3 直角三角形 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、互逆命题与定理，通过复习直角三角形定义、内角和定理等旧知搭建学习支架，自然衔接新知的证明与探究。 其亮点在于勾股定理呈现总统证法、赵爽弦图等多证法培养几何直观，互逆命题辨析结合实例发展推理意识，课堂小结结构化梳理知识。助力学生提升数学思维，教师可高效开展教学。

第1课时 直角三角形的性质与判定 1.3 直角三角形 第一章 三角形的证明及其应用 学习目标 1.复习直角三角形的相关知识，证明并掌握直角三 角形的性质定理和判定定理； 2.理解互逆命题与互逆定理的概念，掌握勾股定理 及其逆定理，能够运用其解决问题.（重点、难点） 复习导入 问题1 直角三角形的定义是什么？ 问题2 三角形内角和定理是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形. 三角形内角和等于180°. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 问题3 我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 问题引入 根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余” 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 问题：如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 归纳总结 定理:有两个角互余的三角形是直角三角形． 定理:直角三角形的两个锐角互余． 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 知识回顾 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. a c b 勾 弦 股 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 勾股定理与逆定理 证明欣赏 b a c b a c 1.美国第二十任总统的证法： 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 c a b c a b c a b c a b ∵ (a+b)2 = c2+ ， a2+2ab+b2 = c2+2ab， ∴a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . (a+b)2 c2+ 2.利用正方形面积拼图证明： 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 c ∵ c2= +(b-a)2， c2 =2ab+b2-2ab+a2， c2 =a2+b2， ∴ a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　　　 ． c2 +(b-a)2 3.赵爽弦图 c a c a c b a a b b b 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 问题：勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 这个命题是真命题吗？为什么？ 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 A B C 已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证：△ABC是直角三角形． 例1 证明此命题： 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？ 证明：作Rt△DEF,使∠E=90°, DE=AC,FE=BC， 则DE2+EF2=DF2(勾股定理)． ∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), ∴AB2=DF2， ∴AB=DF， ∴△ABC≌△DFE（SSS）． ∴∠C=∠E=90°, ∴△ABC是直角三角形． D F E ┏ A B C 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 新知探究 探究点一： 直角三角形的性质与判定 归纳总结 由上面三组命题,你能发现什么? 1.两直线平行,内错角相等； 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎； 2.内错角相等,两直线平行； 5.一个三角形中相等的边所对的角相等； 6.一个三角形中相等的角所对的边相等. 观察思考：说出下列命题的条件和结论 新知探究 探究点二： 互逆命题与互逆定理 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。 “如果a，那么b．”的逆命题是“如果b，那么a．” 归纳总结 新知探究 探究点二： 互逆命题与互逆定理 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 命题有真命题和假命题，所以命题与它的逆命题都不一定是真命题． 例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 典例精析 新知探究 探究点二： 互逆命题与互逆定理 (2)等边三角形的每个角都等于60°； 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形. （3）全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. 新知探究 探究点二： 互逆命题与互逆定理 例3 举例说明下列命题的逆命题是假命题. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如10能被5整除，但它的个位数是0. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除； 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5. 例如60°= 60°，但这两个角不是直角. 新知探究 探究点二： 互逆命题与互逆定理 议一议 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 上面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 一个定理的条件和结论分别是另一个定理的结论和条件． 新知探究 探究点二： 互逆命题与互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 注意1：逆定理与它的逆定理，一定是真命题. 注意2：不是所有的定理都有逆定理. 知识归纳 新知探究 探究点二： 互逆命题与互逆定理 课堂小结 课堂小结 当堂反馈 1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm B 2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明. (1)同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真命题 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等. 真命题 当堂反馈 作业与预习 基础达标作业：课本26、27页第1、2、3题 拓展提升作业：课本31页 预习：课本第28、29、30页 $