第5章 分式（知识清单）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学分式单元知识清单系统梳理了分式的核心内容，涵盖分式概念、基本性质、运算（乘除、加减、混合）、分式方程及实际应用五大知识范畴，为学生搭建了从“概念理解”到“性质运用”再到“问题解决”的递进式学习支架。 清单通过“分类型例题解析”和“解题步骤可视化”呈现知识体系，如将“分式值为零的条件”拆解为“分子为零且分母不为零”，培养学生的抽象能力和运算能力。特别设计“实际应用情境题”（如行程、工程问题）和“易错点标注”（如分式方程必须验根），不同层次学生可高效掌握，教师能据此设计分层教学，提升课堂实效。

第5章 分式 1.分式的概念：这些代数式都表示两个整式相除,且除式中含有字母,像这样的代数式就叫作 .对于任意一个分式,分母都不能为 . 2.分式的三个要素(条件): ①形如的式子； ②A,B为整式； ③分母B中含有字母.这三个条件缺一不可. 3.分式与整式的区别：分式的分母中含有字母,而整式没有分母或有分母但分母中不含有字母；整式中的字母可以取任意实数,但分式中的字母的取值不能使分母等于0. 4.分式是否有意义：分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时,分式就没有意义. 5.分式有无意义的关键是看分母是不是 ,与 无关. 6.注意：①分母不为零,并不是说分母中的字母不能为零,而是表示分母的式子的值不能为零.②如果没有特别说明,所遇到的分式都是有意义的,即分式中的分母不为零.例如分式就隐含了ab≠0,即a≠0且b≠0的条件. 7.分式的值为零的条件：分式的 且 时,分式的值才能为零. 8.求分式的值：直接将字母的值代入分式中,通过计算,便可得分式的值. 9.分式的基本性质 (1)文字描述：分式的分子与分母都 同一个 的整式,分式的值 . (2)用式子表示： . 10.约分：把一个分式的分子和分母的 约去,叫作分式的约分.分式约分的依据：分式的基本性质：,其中A,B,M是整式。 11.最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫作 . 12.找公因式的方法： ①当分子、分母都是单项式时,先找分子系数、分母系数的 ,再找相同字母的 ,它们的积就是公因式； ②当分子或分母为多项式时,先把多项式 ,再确定公因式. 13.约分的方法： ①先确定分子、分母的公因式； ②根据分式的基本性质,分子、分母都除以它们的公因式. 14.用整体代入法求解分式的值的基本步骤 以：“已知x-2y=0，求的值”为例. ①表示：通过等式x-2y=0的化简，得x用y表示，即：x=2y； ②代入：将x=2y代入分式，得到原式= = =﹣6 ③计算：原式= =﹣6 15.利用分式的意义和分式的约分,可以进行一些多项式的除法运算.把两个多项式相除先表示成分式,然后通过分解因式、约分等把分式化简,用整式或最简分式表示所求的商. 16.分式乘除法的法则 法则内容 字母表示 乘法法则 分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母 除法法则 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘 17.分式乘除法中约分的技巧： (1)先确定符号,分式的分子或分母的系数是负数时,一般要先把负号提到分式的前边.对于分式的符 号、分式分子的符号、分式分母的符号同时改变其中的两个,分式的值不变.在进行相乘、相除的运算时,注意同号得正,异号得负的原则. (2)若分式的分子、分母是单项式,将它们的系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积,作为分子与分母的公因式约去,就得到了运算结果；若分式的分子、分母是多项式,则先将它们分解因式, 然后确定分子与分母的公因式并将其约去,得到运算结果. (3)分式的乘除混合运算,若没有其他附加条件(如括号),则应按照从左到右的顺序进行.一般先把算式 中除式的分子、分母颠倒位置,将除法运算转化为乘法运算再计算,当除式是整式时,可以把整式看作 分母是1的式子. (4)分式运算的结果是最简分式或整式. 18.分式乘方,把分子、分母分别乘方.用式子表示 . 19.同分母的分式相加减,分式的分母不变,把分子相加减.用式子表示为 20.分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫作 .分式通分的依据是分式的基本性质： . 21.最简公分母：各分母的系数的最小公倍数与各分母里所有因式的最高次幂的积. 22.确定最简公分母的方法： ①若分母是单项式,应取分母的系数的 与所有字母的 的积作为最简公分母； ②若分母是多项式,应先进行 ,再取分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. 23.分式通分的步骤： ①将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多项式时,应先进行因式分解； ②确定最简公分母； ③将分子、分母同乘同一个因式使分母变为最简公分母. 24.异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为 .异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变、分子相加减的形式； ③合并：分子去括号,合并同类项； ④约分：分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式. 25.分式加减运算的结果要化为最简分式或整式. 26.分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的,要先算括号里面的,计算结果要化为最简分式或整式. 27.只含分式,或分式和整式,并且分母里含有未知数的方程叫作 .分式方程的两个重要特征：一是方程；二是分母中含有 . 28.分式方程的概念是一个形式概念,即不能先化简再判断它是不是分式方程.如方程： 是一个分式方程. 29.解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程.解分式方程的步骤： 30.理解增根： ①增根是把分式方程去分母后化成的整式方程的根,是使原分式方程 的根,要舍去； ②当所求整式方程的根使最简公分母为零时,原分式方程会出现无意义的分式,从而整式方程的根不是原分式方程的根,所以此时的根是增根. 31.检验是解分式方程中十分重要的一个过程,切不可省略. 32.列分式方程解应用题 列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：分析问题,寻找已知量、未知量及相等关系； ②设：设恰当 的未知数； ③列：根据相等关系列出分式方程； ④解：求出所列方程的解； ⑤验：首先检验所求的解是不是分式方程的解,然后检验所求的解是否符合实际； ⑥答：写出答案. 1.区别分式有意义与分式值为零 例1 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 2.求分式的值 例2 计算： （1）当x为何值时，分式的值为0 （2）当x=4时，求的值 3.整体代入法求分式的值 例3 已知，，则 。 4.根据分式的性质进行变形或求值 例4 在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 5.根据比例关系求分式的值 例5 （2026·河南商丘·一模）如果，那么的值为____________． 6.复杂分式（整式除以整式）的化简 例6 计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 7.分式的乘除运算 例7 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 8.分式的加减运算 例8 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9.分式的化简并求值 例9 （2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中． 10.根据结果求分式加减的过程 例10 （24-25八年级上·湖南怀化·期中）A，B为常数，如果，则_______，_______ 11.定义性问题 例11 （25-26八年级上·河北邢台·期末）对于任意两个非零的有理数a，b，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为___________． 12.解分式方程 例12 解方程： (1)； (2)． 13.分式方程有增根的字母参数讨论 例13 若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 14.分式方程无解时的字母参数的讨论 例14 （24-25八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 15.整体法求分式方程的解 例15 （25-26八年级上·山东淄博·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于________． 16.分式方程的实际应用——行程问题 例16 （2026·重庆武隆·二模）列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 17.分式方程的实际应用——工程问题 例17 （2026·山东临沂·一模）随着电商行业的蓬勃发展，智能物流分拣系统被广泛应用于快递转运中心．为了提升包裹处理速度，某物流中心引入了一套智能分拣机器人系统． (1)若人工分拣一个包裹的成本为元，相比人工分拣，用智能机器人分拣的成本可降低．求用智能机器人分拣一个包裹的成本是多少元？（用含的代数式表示） (2)若要分拣12000个包裹，用这套智能分拣机器人单独作业比5名工人同时分拣所需的时间少4小时，已知这套智能分拣机器人的分拣效率是一名工人的6倍，求这套智能分拣机器人每小时可分拣包裹多少个． 18.分式方程的实际应用——销售问题 例18 （2026·重庆武隆·一模）列方程解下列问题： 校门口的创新文具店，售卖，两款中考专用套装文具，款的售价比款的售价高8元，3套款文具与5套款文具的销售总金额相同． (1)求，两款套装文具的售价分别是多少元？ (2)，两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中款高出部分的金额比款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进款套装文具的数量比用2400元购进款套装文具的数量少100套．求款套装文具的进价是多少元？ 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）使分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西吕梁·二模）下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 5．（2026·河南周口·模拟预测）中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·一模）要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 7．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若，则的值为________． 8．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）方程有增根，则的值是________． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）已知，则的值为________． 10．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 11．（2026·陕西安康·模拟预测）解方程：． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 13．（2026年陕西西安市高新区部分学校九年级第六次模拟数学试题）先化简，再求值：，其中． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式 1.分式的概念：这些代数式都表示两个整式相除,且除式中含有字母,像这样的代数式就叫作 分式 .对于任意一个分式,分母都不能为 零 . 2.分式的三个要素(条件): ①形如的式子； ②A,B为整式； ③分母B中含有字母.这三个条件缺一不可. 3.分式与整式的区别：分式的分母中含有字母,而整式没有分母或有分母但分母中不含有字母；整式中的字母可以取任意实数,但分式中的字母的取值不能使分母等于0. 4.分式是否有意义：分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时,分式就没有意义. 5.分式有无意义的关键是看分母是不是 零 ,与 分子 无关. 6.注意：①分母不为零,并不是说分母中的字母不能为零,而是表示分母的式子的值不能为零.②如果没有特别说明,所遇到的分式都是有意义的,即分式中的分母不为零.例如分式就隐含了ab≠0,即a≠0且b≠0的条件. 7.分式的值为零的条件：分式的 分子为零 且 分母不为零 时,分式的值才能为零. 8.求分式的值：直接将字母的值代入分式中,通过计算,便可得分式的值. 9.分式的基本性质 (1)文字描述：分式的分子与分母都 乘(或除以) 同一个 不等于零 的整式,分式的值 不变 . (2)用式子表示： ,(其中M是不等于零的整式) . 10.约分：把一个分式的分子和分母的 公因式 约去,叫作分式的约分.分式约分的依据：分式的基本性质：,其中A,B,M是整式。 11.最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫作 最简分式 . 12.找公因式的方法： ①当分子、分母都是单项式时,先找分子系数、分母系数的 最大公因数 ,再找相同字母的 最低次幂 ,它们的积就是公因式； ②当分子或分母为多项式时,先把多项式 分解因式 ,再确定公因式. 13.约分的方法： ①先确定分子、分母的公因式； ②根据分式的基本性质,分子、分母都除以它们的公因式. 14.用整体代入法求解分式的值的基本步骤 以：“已知x-2y=0，求的值”为例. ①表示：通过等式x-2y=0的化简，得x用y表示，即：x=2y； ②代入：将x=2y代入分式，得到原式= = =﹣6 ③计算：原式= =﹣6 15.利用分式的意义和分式的约分,可以进行一些多项式的除法运算.把两个多项式相除先表示成分式,然后通过分解因式、约分等把分式化简,用整式或最简分式表示所求的商. 16.分式乘除法的法则 法则内容 字母表示 乘法法则 分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母 除法法则 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘 17.分式乘除法中约分的技巧： (1)先确定符号,分式的分子或分母的系数是负数时,一般要先把负号提到分式的前边.对于分式的符 号、分式分子的符号、分式分母的符号同时改变其中的两个,分式的值不变.在进行相乘、相除的运算时,注意同号得正,异号得负的原则. (2)若分式的分子、分母是单项式,将它们的系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积,作为分子与分母的公因式约去,就得到了运算结果；若分式的分子、分母是多项式,则先将它们分解因式, 然后确定分子与分母的公因式并将其约去,得到运算结果. (3)分式的乘除混合运算,若没有其他附加条件(如括号),则应按照从左到右的顺序进行.一般先把算式 中除式的分子、分母颠倒位置,将除法运算转化为乘法运算再计算,当除式是整式时,可以把整式看作 分母是1的式子. (4)分式运算的结果是最简分式或整式. 18.分式乘方,把分子、分母分别乘方.用式子表示 (n为正整数) . 19.同分母的分式相加减,分式的分母不变,把分子相加减.用式子表示为 20.分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫作 通分 .分式通分的依据是分式的基本性质： (M为整式,且M≠0) . 21.最简公分母：各分母的系数的最小公倍数与各分母里所有因式的最高次幂的积. 22.确定最简公分母的方法： ①若分母是单项式,应取分母的系数的 最小公倍数 与所有字母的 最高次幂 的积作为最简公分母； ②若分母是多项式,应先进行 因式分解 ,再取分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. 23.分式通分的步骤： ①将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多项式时,应先进行因式分解； ②确定最简公分母； ③将分子、分母同乘同一个因式使分母变为最简公分母. 24.异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为 .异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变、分子相加减的形式； ③合并：分子去括号,合并同类项； ④约分：分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式. 25.分式加减运算的结果要化为最简分式或整式. 26.分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的,要先算括号里面的,计算结果要化为最简分式或整式. 27.只含分式,或分式和整式,并且分母里含有未知数的方程叫作 分式方程 .分式方程的两个重要特征：一是方程；二是分母中含有 未知数 . 28.分式方程的概念是一个形式概念,即不能先化简再判断它是不是分式方程.如方程： 是一个分式方程. 29.解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程.解分式方程的步骤： 30.理解增根： ①增根是把分式方程去分母后化成的整式方程的根,是使原分式方程 无意义 的根,要舍去； ②当所求整式方程的根使最简公分母为零时,原分式方程会出现无意义的分式,从而整式方程的根不是原分式方程的根,所以此时的根是增根. 31.检验是解分式方程中十分重要的一个过程,切不可省略. 32.列分式方程解应用题 列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：分析问题,寻找已知量、未知量及相等关系； ②设：设恰当 的未知数； ③列：根据相等关系列出分式方程； ④解：求出所列方程的解； ⑤验：首先检验所求的解是不是分式方程的解,然后检验所求的解是否符合实际； ⑥答：写出答案. 1.区别分式有意义与分式值为零 例1 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 2.求分式的值 例2 计算： （1）当x为何值时，分式的值为0 （2）当x=4时，求的值 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可； （2）把直接代入分式，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意， ∵分式的值为0， ∴当x+1=0，即时，分式值为0； （2）当x=4时， = = ； 3.整体代入法求分式的值 例3 已知，，则 。 【答案】2 【详解】 因为，所以 原式=. 4.根据分式的性质进行变形或求值 例4 在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 5.根据比例关系求分式的值 例5 （2026·河南商丘·一模）如果，那么的值为____________． 【答案】 【分析】根据x与y的比例关系，设参数表示x和y，再代入分式计算约分，即可得到结果. 【详解】解：， 设， ∴. 6.复杂分式（整式除以整式）的化简 例6 计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． （1）分子分母都约去公因式即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可； （3）先写成分式的形式，然后分子分母都约去公因式即可； （4）先写成分式的形式，再把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7.分式的乘除运算 例7 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 8.分式的加减运算 例8 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. （3）根据异分母分式的加减法法则计算即可． （4）根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：（1）原式      ； （4）解：原式 ． 9.分式的化简并求值 例9 （2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 10.根据结果求分式加减的过程 例10 （24-25八年级上·湖南怀化·期中）A，B为常数，如果，则_______，_______ 【答案】 4 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 11.定义性问题 例11 （25-26八年级上·河北邢台·期末）对于任意两个非零的有理数a，b，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的化简求值．根据新运算定义，由可得，进而得到，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：由，得，即，所以， 则， 代入，得， 故答案为： 12.解分式方程 例12 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 13.分式方程有增根的字母参数讨论 例13 若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 14.分式方程无解时的字母参数的讨论 例14 （24-25八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)② (2)的值为或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据解题过程进行判断即可； （2）将原分式方程化为，然后分两种情况讨论，求出结果即可． 【详解】（1）解：上述材料中解题过程体现的数学思想是分类讨论思想； 故答案为：② （2）解：， 去分母得：， 整理得：， ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当时，，解得； 综上所述，的值为或2． 15.整体法求分式方程的解 例15 （25-26八年级上·山东淄博·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于________． 【答案】11或12 【分析】本题考查已知方程的解求参数的值，通过观察已知方程的解的规律，将给定方程进行变量代换，转化为标准形式，利用解的特征求解即可． 【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第n个方程为， 其解为或． 对于方程 ，令，则． 代入原方程得：，整理得：， 此方程形式与已知规律一致， 故其解为或． ∴ 或， ∴或． ∵有一个解为， ∴或，解得或； 故答案为：11或12． 16.分式方程的实际应用——行程问题 例16 （2026·重庆武隆·二模）列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 【答案】(1)去年有3万人参赛，今年有万人参赛 (2)甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时 【分析】（1）设去年有万人参赛，则今年有万人参赛，根据“今年与去年共有万人参赛”列方程求解即可； （2）设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时，根据“甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年有万人参赛，则今年有万人参赛， 根据题意得， 解得， ∴今年参赛的人数为（万人）， 答：去年有3万人参赛，今年有万人参赛； （2）解：设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴乙全程的平均速度为（公里/小时）， 答：甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时． 17.分式方程的实际应用——工程问题 例17 （2026·山东临沂·一模）随着电商行业的蓬勃发展，智能物流分拣系统被广泛应用于快递转运中心．为了提升包裹处理速度，某物流中心引入了一套智能分拣机器人系统． (1)若人工分拣一个包裹的成本为元，相比人工分拣，用智能机器人分拣的成本可降低．求用智能机器人分拣一个包裹的成本是多少元？（用含的代数式表示） (2)若要分拣12000个包裹，用这套智能分拣机器人单独作业比5名工人同时分拣所需的时间少4小时，已知这套智能分拣机器人的分拣效率是一名工人的6倍，求这套智能分拣机器人每小时可分拣包裹多少个． 【答案】(1)元 (2)个 【分析】（1）智能机器人分拣成本比人工降低，即机器人成本为人工成本的，据此列式即可； （2）设一名工人每小时分拣个包裹，则机器人每小时分拣个；根据“机器人单独分拣时间比5名工人同时分拣时间少4小时”列分式方程求解． 【详解】（1）解：用智能机器人分拣一个包裹的成本是：（元）． （2）解：设一名工人每小时可分拣包裹x个，则智能分拣机器人每小时可分拣包裹个，根据题意，可列方程： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 即， 即这套智能分拣机器人每小时可分拣包裹个． 18.分式方程的实际应用——销售问题 例18 （2026·重庆武隆·一模）列方程解下列问题： 校门口的创新文具店，售卖，两款中考专用套装文具，款的售价比款的售价高8元，3套款文具与5套款文具的销售总金额相同． (1)求，两款套装文具的售价分别是多少元？ (2)，两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中款高出部分的金额比款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进款套装文具的数量比用2400元购进款套装文具的数量少100套．求款套装文具的进价是多少元？ 【答案】(1)款套装文具的售价是20元，款套装文具的售价是12元 (2)16元 【详解】解：(1)设款套装文具的售价是元，则款套装文具的售价是元， 由题意列方程， 解得， 则． 答：款套装文具的售价是20元，款套装文具的售价是12元； (2)设款套装文具的进价中超出其售价一半的部分为元， 由题意列方程， 解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ． 答：款套装文具的进价是16元． 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）使分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 分式有意义的条件是分母不等于0 ∴ 对于分式，需满足 解得． 2．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 4．（2026·山西吕梁·二模）下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 【答案】C 【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可解答． 【详解】解： 原方程为，且 ， A．去分母时，方程两边同时乘即可化为整式方程，因此选项A正确； B．去分母后整理得 ，因此选项B正确； C．解整式方程 ，得；将代入原方程分母，得 ，分母为零，分式无意义，因此是增根，原分式方程无解；即选项C错误，选项D正确． 5．（2026·河南周口·模拟预测）中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原计划每日行 ，根据时间路程速度，结合实际比原计划提前1日到达的等量关系，列出分式方程即可． 【详解】解：设运输这批公粮原计划每日行 ，则实际每日行 ， 可得原计划所需天数为，实际所需天数为， ∵实际比原计划提前1日到达，即原计划天数比实际天数多， ∴． 6．（2026·河北邯郸·一模）要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】先对原式通分化简，再根据分式值为整数的条件判断选项，找出不符合要求的值． 【详解】首先对原式变形整理 ∵ ，，分式分母不为0，得 ∴ 原式 通分后计算分子得： ∴ 原式 将选项依次代入验证： A． 时， 是整数，符合要求； B． 时， 是整数，符合要求； C． 时， 是整数，符合要求； D． 时， 不是整数，不符合要求． 因此的值不能是7． 7．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）方程有增根，则的值是________． 【答案】0 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义确定增根的值，再代入整式方程计算即可得到的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得： ， 整理得 ， 原分式方程有增根， ， 解得， 把代入得： 解得． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）已知，则的值为________． 【答案】2 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 10．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 11．（2026·陕西安康·模拟预测）解方程：． 【答案】2 【详解】解：， 等式两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验：将代入最简公分母中，最简公分母不为， ∴是原方程的解． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（2026年陕西西安市高新区部分学校九年级第六次模拟数学试题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 【答案】(1)甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品 (2)“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 (3) 【分析】（1）设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品，列分式方程求解即可； （2）设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为，“手工体验区”的平均单位面积人流量为，计算可知“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）用含的代数式表示出原面积和扩建后的面积，根据扩建后的面积是原来面积的倍，可得，根据的取值范围可以求出的取值范围． 【详解】（1）（1）解：设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品； （2）解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高， 理由如下： 设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为， “手工体验区”的面积为， 则“手工体验区”的平均单位面积人流量为， ， ，，， ， ， 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）解：①由题意得：原来的面积为， 扩建后的面积为， 扩建后的面积是原来面积的倍， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $