二次函数中的最值问题、二次函数中的交点问题 专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，通过最值与交点问题的分层训练，构建从概念应用到综合探究的知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数中的最值问题|3例+3变式|结合区间、动点及几何图形，考查分类讨论与转化思想|从解析式、顶点坐标等概念，到区间最值、图形面积最值的应用拓展| |二次函数中的交点问题|3例+3变式|涉及坐标轴、直线及变换后交点，考查方程思想与数形结合|从基本交点求法，到平移、翻折等变换下交点综合问题的推导深化|

二次函数中的最值问题、二次函数中的交点问题专项训练 二次函数中的最值问题、二次函数中的交点问题专项训练 考点目录 二次函数中的最值问题 二次函数中的交点问题 考点一 二次函数中的最值问题 例1．（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线与轴交于与． (1)求该抛物线的解析式． (2)该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)①；②的最大值为112，最小值为16 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线解析式求出对称轴，再分别表示出点A、点B到对称轴的距离，结合的条件去掉距离的绝对值符号，再根据“点A到对称轴的距离是点B到对称轴的距离的2倍”列方程求解； （3）根据“经过点”确定的取值范围；再结合抛物线开口向下的性质，分情况讨论：当在对称轴左侧或当包含对称轴时，分析最高点是顶点还是区间端点、最低点是哪个端点，得到M的表达式，最后在t的取值范围内求M的最值． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：①由（1）知，抛物线， 则抛物线对称轴为， 如图，过点B作垂直于对称轴于点C，作垂直于对称轴于点D， ，，且， 、， 点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍， ， ， 解得：； ②经过点 即， 分情况讨论： （）当在对称轴左侧时，此时，即， 随的增大而增大， 在点处取得最大值，在点处取得最小值， 当时，， 当时，， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， （）当包含对称轴时，，即， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为 令， 解得：， 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而减小， 当时，， 当时，； 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而增大， 当时，， 当时，，即当无限接近于时，的最小值无限接近于16， 综上所述，的最大值为112，最小值为16． 例2．（2026·江苏连云港·二模）已知二次函数（，为常数）的图象过点，对称轴为直线． (1)求，的值，并写出抛物线顶点坐标； (2)设抛物线上两点，，满足且．求证：； (3)若当时，函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，，顶点坐标为 (2)证明：∵两点，在抛物线上， ∴，， 相加得， 将代入得， 又， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； (3)的值为或 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，解得， ∵二次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）证明：略； （3）解：∵，开口向下，对称轴为直线，在处取得最大值4，离对称轴越远，函数值越小； 情况1：当时， 函数在时，， 函数在时，， ①若，解得或（舍去）， 此时最小值为， 由题意得， 整理得，解得（舍去）或； ②若，解得， 则， 此时最小值为3， 由题意得，解得； 情况2：当时，在对称轴右侧，最小值出现在处，即，解得（舍去）； 综上，的值为或． 例3．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的动点，且位于轴的左侧． ①当点为抛物线顶点时，求四边形的面积； ②连接、，当时，求点的坐标． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度后，当，且该函数的最大值与最小值的差为1时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ；② 或 (3) 【分析】（1）因为已知抛物线经过和两个点，所以将两点坐标代入抛物线表达式，求解b和c，即可得到抛物线解析式． （2）① 先求抛物线与x轴交点A的坐标，再将抛物线解析式配方得到顶点P的坐标；因为四边形是不规则四边形，所以可通过拆分为梯形和三角形，代入长度计算面积．② 先计算的度数，因为，设直线交轴于，所以，分两种情况：点在轴上方和点在轴下方，分别求出的直线方程，联立抛物线方程求解，再根据在y轴左侧筛选坐标． （3）先写出抛物线向右平移n个单位后的解析式，确定其对称轴；因为区间的最值与对称轴和该区间的位置关系有关，所以分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出对应最大值和最小值，根据差值为1列方程求解． 【详解】（1）把 、代入 ， 当 时，； 代入 ：，得 ． 因此抛物线的表达式为：； （2）①抛物线， 顶点 ， 令 得 ，为原点 ． 过 作 轴于， ， ， ； ②， ， ， ． 设直线交轴于， ，分两种情况： 如图，点在轴上方： ， 设直线解析式为 ， 把点代入得，，解得， 直线解析式为 ， 联立抛物线： ，整理得 ， 解得 （点，舍去），， 代入，得 ， ． 如图，点在轴下方： ，同理可得直线解析式为 ， 联立抛物线： ，整理得 ， 解得 （点，舍去），， 代入，得 ， ． 点坐标为 或 ． （3）抛物线向右平移个单位后，解析式为 ， 对称轴为直线 ，开口向下， 在分情况讨论区间 ： 情况1：对称轴在的左侧，即，解得； 此时在上抛物线y随x的增大而减小， 当时，y取最大值：， 当时，y取最小值：， 根据题意最大值与最小值的差为， 解得与的前提矛盾，舍去，此情况无解． 情况2：对称轴在的左半部分，即，解得， 此时顶点在内，开口向下，因此最大值为顶点纵坐标； 对称轴，离对称轴更远，因此最小值在处取得：， ， 解得或（超出范围，舍去）， 符合条件的解． 情况3：对称轴在的右半部分，即，解得， 顶点仍在内，最大值； 对称轴，离对称轴更远， 因此最小值在处取得：， ， 解得或，（均不满足） 情况4：对称轴在的右侧，即，解得， 此时在上抛物线y随x的增大而增大， 最大值在处，最小值在处， 解得 与的前提矛盾，舍去，此情况无解． ． 变式1．（2026·江苏盐城·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（是常数）． (1)抛物线的对称轴为直线________；（用含的代数式表示） (2)若二次函数图象经过点，求二次函数图象的顶点坐标； (3)若二次函数图象经过点，，求证：； (4)已知二次函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 证明：二次函数图象经过点，， ， ， ， ； (4) 或 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式：直线计算即可； （2）将点代入二次函数求出的值，用配方法求出二次函数的顶点式即可得到顶点坐标； （3）将点，代入二次函数求出、关于的表达式，计算得关于的二次函数，配方即可证明； （4）由（1）得，抛物线的对称轴为直线，由二次函数，开口向上，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，由，得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得对于任意的，都有，即或者，分两种情况讨论，当在的右侧时，当在的左侧时，计算的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点代入二次函数， 得， 解得，， ， 二次函数图象的顶点坐标为：； （3）略 （4）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线， 二次函数，二次项系数， 抛物线开口向上， 点到对称轴的距离越大，函数值越大， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 对于任意的，都有， 对于任意的，都有，即或者， 情况1，当在的右侧时， ， 解得； 情况2，当在的左侧时， ， 解得； 综上所述， 或 ． 变式2．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知抛物线（a为常数）与x轴相交于点B和点，与y轴相交于点C，P是第四象限抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求a的值； (2)如图1，若，求t的值； (3)如图2，直线交y轴于点N，过点B作直线，交y轴于点M，当P点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围； (4)设，抛物线的一段（）夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，直接写出的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)不变，； (4) 【分析】（1）把代入抛物线即可解答； （2）过点作轴于点，证明，可得，设点，代入即可解答； （3），证明，，表示出的长度； （4）可得抛物线的一段夹在直线，之间的最大值为，计算出此时对应的值，相减即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线， 可得， 解得； （2）解：根据（１）可得， 如图，过点作轴于点， 令，， ， ， ，， ， ， 设，， 则，， 可得， 解得（负值舍去）； （3）解：线段的长度不变，为，理由如下： 令，， 解得，， ， 如图，过点作轴于点，设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长度不变； （4）解： 抛物线的顶点为， ， 抛物线的一段（）的最小值为， ∴要使最大，则，中较低那条为直线， 直线，之间的距离为9， ，中较高那条为直线， 当时，， 解得，， 的最大值为． 变式3．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且为线段的中点，求的值． (3)若，当时，该二次函数的最大值是最小值的3倍，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解二元一次方程组即可； （2）由为线段的中点，得到点的纵坐标为，求出当时，的值，即为的值； （3）分两种情况讨论：①当时，②当时，判断出函数的最大值和最小值分别是多少，根据最大值是最小值的3倍求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：为线段的中点，点，∴． 当时，， ∴， ∴或． （3）解：． ①当时，则函数在时取到最大值6， 由题意，最小值为． 当时，， ∴，． 由于最小值在或处取得， ∴或或或． 又∵， ∴． ②当时，则当时函数值最大，时函数值最小， 由此可得，， ∴，． 又∵， ∴，均不满足题意． 综上所述，． 考点二 二次函数中的交点问题 例1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知抛物线经过，，这三点中的两个点． (1)求的值； (2)已知（其中）， ①若此时函数的最小值为，求实数的最大值； ②设是一条平行于轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线距离为的点的个数记作．当，时，，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)6 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的性质得到，两点均在抛物线上，把点的坐标代入函数解析式得到方程组，解方程即可求出即可； （2）①根据二次函数的性质求出，即可得到答案；②由题意可知当且仅当时，，求出经过，两点的一次函数为，进一步即可求出直线与的交点坐标． 【详解】（1）解：抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而减小， ∴由，两点坐标可知不在抛物线上． 由此可知，两点均在抛物线上， 将，代入， 可得 解得， ； （2）解：①由（1）可知，， ∴，即． 当时，， ∴根据抛物线关于对称可知， 当时，． 又由于抛物线开口向下，函数的最小值为， ， 解得， 又， ， 的最大值为； ②由题意可知当且仅当时，， 设经过，两点的一次函数为， 将，代入， 可得 解得， 即经过，两点的一次函数为， 设直线与的交于点， ， ∴在中令， 解得， ∴直线与的交点． 例2．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①存在，点坐标为或； ②当点落在内部（含边界）时，； ③ 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，把点代入解答即可； （2）①先求出点，根据，可得，再求出当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式，即可求解； ②求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，再求出当点落在上时，当点落在上时，t的值，即可求解； ③求出当时，翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式，直线的解析式，然后求出当直线过点时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①存在， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于，当时，， 解得，， 点坐标为或； 由折叠的性质得：点， ∴当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式为， 此时图象开口向上，顶点坐标为，图象最低点的纵坐标为， 所以翻折后出现的函数图像部分不存在点， 综上所述，点H的坐标为或； ②设直线的解析式为，经过， 当时，，当时，， ， 设点的坐标为， ∵点，关于直线对称， ， ． 对于，当时，， ∴当点落在上时，，解得； 当点落在上时，，解得． ∴当点落在内部（含边界）时，； ③当时，由折叠的性质得：点， 此时翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式为． 由②得：直线l的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为：， 当直线过点时，， 此时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时， 联立：得：， 整理得：， 此时， 解得：， ∴当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，n的取值范围为． 例3．（2026·河北邢台·模拟预测）把抛物线先向右平移个单位长度．再向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），其对称轴与轴交于点，抛物线与交于点，如下图. (1)抛物线的顶点坐标为____________，抛物线的解析式为____________； (2)若将线段平移得到，使线段恰好落在抛物线对称轴的右侧，且点恰好落在抛物线上，点恰好落在抛物线上． ①求的长； ②求点的坐标； (3)若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①；②点的坐标为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，直接得到抛物线的顶点式解析式，再提取顶点坐标即可； （2）①由对称轴得点坐标，令求与轴交点得点的坐标，计算横坐标差即可得的长度；②利用平移性质得且，设，则，将点代入求解，结合“线段在对称轴右侧”的条件即可确定最终的点坐标； （3）由图像可知，若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，则直线与只有一个公共点或经过点，分别计算两种情况下的值并验证，综合即可得解． 【详解】（1）解：把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，根据平移规律“左加右减，上加下减”， 可得抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴，令，解方程，得或， ∵在左侧， ∴， ∴ ， ②∵线段平移得到， ∴且， 设，则， ∵在上， ∴ ，即 ， 解得， ∴； （3）解：的值为或； 由图象可知，若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，则直线与只有一个公共点或经过点， 当直线与只有一个公共点时，联立得， ，解得，此时直线与有两个交点，共个公共点，符合条件； 当直线过与的交点时， 令解得：， 此时， 即， 代入得 ，解得，此时直线与两抛物线共个公共点，符合条件； 综上，的值为或． 变式1．（2026·贵州遵义·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)若点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)若二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点时，求出的值； (3)点，的坐标分别为和，若二次函数图象与线段始终只有一个交点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）当时，，再由二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点，得到该方程根的判别式为0，即可求解； （3）分类讨论，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴， 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 即， ∵二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点， ∴ ， 解得； （3）解：①如解图，当时，抛物线上的点在点M的上方，且当时，抛物线上的点在点N的下方，抛物线与线段只有一个交点， 此时， 解得， 所以； ②如解图，当时，抛物线上的点在点M的下方，且当时，抛物线上的点在点N的上方，抛物线与线段只有一个交点， 此时，解得； ③当抛物线过点M时， 由（1）得抛物线的表达式为， 设直线的表达式为（k≠0）， 将点，分别代入， 得， 解得， ∴直线MN的表达式为， 联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点的横坐标为， ∴只有一个交点，此时； ④当抛物线过点N时， 易得抛物线的表达式为， 联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点的横坐标为， ∴只有一个交点，此时． 综上所述，当或时，二次函数图象与线段只有一个交点． 变式2．（2026·江西景德镇·二模）某计算机执行函数运算程序如下：；若输入时，，输入时，． (1)求出与的值； (2)若直线与函数的图象有两个交点，求的取值范围； (3)将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移，若平移后的图象与直线有一个交点，请直接写出平移的距离的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）根据输入时，，输入时，，代入对应解析式进行求解即可； （2）根据题意，画出函数图象，利用图象法求出的取值范围即可； （3）设将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移个单位时，图象与直线有一个交点，求出平移后的解析式，与直线的解析式联立后，得到对应的一元二次方程，根据题意，得到方程的判别式等于0，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵输入时，，输入时，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， 作图如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故当直线与函数的图象有两个交点时，或； （3）解：设将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移个单位时，图象与直线有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立得：， 整理得：， ∴，解得； 故. 变式3．（2026·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 或 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； （2）解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的最值问题、二次函数中的交点问题专项训练 二次函数中的最值问题、二次函数中的交点问题专项训练 考点目录 二次函数中的最值问题 二次函数中的交点问题 考点一 二次函数中的最值问题 例1．（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线与轴交于与． (1)求该抛物线的解析式． (2)该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 例2．（2026·江苏连云港·二模）已知二次函数（，为常数）的图象过点，对称轴为直线． (1)求，的值，并写出抛物线顶点坐标； (2)设抛物线上两点，，满足且．求证：； (3)若当时，函数的最小值为，求实数的值． 例3．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的动点，且位于轴的左侧． ①当点为抛物线顶点时，求四边形的面积； ②连接、，当时，求点的坐标． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度后，当，且该函数的最大值与最小值的差为1时，请直接写出的值． 变式1．（2026·江苏盐城·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（是常数）． (1)抛物线的对称轴为直线________；（用含的代数式表示） (2)若二次函数图象经过点，求二次函数图象的顶点坐标； (3)若二次函数图象经过点，，求证：； (4)已知二次函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 变式2．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知抛物线（a为常数）与x轴相交于点B和点，与y轴相交于点C，P是第四象限抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求a的值； (2)如图1，若，求t的值； (3)如图2，直线交y轴于点N，过点B作直线，交y轴于点M，当P点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围； (4)设，抛物线的一段（）夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，直接写出的最大值． 变式3．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且为线段的中点，求的值． (3)若，当时，该二次函数的最大值是最小值的3倍，求的值． 考点二 二次函数中的交点问题 例1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知抛物线经过，，这三点中的两个点． (1)求的值； (2)已知（其中）， ①若此时函数的最小值为，求实数的最大值； ②设是一条平行于轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线距离为的点的个数记作．当，时，，求直线与的交点坐标． 例2．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 例3．（2026·河北邢台·模拟预测）把抛物线先向右平移个单位长度．再向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），其对称轴与轴交于点，抛物线与交于点，如下图. (1)抛物线的顶点坐标为____________，抛物线的解析式为____________； (2)若将线段平移得到，使线段恰好落在抛物线对称轴的右侧，且点恰好落在抛物线上，点恰好落在抛物线上． ①求的长； ②求点的坐标； (3)若直线恰好与拋物线和共有三个公共点，直接写出的值． 变式1．（2026·贵州遵义·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)若点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)若二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点时，求出的值； (3)点，的坐标分别为和，若二次函数图象与线段始终只有一个交点，且，求的取值范围． 变式2．（2026·江西景德镇·二模）某计算机执行函数运算程序如下：；若输入时，，输入时，． (1)求出与的值； (2)若直线与函数的图象有两个交点，求的取值范围； (3)将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移，若平移后的图象与直线有一个交点，请直接写出平移的距离的取值范围． 变式3．（2026·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $