专题01 矩形和菱形（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形与菱形核心性质，通过九类题型实现从基础计算到综合探究的能力递进，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形对角线问题|5题|结合对角线性质的计算与证明|以矩形对角线相等且平分性质为基础，延伸至动态中点问题| |折叠问题|5题|矩形折叠中的全等与轴对称应用|通过折叠构建轴对称模型，强化空间观念与推理意识| |矩形/菱形证明|6题|判定定理的直接与间接应用|围绕定义与判定定理，建立“性质-判定”双向推理逻辑| |网格与坐标系问题|8题|图形与坐标、网格作图结合|体现数形结合思想，培养数学语言表达能力| |存在性问题|3题|动态几何中的矩形/菱形判定|综合性质与方程思想，发展创新意识与问题解决能力|

专题01 矩形和菱形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、矩形的对角线问题探究（常考点） 1 题型二、折叠问题探究（常考点） 4 题型三、矩形的证明（重点） 11 题型四、菱形的对角线问题探究（常考点） 15 题型五、菱形的证明（重点） 18 题型六、菱形相关的尺规作图问题 23 题型七、矩形与菱形的网格作图问题 27 题型八、矩形与菱形在坐标系上的问题（重点） 31 题型九、矩形与菱形的存在性问题（难点） 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、矩形的对角线问题探究 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，即可判定为等边三角形，则，求出对角线，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 2．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为（   ） A．28 B．48 C．50 D．120 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长度，再用面积公式计算就行． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 3.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，且过的中点， ∵M是的中点， ∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ∴， 即的最小值为． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，，，点为边上一点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则的值为_______．    【答案】/ 【分析】过点D作于点M，设矩形对角线的交点为点O，连接，根据矩形的性质，勾股定理，三角形的面积求解即可； 【详解】解：过点D作于点M，设矩形对角线的交点为点O，连接，    矩形中，，， 则，，， ， ， 根据题意，得， 故； 根据题意，得 ， ， 5.（23-24九年级下·吉林延边·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 题型二、折叠问题探究 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 【答案】D 【分析】设，则，在中根据勾股定理得得数，进一步根据三角形面积即可求解． 【详解】解：设，则， 将矩形沿折叠， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 解得，，即， ． 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】首先根据折叠的性质得出，，然后在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中利用勾股定理建立关于的方程求解即可； 【详解】四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质可知：， ，， 在中，， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得：， ． 4．（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，四边形为矩形，，，对角线，相交于点O，E是边的中点，F是上一点，连接，将沿折叠，当点D的对应点G落在矩形的对角线上时，连接，则的长是______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点落在上时，设交于点，当点落在上时，设交于点，连接，分别结合矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当点落在上时，设交于点， ∵点E是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点落在上时，设交于点，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3)的长为 【分析】（1）根据折叠的性质，，，矩形中，可得，代入计算得； （2）连接，结合矩形与折叠性质，先证，推导出相关角度；再通过边角关系证明，得，结合，证得是等腰直角三角形； （3）过作，由勾股定理求得，设，分别在与中用勾股定理表示，建立方程解得，最终求出． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ，，， ． 由折叠的性质得：，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ∴， ， 由折叠可得，， ， ， ∵， ∴， ， 又∵，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由折叠的性质可知，， 四边形为矩形， ，． ∵矩形，，， ； 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 设， ；；； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得， ． 在中，由勾股定理得：， ∴， ． 题型三、矩形的证明 1．（2026·河南驻马店·二模）下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【答案】C 【详解】解：选项A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A错误； 选项B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误； 选项C、初中矩形判定定理明确：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合判定规则，故C正确； 选项D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故D错误． 2．（2026·江西九江·二模）为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意； B、含角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意； C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 【答案】① 【详解】解：①，可得每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形是矩形，故①正确． ②，，可得 ，即，无法推出四个角都是直角，例如等腰梯形可满足该条件，但不是矩形，因此四边形不一定是矩形，故②错误． ③，，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，只能判定该四边形为平行四边形，平行四边形不一定是矩形，因此四边形不一定是矩形，故③错误． ④，可得 ，无法保证四个角都是直角，因此四边形不一定是矩形，故④错误． 4．（2026年湖南长沙市初中学业水平考试仿真密卷数学（B卷））如图，在中，，分别为，的中点．是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点为圆心、为半径作弧，交于另一点； ②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线的性质可得，结合可判定四边形是平行四边形，由尺规作图可知，，因此命题得证； （2）容易判断是等腰直角三角形，则，从而计算出，，，由矩形的性质可得，最后计算的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由尺规作图可知，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （）过点作于，利用的长度及，求得各段线段长；结合矩形的性质，根据中位线定理，求出与的长度，进而得到的长；最后在中，通过勾股定理算出的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， . ∴ ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：取的中点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理：． 题型四、菱形的对角线问题探究 1．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形，再用勾股定理计算边长即可． 【详解】解：如图，设对角线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴菱形的边长为． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，还等于底乘以对应的高计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴， ∴， ∵． ∴ ∴． 3．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 4．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，菱形的周长为，对角线相交于点O，． (1)求对角线的长； (2)求菱形的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）菱形的四边相等，周长是20，则边长为5；根据菱形对角线互相垂直平分，可得，，运用勾股定理求出便可求出； （2）利用等积法求解，． 【详解】（1）解：菱形的周长为，对角线相交于点O， ，，，， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：如图，作于点E， ， ， 即菱形的高为． 题型五、菱形的证明 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）阅读如下证明过程： 如图，在四边形中，对角线，交于点，，， 求证：四边形是菱形． 证明：，， 垂直平分，……（结论①） ，，……（结论②） ∴四边形是菱形． 对于该题目及证明过程，下列说法正确的是（    ） A．证明过程中结论①错误 B．证明过程中结论②错误 C．该证明过程严谨，结论正确 D．该题目需要补充条件，才能完成证明 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合菱形的判定即可求解． 【详解】解：证明：∵， 垂直平分（线段垂直平分线的定义）， ∴（线段垂直平分线的性质）， 由题目条件无法证明四边形是菱形， 综上可知，结论①和②正确，故A，B不符合题意； 该证明过程不严谨，结论不正确，故C不符合题意； 该题目需要补充条件，才能完成证明．故D符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 4．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，再利用证明，得四边形为平行四边形，然后根据垂直平分线的性质得，即可得出为菱形． 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形． 5．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)120 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ， 四边形的面积． 6．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，交于F，连接． (1)证明： (2)若，试证明四边形是菱形； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据边边边证明两个三角形全等； （2）根据平行线的性质可知，进而根据等边对等角可知，再根据四条边相等可知为菱形； （3）证明，可知，进而可知是等腰三角形，设，根据所对的直角边等于斜边的一半可知，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， , ∴， ∴ （2）解：∵ ∴, ∵ ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形 （3）解：由（2）可知四边形是菱形， ∵， ∴, 在和中， , ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ , ∴, ∴， 设， ∴, ∴, 在等腰三角形中， ∴ ∴． 题型六、菱形相关的尺规作图问题 1．（2026·山东济宁·二模）菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（  ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，推出是等边三角形，根据作图得到为的中点，根据斜边上的中线，即可得出结果. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴. 2．（2026·辽宁大连·二模）如图，在菱形中，连接．若，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于另一点F，再分别以B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接交边于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知，即为菱形的高，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线长，再利用等面积法求解即可 【详解】解：设与交于点，连接， 四边形是菱形， ， 在中，， ， 由作图可知，，且垂直平分， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）阅读以下材料，回答问题： 夏天到了，小贝想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了制作风筝的注意事项： ①轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材料，搭配宣纸、尼龙布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性； ②对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡． 制作准备 小贝找到一块形状为平行四边形ABCD的尼龙布料以及长度足够长的轻质竹条，其中，，． 制作过程 如图，小贝以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E，沿着EF将四边形ABEF剪下． (1)任务1：剪下来的四边形是什么形状，请说明理由． (2)任务2：用与线段和等长的竹条作为风筝的骨架并固定，求需要竹条的总长度． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解； (2) 【分析】任务一：先证明四边形是平行四边形，结合，则可证明菱形． 任务二：通过，可知为等边三角形，；再结合求出，再求出，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：任务1：由尺规作图可知， 为的角平分线． ∴， 又， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：任务二：连接交于点O， ，， 是等边三角形． ； ∵四边形是菱形． ， 在中，， ∴， ∴需要竹条的总长度为 4．（25-26八年级下·北京·期中）下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为角的菱形的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法：①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作的菱形． (1)请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）； (2)填空： ①四边形是菱形的依据 ； ②连结，，四边形的形状是 ，依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)①四条边相等的四边形是菱形；平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据题目给出的作图步骤，先用圆规以点为圆心、长为半径画弧，与角平分线交于点；再分别以点、为圆心、长为半径画弧，两弧交点为，最后连接、，保留所有作图痕迹即可． （2）①先根据作图过程得到四边形的四条边相等，再依据菱形的判定定理作答；②先根据矩形和菱形的性质，推导出四边形的一组对边平行且相等，再依据平行四边形的判定定理作答． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求菱形． （2）解：①∵由作图可知：，，， ∴， ∴四边形是菱形（依据：四条边相等的四边形是菱形）； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形（依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 题型七、矩形与菱形的网格作图问题 1．（2026·江西吉安·一模）如图，是由若干个全等的小菱形组成的菱形网格的一部分（图中所有的锐角均为），每个小菱形的顶点称为格点，顺次连接图中的4个格点，能连出矩形的方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．9种 D．10种 【答案】D 【分析】先画出不同的矩形，分别数出它们的个数，再相加计算即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 和矩形全等的矩形（包括其本身）有4个，矩形有1个，矩形有1个，矩形类的有4个，， ∴顺次连接图中的4个格点，所构成的图形是矩形的方法共有10种． 2．（2024·宁夏吴忠·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均为格点，给出下列结论：①连接 ，，，，则四边形是矩形；②连接 ，则点，到的距离相等；③连接 ，，则 ．其中正确结论的序号是______________．      【答案】②③/③② 【分析】本题考查矩形的判定，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握矩形判定及三角形判定定理．根据矩形的判定定理，点到直线的距离，垂直的定义等逐个判断即可． 【详解】解：①连接 ，如图， 由图可知，且， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形不是矩形， 故①错误； ②过点作，垂足分别为，如图， 且， ， ， ， ， ， 即点，到的距离相等， 故②正确； ③如图， 由图可知，， ， ， ， 故③正确． 故答案为：②③． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图： (1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6； (2)在图2中，以为对角线画平行四边形（非矩形）； (3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作底边是3，高是2的平行四边形即可； （2）作边长分别为和2的平行四边形即可； （3）作边长分别为和的矩形即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； 理由：∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，平行四边形即为所求； 理由：∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，矩形即为所作： 理由：∵，，, ∴， ∴四边形是矩形． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A、B．在指定网格图内仅用无刻度直尺作图．（注：网格线交点称为格点） (1)以为边，画出菱形； (2)在边上找一点E，使线段与边垂直；（保留画图过程的痕迹） (3)在边上画点F，使．（保留画图过程的痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）计算，则，在、处分别向上数5个格点为、，然后顺次首尾连接即可，如图1； （2）如图1，作和，使，则，，，与的交点即为 ； （3）如图1，作矩形，连接两条对角线，交点为，即为中点，连接并延长交于，即为所求． 【详解】（1）解：， 由菱形的性质可知， ∴在、处分别向上数5个格点为、，然后顺次首尾连接即可；如图1： （2）解：过作交延长线于，则，，在上取点使，过作，使，连接，则，，则与的交点即为，如图1； （3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，则在的角平分线上，作矩形，连接两条对角线，交点为，即为中点，连接并延长交于，即为所求，如图1． 题型八、矩形与菱形在坐标系上的问题 1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 2．（2026·山西忻州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 3．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 4．（24-25九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求出的长是本题的关键．先证明，由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】解：设与交于点，作于点， 点A的坐标为，点C的坐标为， ，， 四边形是矩形， ， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得， 解得，即， ， 在中，，， 由得， ， 在中，由勾股定理得， ， 点的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）已知菱形的边长为，其顶点都在坐标轴上，且点坐标为． (1)求点的坐标及菱形的面积； (2)点是菱形边上一动点，沿运动（到达点时停止） ①如图1，当点关于轴对称的点恰好落在直线上时，求点的坐标． ②探究：如图2，当运动到，边时，作关于直线的对称图形为，是否存在这样的点，使点正好在直线上？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，菱形的面积为； (2)①点坐标为或；②满足条件的点坐标为或． 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，，，由，可得，再根据勾股定理求出，可求出点的坐标，得到，，最后根据菱形的面积公式求出其面积即可； （2）①有两种情形：求出图中点坐标，根据对称性可得点坐标，当点与重合时，也满足条件； ②分两种情形：当平分时，当时，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， 菱形的边长为， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ，， ； （2）解：①如图2中， 菱形的顶点都在坐标轴上， 点关于轴对称的点也在直线， 由题意知，，， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ， 当点坐标为时，点关于轴对称的点恰好落在直线上， 当点与重合时，点关于轴对称的点恰好落在直线上，此时， 综上所述，满足条件的点坐标为或； ②如图3中， 当平分时，满足条件， 由题意知，，，， ，， ， ， ， ， 当时，在直线上， 此时直线的解析式为， 直线的解析式为， 由， 解得：， ， 综上所述，满足条件的点坐标为或． 题型九、矩形与菱形的存在性问题 1．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）可求，，从而得到答案； （2）四边形是矩形，从而可得，可求解； （3）可求，，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， （2）解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质可得从而得到的坐标，再由角平分线和平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）①利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； ②要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ，，， ， ，， ，， ∴， ∵为的平分线， ， ， ， ∵为中点， ， ∴， 由勾股定理可得， ， ∴． （2）解：①∵四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点，如图： 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ， ， ， ， 把代入得：， ； ②存在，如图： ∵点是射线上的动点， ∴设， ∵， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得：， ． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)存在，或 (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、菱形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的面积，进而求得，设，然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标； （3）分是菱形的一条边、是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线的解析式为 （2）解：∵直线的解析式为， ∴,, ∵点， ∴，即， 设， ∴，解得：或1， ∴或 （3）解：存在， ∵直线的解析式为， ∴,， ∴； ①当是菱形的一条边时， 当点与点B关于x轴对称时，则点是点A关于y轴的对称点，四边形是菱形； 当点Q在x轴上方，菱形为时，则，即点； 同理：当菱形为时，点； ②当是菱形的对角线时， 设点，点， ∴的中点即为的中点，且（即：）， ∴，，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为，，， 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】根据菱形的性质确定为的中点，再根据中位线定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O， ∴为的中点， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是确定出垂直平分，作出辅助线，利用勾股定理来求解． 根据题意可得垂直平分，连接，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 3．（湖北省孝感市2026年中考模拟考试（三）数学试卷）如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形是轴对称图形， 且B、D在y轴上， ∴ A、C关于y轴对称， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】连接，判断出，得出，进而求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ， 由折叠知，， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， 在中，． 5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形性质求出，进而求出，证明，得到，结合判定为等边三角形，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合矩形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵点是对角线的垂直平分线上的一动点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是． 7．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______． 【答案】 【分析】在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 8．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标_________． 【答案】 【分析】根据坐标可求出，再根据菱形的性质，可得，将点坐标沿水平方向向左平移5个单位即为点的坐标． 【详解】解： ，， ， 四边形为菱形， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 9．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，在y轴上，，将沿对角线翻折，点B落到点D，线段与y轴交于点E，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质，可证明，则，设，则，在中，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵将沿对角线翻折，点B落到点D， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的长为． 10．（2026·河北石家庄·二模）如图，在菱形中，，，点P，Q分别在，上，且．以，为邻边作，延长交射线于点N．当的长最小时，线段的长是________． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质和条件，得到，，根据三角形外角性质和两直线平行同位角相等得到是的平分线，根据垂线段最短得到，当时，的长最小，此时，从而得到的长． 【详解】如图，连接． 四边形是菱形，， ，， 四边形是平行四边形， ，，． ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即是的平分线， ∴当时，最短，即最短． 此时，， 在和中，， ， ， ． 11．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 【答案】或 【分析】分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴轴，，， ∵点D是的中点， ∴， 当O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，则， ∴， ∴； 综上：或． 12．（2026·江苏常州·一模）已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，再根据中点的定义得出，即可证明； （2）先证四边形是平行四边形，推出，再证四边形是平行四边形，根据对角线相等，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又点E，F分别是边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 中，， ， 点E，F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 同理， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 13．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可得到结论； （2）根据与的周长差为7结合勾股定理可得，证明四边形是平行四边形，得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形．            ∵在中，，点D是的中点， ∴．                             ∴四边形是菱形． （2）解：∵与的周长差为7， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C、D在格点上； (2)在图②中，以为边画一个，使其面积为10，且点E、F在格点上； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使点G、H在格点上，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据题意画一个平行四边形即可； （2）由题意，将先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，构造平行四边形即可； （3）根据题意将先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，画出菱形即可. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求； （2）解：如图②，即为所求； 由图可知，的面积为； （3）解：如图③，菱形即为所求； 15．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为______．（直接写出答案） 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 (5)或或 【分析】（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； （3）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，为等边三角形； （4）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，过点作的垂线，交于点，交于点，为等边三角形； （5）分三种情况画出图形，进行计算即可． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图，即为所求； （5）解：第一种情况如图所示： ； 第二种情况如图所示： ； 第三种情况如图所示： ； 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 矩形和菱形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、矩形的对角线问题探究（常考点） 1 题型二、折叠问题探究（常考点） 2 题型三、矩形的证明（重点） 4 题型四、菱形的对角线问题探究（常考点） 5 题型五、菱形的证明（重点） 6 题型六、菱形相关的尺规作图问题 7 题型七、矩形与菱形的网格作图问题 10 题型八、矩形与菱形在坐标系上的问题（重点） 11 题型九、矩形与菱形的存在性问题（难点） 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、矩形的对角线问题探究 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为（   ） A．28 B．48 C．50 D．120 3.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，，，点为边上一点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则的值为_______．    5.（23-24九年级下·吉林延边·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 题型二、折叠问题探究 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是________． 4．（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，四边形为矩形，，，对角线，相交于点O，E是边的中点，F是上一点，连接，将沿折叠，当点D的对应点G落在矩形的对角线上时，连接，则的长是______． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 题型三、矩形的证明 1．（2026·河南驻马店·二模）下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 2．（2026·江西九江·二模）为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 4．（2026年湖南长沙市初中学业水平考试仿真密卷数学（B卷））如图，在中，，分别为，的中点．是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点为圆心、为半径作弧，交于另一点； ②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的面积． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 题型四、菱形的对角线问题探究 1．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 3．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 4．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，菱形的周长为，对角线相交于点O，． (1)求对角线的长； (2)求菱形的高． 题型五、菱形的证明 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）阅读如下证明过程： 如图，在四边形中，对角线，交于点，，， 求证：四边形是菱形． 证明：，， 垂直平分，……（结论①） ，，……（结论②） ∴四边形是菱形． 对于该题目及证明过程，下列说法正确的是（    ） A．证明过程中结论①错误 B．证明过程中结论②错误 C．该证明过程严谨，结论正确 D．该题目需要补充条件，才能完成证明 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 4．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 5．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 6．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，交于F，连接． (1)证明： (2)若，试证明四边形是菱形； (3)若，，求． 题型六、菱形相关的尺规作图问题 1．（2026·山东济宁·二模）菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（  ） A． B． C．3 D．6 2．（2026·辽宁大连·二模）如图，在菱形中，连接．若，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于另一点F，再分别以B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接交边于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．12 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）阅读以下材料，回答问题： 夏天到了，小贝想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了制作风筝的注意事项： ①轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材料，搭配宣纸、尼龙布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性； ②对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡． 制作准备 小贝找到一块形状为平行四边形ABCD的尼龙布料以及长度足够长的轻质竹条，其中，，． 制作过程 如图，小贝以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E，沿着EF将四边形ABEF剪下． (1)任务1：剪下来的四边形是什么形状，请说明理由． (2)任务2：用与线段和等长的竹条作为风筝的骨架并固定，求需要竹条的总长度． 4．（25-26八年级下·北京·期中）下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为角的菱形的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法：①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作的菱形． (1)请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）； (2)填空： ①四边形是菱形的依据 ； ②连结，，四边形的形状是 ，依据是 ． 题型七、矩形与菱形的网格作图问题 1．（2026·江西吉安·一模）如图，是由若干个全等的小菱形组成的菱形网格的一部分（图中所有的锐角均为），每个小菱形的顶点称为格点，顺次连接图中的4个格点，能连出矩形的方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．9种 D．10种 2．（2024·宁夏吴忠·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均为格点，给出下列结论：①连接 ，，，，则四边形是矩形；②连接 ，则点，到的距离相等；③连接 ，，则 ．其中正确结论的序号是______________．      3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图： (1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6； (2)在图2中，以为对角线画平行四边形（非矩形）； (3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A、B．在指定网格图内仅用无刻度直尺作图．（注：网格线交点称为格点） (1)以为边，画出菱形； (2)在边上找一点E，使线段与边垂直；（保留画图过程的痕迹） (3)在边上画点F，使．（保留画图过程的痕迹） 题型八、矩形与菱形在坐标系上的问题 1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 4．（24-25九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______． 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）已知菱形的边长为，其顶点都在坐标轴上，且点坐标为． (1)求点的坐标及菱形的面积； (2)点是菱形边上一动点，沿运动（到达点时停止） ①如图1，当点关于轴对称的点恰好落在直线上时，求点的坐标． ②探究：如图2，当运动到，边时，作关于直线的对称图形为，是否存在这样的点，使点正好在直线上？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 题型九、矩形与菱形的存在性问题 1．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D．9 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 3．（湖北省孝感市2026年中考模拟考试（三）数学试卷）如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C． D．8 5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______． 8．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标_________． 9．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，在y轴上，，将沿对角线翻折，点B落到点D，线段与y轴交于点E，则的长为______． 10．（2026·河北石家庄·二模）如图，在菱形中，，，点P，Q分别在，上，且．以，为邻边作，延长交射线于点N．当的长最小时，线段的长是________． 11．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 12．（2026·江苏常州·一模）已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 13．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C、D在格点上； (2)在图②中，以为边画一个，使其面积为10，且点E、F在格点上； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使点G、H在格点上，且． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为______．（直接写出答案） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $