第28章  旋转-2026-2027学年九年级数学上册练培优（人教版）

第28章旋转 28.1旋转及其性质、作图 1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ABC,使点C的对 应点C在BA的延长线上，连接CC。若∠CCB'=32°，则∠B的大小是() A.64° B.67° C.77° D.87° B B A C 答案：C 解析：由旋转的性质得AC=AC,∠CAC=90°，.∠ACC=45°，∠ACB=13°， :∠CCB'=32°，·∠B=77°，∠ACB=13°。 另解：由旋转的性质得AC=AC,LCAC=90°，·LACC=45°， LB=∠AB'C,LABC=LACC+LCCB=77°，·LB=77°。 2、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=3,AC=V2,将△ABC绕点B顺时针旋转a得到△DBE, 此时点D落在AC的延长线上，连接CE,则CE的长为（) A.5 B.2V2 D.V10 B 答案：D 解析： 由旋转的性质，得BD=AB=3,DE=AC=V2,∠BDE=∠BAC=45°，∠ADB=∠BAC=45°， 71/129 第28章旋转 ∠ABD=180°-∠BAC-∠ADB=90°，·AD=√AB2+BD2=V32+32=3V2。 AC=V2,.CD=AD-AC=2V2,DE=V2, CE=VCD2+DE2=√(2W2)2+(W2)2=V10。 3、如图，在△ABC中，AB=8,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,连接AA1, 则阴影部分的面积为一。 答案：16 解析：如图，过点A作AD1A1B于点D,由旋转的性质得∠ABA1=30°，A1B=AB, SAABC=S△A1BC1,S阴影=S△ABA1+S△A1BC1-S△ABC=S△ABA10 AB=8,AB=8.AD I AB,AD=24B-4, 1 S48A1=2A1B~AD=3×8×4=16,S阴影=16。 1 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=V6,将△ABC绕点A顺时针旋转a°，得到 △AED,连接CE,交AB于点F。 (1)当a=60时，求CE的长； (2)当B,D,E三点共线时，求此时旋转角的度数。 答案：(1)CE=3+V3,(2)旋转角的度数为90° 72129 第28章旋转 解析：(1)如图1，连接BE。 图1 由旋转的性质可知AB=AE,∠EAB=60°，△ABE为等边三角形， ·AB=AE=BE,∠AEB=60°。 :AC=BC=V6,△ABC为直角三角形，÷AB=VAC2+BC2=2V3,·AE=AB=23。 (BE-AE 在△CBE和△CAE中， BC=AC,∴.△CBE=△CAE(SSS), EC=EC 1 1 ∠BEP=∠ABF=2∠AEB=30,CB垂直平分AB(三线合-)，AP-2AB=V3, .EF=AE2-AF2=3,CF=AC2-AF2=V3,CE CF EF=3+V3 (2) 图2 当B,D,E三点共线时，如图2，连接BE。 由旋转的性质知AB=AE,AD⊥DE,AD=DE,△ABE为等腰三角形，AD为BE边上的高， LADB=∠ADE=90°，BD=DE=AD,△ABD为等腰直角三角形，·∠BAD=45°， 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=∠ABC=45°， ∴旋转角∠CAD=∠CAB+∠BAD=45°+45°=90°。 5、[2026北京期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,1), C(2,3)。将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1,其中点A,B,C的对应点分别为点A1, B1,C1o (1)在图中画出旋转后的△A1B1C1; (2)点B1的坐标为一，点C1的坐标为 73/129 第28章旋转 (3)如果P(m,n)为△ABC边上一点，那么点P的对应点P1的坐标为 5 4 2 -5-4-3-2-10 12345 答案 B 5 3 2. H -5-4-3-2-10 1 2Q345x (1)如图，△A1B1C1即为所求。 (2)点B1的坐标为(-1,4)，点C1的坐标为(-3,2)。 解析：根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)旋转后对应点坐标为（一y,x)。 点B(4,1)旋转后：x=4,y=1,则B1(-1,4); 点C(2,3)旋转后：x=2,y=3,则C1(-3,2)。 (3)点P的对应点P1的坐标为(-n,m)。 解析：在△ABC边上任取一点P,点P与点P,的位置如图所示，分别过点P,P,作x轴的垂线， 垂足分别为Q,H,则∠PQ0=∠OHP1=90°。 由旋转的性质，得∠P0P1=90°，OP=P10,LP0Q+∠P1OH=∠P1OH+∠0P1H=90°， ∠P0Q=∠OPH,△PQ0≈△OHP1,OQ=P1H,PQ=OH。 设P(m,n),则OQ=m,PQ=n,故P1H=m,OH=n,∴点P1的坐标为(-n,m) 74/129 第28章旋转 28.2中心对称及其性质 1、如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=2,BD=8,将△BOC绕点C旋转180° 得到△BO'C,连接AB,则AB'的长是（) A.3 B.4 C.5 D.7 -D B 答案：C 解析：四边形ABCD是菱形，AC1BD,OC=乞AC,OB=乞BD。 :AC=2,BD=8,0C=1,0B=4。△B0C绕点C旋转180°得到△B'0C, ∠0=∠B0C=90°，C0=0C=1,0B=0B=4,A0'=AC+0C=3, ·AB'=VA0'2+B'0'2=V32+42=5。 2、如图，直线a1b于点0，曲线OA与曲线0A关于点O中心对称，点A的对称点是点A,AB1a 于点B,AD1b于点D。若OB=4,OD=3,则两块阴影部分的面积之和为一。 答案：12 解析： A 如图，过点A作AE1b于点E,由题意，得0E=OD=3。~曲线0A与曲线0A关于点O中心对 称，：图形①与图形②关于点O中心对称，面积相等，两块阴影部分的面积之和=长方形AB0E 的面积=4×3=12。 75/129 第28章旋转 3、定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋 转0度，这样的图形运动叫作图形的y(n,O)变换。现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在 如图的平面直角坐标系中，△ABC经y(1,180)变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1 经y(2,180)变换得△A2B2C2为第二次变换.经y(n,180)变换得△AnBnCn,则点C202s的坐 标是 C平移 B. 旋转 20271 答案：(- 2，-2) 平移 B A方 解析：如图，过点C作CD1x轴于点D, 旋转 1 1 11 :△ABC为斜边为1的等腰直角三角形，“CD=2AB=AD=2C(22)· .11 ~C1是由C(22)先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180得到的， c(-1》 同理c吃12攻.G(是11233》.c(12134. .1 1 1 1 1 6(-21+2-3+4-5,-,,c21(-2m2. 2025-2×10131,Gas(号1013，分.cns(20273: 4、如图，在小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为(1，一1)，根据 图形解决下列问题。 (1)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1,请画 出△A1B1C1; (2)以点M(-1,1)为对称中心，画出与△A1B1C1中心对称的△A2B2C2; 76/129 第28章旋转 (3)如何平移△ABC,使得平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形？请写出一种平移 方法。 答案： (1)图△A1B1C1 (2)图△A2B2C2 (3)可将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度（答案不唯一）。 5、△ABC的BC边在直线I上（点B在点C左侧)，点0为直线l上一动点，且在点B右侧。 (1)如图1，若△ABC是等边三角形，其关于点0中心对称的图形是△A1B1C1,连接AB1,A1B, 补全图形，则四边形ABA1B1的形状是 (2)如图2，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,△ABC与△A1B1C1关于点0中心对称，当C1 在C的右侧且∠C1BA1=7∠BAC时，判断四边形ABA1B1的形状，并说明理由； (3)若△ABC是任意三角形，△ABC关于点0中心对称的图形是△A1B1C1,连接AB1,A1B,当 LABC与LC1BA1满足什么关系时，四边形ABA1B1是正方形？直接写出答案。 77/129 第28章旋转 A 图1 图2 备用图形 答案： C B (1) 补全的图形如图所示，由中心对称的性质可得0B1=OB,OA1=OA, 四边形ABA1B1是平行四边形。 (2)四边形ABA1B1是矩形。理由如下：AB=AC,·∠ABC=∠ACB。 :∠ABC+∠ACB+∠BAC=180,∠ABC+2∠BAC=90°。 ~∠G,BA-BAC,÷LC1BA1十∠AnC-90,g即∠AnA,-90. 由中心对称的性质易知四边形ABA1B1是平行四边形，四边形ABA1B1是矩形。 (3)解：当LABC=∠C1BA1=45或LC1BA1=3LABC=135时，四边形ABA1B1是正方形 如图1，当点O在线段BC右侧时，~四边形ABA1B1是正方形，LABC=∠C1BA1=45°. 如图2，当点O在线段BC上时，四边形ABA1B1是正方形，∠ABC=∠CBA1=45°， ∠C1BA1=135°，÷.∠C1BA1=3∠ABC=135°. 综上所述，当∠ABC=∠C1BA1=45°或∠C1BA1=3LABC=135时，四边形ABA1B1是正方形. 图1 图2 78/129第28章旋转 28.1旋转及其性质、作图 1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ABC,使点C的对 应点C在BA的延长线上，连接CC。若∠CCB'=32°，则∠B的大小是() A.64° B.67° C.77° D.87° B C 2、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=3,AC=V2,将△ABC绕点B顺时针旋转a得到△DBE, 此时点D落在AC的延长线上，连接CE,则CE的长为（) A.V5 B.2V2 6 D.10 3、如图，在△ABC中，AB=8,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,连接AA1, 则阴影部分的面积为一。 42/68 第28章旋转 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=V6,将△ABC绕点A顺时针旋转°，得到 △AED,连接CE,交AB于点F。 (1)当a=60时，求CE的长； (2)当B,D,E三点共线时，求此时旋转角的度数。 D 5、2026北京期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,1), C(2,3)。将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1,其中点A,B,C的对应点分别为点A1, B1,C10 (1)在图中画出旋转后的△A1B1C1; (2)点B1的坐标为 一，点C1的坐标为 (3)如果P(m,n)为△ABC边上一点，那么点P的对应点P1的坐标为 y 5 4 3 -2 -1 B -5-4-3-2-10 12345x 43/68 第28章旋转 28.2中心对称及其性质 1、如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=2,BD=8,将△B0C绕点C旋转180° 得到△B'O'C,连接AB,则AB的长是（) A.3 B.4 C.5 D.7 B 第1题图 第2题图 2、如图，直线a1b于点O,曲线0A与曲线0A'关于点O中心对称，点A的对称点是点A',AB1a 于点B,AD1b于点D。若OB=4,OD=3,则两块阴影部分的面积之和为 -0 3、定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋 转度，这样的图形运动叫作图形的y(n,)变换。现将斜边为1的 等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中， △ABC经y(1,180)变换后得△A1B1C1为第一次变换， B △A1B1C1经y(2,180)变换得△A2B2C2为第二次变换… 经y(n,180)变换得△AnBnCn,则点C202s的坐标是 一0 旋转 4、如图，在小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为(1，一1)，根据 图形解决下列问题。 (1)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1,请画 出△A1B1C1 (2)以点M(-1,1)为对称中心，画出与△A1B1C1中心对称的△A2B2C2; (3)如何平移△ABC,使得平移后的△ABC与△A2B2C2拼成一个平行四边形？请写出一种平移 方法。 44/68 第28章旋转 5、△ABC的BC边在直线I上（点B在点C左侧)，点O为直线l上一动点，且在点B右侧。 (1)如图1，若△ABC是等边三角形，其关于点0中心对称的图形是△A1B1C1,连接AB1,A1B, 补全图形，则四边形ABA1B1的形状是 (2)如图2，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,△ABC与△A1B1C1关于点O中心对称，当C1 在C的右侧且∠C1BA1=2∠BAC时，判断四边形ABA1B1的形状，并说明理由； (3)若△ABC是任意三角形，△ABC关于点O中心对称的图形是△A1B1C1,连接AB1,A1B,当 ∠ABC与LC1BA1满足什么关系时，四边形ABA1B1是正方形？直接写出答案。 A B 图1 图2 备用图形 45/68