专题02 分式方程及实际应用（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦分式方程从解法到应用的全链条训练，以题型分层构建知识逻辑，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解分式方程|5题|含直接求解、去分母转化、过程纠错|从基本解法到易错点分析，夯实运算基础| |字母参数|4题|已知解求参数、解的正负范围|衔接方程解的概念，深化推理意识| |增根与无解|4题|增根求参数、无解分类讨论|突破分式方程特殊情形，培养严谨思维| |实际应用|7题|行程、工程、经济等情境建模|关联生活实际，发展模型观念与应用意识| |数学探究|5题|新定义运算、行列式、友好数对等|拓展数学眼光，提升创新与探究能力|

专题02 分式方程及实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解分式方程（重点） 1 题型二、求分式方程中的字母参数（重点） 3 题型三、增根问题和无解问题（难点） 5 题型四、分式方程的实际应用 7 题型五、分式方程的数学问题探究 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解分式方程 1．（2026·甘肃武威·二模）分式方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解，再验证分母是否符合要求即可得到结果． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得， 当时，， ∴是原分式方程的解． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察两个分母可知，与互为相反数，先对原方程变形，确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母即可得到去分母后的整式方程． 【详解】解：∵， ∴原方程可变形为， 将方程两边同时乘最简公分母，得：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 【答案】 10 1 【分析】（1）等式两边同乘，化简后解方程即可； （2）将原方程变形为，化简后解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得， 经检验是分式方程的根； （2）由题意得 经检验是分式方程的根． 4．（25-26八年级下·四川乐山·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 5．（2026·山西·一模）计算及问题解答 下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：方程两边同乘，得，……第一步 ，……第二步 ．……第三步 检验：当时，． 所以是分式方程的解……第四步 (1)任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． (2)任务二：请直接写出该分式方程的解． 【答案】(1)一，去分母时方程右边的1没有乘最简公分母； (2)该分式方程的解为 【分析】根据解分式方程的步骤进行解答即可； 根据解分式方程的正确步骤解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的解法从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时方程右边的1没有乘最简公分母． （2）解： ． 解：方程两边同乘，得 ， ， 检验：当时，． 所以是分式方程的解． 题型二、求分式方程中的字母参数 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入分式方程，再解方程即可得解． 【详解】解：是分式方程的根， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ， ， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且，解得：且． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解的定义等知识． （1）将代入方程，可得方程为，解分式方程即可； （2）解分式方程得，根据方程解为正数，得到且，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， ∵方程解为正数， ∴，且， 即，且， ∴，且． 题型三、增根问题和无解问题 1．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 4．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据方程的解是得出答案； （2）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得出方程的解，再根据有增根可得，然后求出m的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 题型四、分式方程的实际应用 1．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【详解】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 2．（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 3．（25-26八年级上·山西忻州·期末）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 4．（2026·山西朔州·一模）为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 5．（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 6．（2026·辽宁本溪·二模）某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)款纪念品每件元，款纪念品每件元 (2)共有种购买方案 【分析】（1）设款纪念品每件元，则款纪念品每件元，根据题意，列分式方程求解即可； （2）设购买种纪念品件，购买种纪念品件，根据题意，列二元一次方程讨论求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品每件元，则款纪念品每件元， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：款纪念品每件元，款纪念品每件元； （2）解：设购买种纪念品件，购买种纪念品件， ， ， ，是正整数， 或或， 答：共有种购买方案． 7．（2026·重庆·模拟预测）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 题型五、分式方程的数学问题探究 1．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果． 【详解】解：∵由新定义， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 2．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么______________． 【答案】4 【分析】根据二阶行列式的运算法则列出分式方程，解分式方程并检验得到的值． 【详解】解：由二阶行列式运算法则，可得： 整理得： 方程两边同乘以得： 解得： 检验：当时，，， ∴是原方程的解． 3．（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了已知分式方程的解求参数， 设“？”代表的数为m，将分式方程转化为整式方程，利用增根使分母为零且满足整式方程的性质，代入求解m． 【详解】设“？”代表的数为m，则原方程为． 去分母得， ∵方程的增根是， ∴把代入得， ∴ 故答案为：． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； （2）解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，； （3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，那么的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：， ， ∴， 检验：当时，分母， 因此是原分式方程的解． 2．（25-26九年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C．每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 【答案】B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多8天，即实际生产提前8天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原方程为，且 ∴方程两边同时乘以最简公分母，得 整理得. 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 5．（2026·山东聊城·一模）《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 6．（2026·河南周口·二模）当分式与的值互为相反数时，x的值为_____． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两数之和为列出分式方程，解分式方程并检验即可得到结果． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，两边同乘，得： 去括号，得： 合并同类项，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 7．（2026·山东青岛·二模）两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据压强公式，水平桌面物体对桌面的压力等于物体重力，结合A、B对桌面的压强之比为的等量关系列方程即可． 【详解】解：设A铁块底面积为，则B铁块底面积为， 水平桌面上，铁块对桌面的压力等于铁块的重力， 根据压强公式可得：铁块A对桌面的压强为，铁块B对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， 整理得：． 8．（2026·江西九江·二模）如图所示的电路总电阻为，若（总电阻与，的关系为），则________Ω． 【答案】25 【分析】将，代入，解分式方程即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同时乘以得， ∴． 9．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查因式分解、分式的化简求值、完全平方公式以及分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过因式分解验证结论①；利用完全平方公式求值，即可判定结论②；由平方非负性即可证明结论③；通过解分式方程，即可判定结论④． 【详解】解：对于结论①， ，成立； 对于结论②，当，时，，故，成立； 对于结论③，，故，成立； 对于结论④，方程即， ， ， ，当时，解整式方程得，此为原分式方程的增根，故原方程无解， 当时，原分式方程无解， 当或时，分式方程无解，故结论④错误， 故答案为：①②③． 11．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以： ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以： ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 12．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 13．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据此方程的解是正数，即可求解． 【详解】（1）解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 把代入整式方程得：， 解得； （2）解：去分母得：， 解得， ∵此方程的解是正数， ∴且， ∴且． 14．（2026·重庆·二模）为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】(1)甲工程队计划施工280米，乙工程队计划施工80米 (2)50 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，能够正确把握题目中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意可设乙工程队计划施工米，则甲工程队计算施工米，根据工作总量=工作时间工作效率，即可列式求解； （2）根据题意可设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元，根据工作时间=工作总量工作效率，即可列式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队计划施工米，则甲工程队计算施工米， 由题意得，， 解之得， ， 则甲工程队计算施工280米，乙工程队计算施工80米； （2）解：设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元， 由题意得，， 解之得， 经检验符合题意， 则， 即甲工程队每月施工费用为50万元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式方程及实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解分式方程（重点） 1 题型二、求分式方程中的字母参数（重点） 2 题型三、增根问题和无解问题（难点） 2 题型四、分式方程的实际应用 3 题型五、分式方程的数学问题探究 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解分式方程 1．（2026·甘肃武威·二模）分式方程的解是（） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 4．（25-26八年级下·四川乐山·期中）解下列方程： (1) (2) 5．（2026·山西·一模）计算及问题解答 下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：方程两边同乘，得，……第一步 ，……第二步 ．……第三步 检验：当时，． 所以是分式方程的解……第四步 (1)任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． (2)任务二：请直接写出该分式方程的解． 题型二、求分式方程中的字母参数 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． 题型三、增根问题和无解问题 1．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 4．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 题型四、分式方程的实际应用 1．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西忻州·期末）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 4．（2026·山西朔州·一模）为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 5．（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 6．（2026·辽宁本溪·二模）某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 7．（2026·重庆·模拟预测）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 题型五、分式方程的数学问题探究 1．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么______________． 3．（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是___________． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，那么的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26九年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C．每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 5．（2026·山东聊城·一模）《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南周口·二模）当分式与的值互为相反数时，x的值为_____． 7．（2026·山东青岛·二模）两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为_____． 8．（2026·江西九江·二模）如图所示的电路总电阻为，若（总电阻与，的关系为），则________Ω． 9．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 11．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）解分式方程： (1) (2) 12．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 13．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 14．（2026·重庆·二模）为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $