. (1)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； (2)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率； (3)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率. 9．（2026高三·北京·专题练习）为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．高三张同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． (3)若该同学在 A 区域投篮n次，投中次数记为；在 B、C 区域各投篮n次，投中次数分别记为​、​，记，​，比较与的大小（直接写出结果即可） 10．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 11．（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 12．（2026·广东茂名·二模）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 创新提升 13．（2026·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． (1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 (2)对任意一次测试，证明：． (3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 14．（2026·四川·模拟预测）某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表： 性别 安全知识测试成绩 合计 不够良好 良好 男 800 300 1100 女 700 200 900 合计 1500 500 2000 (1)根据小概率的独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？ (2)设事件“选到的学生是男生”，事件“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小． 其中，表示事件发生的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 15．（2026·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：当球在甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人），的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有的概率传给甲，的概率传给乙．初始时球在甲处，每次传球是相互独立的． (1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率； (2)记次传球后，球在甲处的概率为，在乙处的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）求和的通项公式． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $