专题03 长方体和正方体的表面积和体积的计算与应用【期末复习重难点专题培优十五大题型】-2025-2026学年数学人教版五年级下册期末真题汇编集训

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积与体积，17类高频易错题型讲练结合54道期末真题，覆盖计算、应用、切拼等核心考点，适配五年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |讲练题|34题|表面积计算与应用、体积等积变形、组合体表面积体积|结合“铜鉴缶”“王亚平乒乓球实验”等文化科技情境，突出实际应用| |真题演练|20题|单位换算、不规则物体体积、立体图形切拼|精选山东、广东等地期末真题，分基础夯实与拓展拔尖梯度，匹配考试趋势|

2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习重点难点专题培优真题练 专题03 长方体和正方体的表面积和体积的计算与应用 『期末复习重点难点专题培优』 【17个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共54题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 长方体表面积的计算 2 题型二 长方体表面积的应用 3 题型三 正方体表面积的计算 5 题型四 正方体表面积的应用 6 题型五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 7 题型六 组合体的表面积（长方体、正方体) 8 题型七 表面涂色的正方体 10 题型八 长方体的体积的计算与应用 11 题型九 正方体的体积的计算与应用 12 题型十 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 13 题型十一 体积的等积变形（长方体、正方体) 15 题型十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 15 题型十三 组合体的体积（长方体、正方体） 17 题型十四 容积单位间的进率与换算（升和毫升) 19 题型十五 体积与容积单位间的进率及换算 20 题型十六 长方体、正方体的容积 21 题型十七 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 22 优选真题 实战演练 24 【基础夯实 能力提升】 24 【拓展拔尖 冲刺满分】 29 题型一 长方体表面积的计算 【精讲】（24-25五年级下·山东德州·期末）某种品牌的牙膏盒长和宽都是5厘米，高是20厘米。 (1)计算牙膏盒的表面积时列式为：5×20×4＋5×5×2( )。（“正确”或“错误”） (2)“5×20×4”计算的是哪些面的面积？在下面的展开图上涂一涂。（铅笔涂色） 【答案】(1)正确 (2)见详解 【思路引导】（1）长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，分析题目，长方体牙膏盒的前、后面的面积用长×高表示，上、下面的面积用长×宽表示，左、右面的面积用宽×高表示，因为牙膏盒的长和宽都是5厘米，所以长方体的前后、左右4个面的面积都是5×20，所以牙膏盒的表面积可以先求出4个5×20的面的面积，再加上2个5×5的面的面积； （2）根据（1）中的分析在展开图中把4个相同的长方形面涂色即可。 【规范解答】（1）根据分析可知：计算牙膏盒的表面积时列式为：5×20×4＋5×5×2是正确的。 （2）“5×20×4”计算的是前后、左右4个面的面积。 涂色如下： 【精练】（24-25五年级下·浙江·期末）一个长方体的三条棱如下图所示，这个长方体至少有( )条棱长度相等，这个长方体的表面积是( )cm2。 【答案】 8 78 【思路引导】相交于一个顶点的三条棱分别叫做长、宽、高，长和宽都是3厘米，说明这个长方体有2个相同的正方形的面，那么它就有8条长度相等的棱；把2个正方形面的面积加上4个长方形面的面积就是它的表面积。 【规范解答】这个长方体至少有8条棱长度相等，这个长方体的表面积是： 3×3×2＋3×5×4 ＝18＋60 ＝78（cm2）。 题型二 长方体表面积的应用 【精讲】（24-25五年级下·广东广州·期末）如下图，有一个淋浴间，地面尺寸是米米。淋浴间两面靠墙，另外两面用玻璃围成，玻璃高米，与天花板还有米的距离，便于淋浴时水蒸气的疏散。若玻璃与不锈钢框架的镶嵌位置，以及玻璃之间重叠位置都忽略不计，则制作这个淋浴间至少需要玻璃多少平方米？ 【答案】平方米 【思路引导】因为淋浴间的两面靠墙，这两面不需要安装玻璃，因此只需要计算另外两个相邻侧面的面积。这两个侧面都是长方形，长方形的高就是玻璃的高度 米；长方形的底边长分别对应地面的两条边长 米和 米。根据长方形的面积公式，分别计算两个侧面的面积，再将它们相加，就能得到玻璃的总面积。 【规范解答】长方形的面积＝底边长×高 玻璃①底边长：米，高：米 （平方米） 玻璃②底边长米，高：米 （平方米） 总面积：（平方米） 答：制作这个淋浴间至少需要玻璃平方米。 【精练】（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 【答案】（1）96；92；88 （2）68 （3）20 【思路引导】（1）每锯下一个小方木，表面积会减少小方木4个面的面积；锯下2个小方木，表面积会减少（2×4）个面的面积；锯下3个小方木，表面积会减少（3×4）个面的面积；每个面的面积都是1×1＝1dm2，据此求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积，据此把表格补充完整。 （2）当锯下8个小方木时，表面积会减少（8×4）个面的面积，用每个面的面积乘减少的面，求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，表面积减少了（100－20）dm2，因为每锯下1个小方木表面积减少4dm2，用减少的表面积除以4，即可求出锯下小方木的个数。 【规范解答】（1）锯下的小方木每个面的面积：1×1＝1（dm2） 锯下1个小方木时，减少小方木4个面的面积，减少的面积是1×4＝4（dm2），剩下方木的表面积：100－4＝96（dm2）； 锯下2个小方木时，减少小方木2×4＝8个面的面积，减少的面积是1×8＝8（dm2），剩下方木的表面积：100－8＝92（dm2）； 锯下3个小方木时，减少小方木3×4＝12个面的面积，减少的面积是1×12＝12（dm2），剩下方木的表面积：100－12＝88（dm2）； 填表如下： 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 96 92 88 … （2）当锯下8个小方木时，减少小方木8×4＝32个面的面积，减少的面积是1×32＝32（dm2），剩下方木的表面积：100－32＝68（dm2）； 当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（68）dm2。 （3）每锯下1个小方木表面积减少4dm2； 减少的表面积：100－20＝80（dm2） 小方木的个数：80÷4＝20（个） 当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（20）个小方木。 【考点剖析】明确每锯下一个小方木减少了哪些面，求出减少的表面积是解题的关键。 题型三 正方体表面积的计算 【精讲】（24-25五年级下·山东济宁·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】486cm2 【思路引导】观察图形可知，在大正方体的一个角上挖去一个小长方体后，原来大正方体表面减少了3个面，但同时又新增加了3个和减少的面完全相同的面，所以这个图形的表面积和原来大正方体的表面积相等，大正方体的表面积＝棱长×棱长×6，已知大正方体棱长为9cm，代入公式可得出表面积。 【规范解答】根据分析： 9×9×6 ＝81×6 ＝486（） 【精练】（24-25五年级下·河北衡水·期末）用3个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积减少了，一个正方体的表面积是（    ）。 A．72 B．36 C．48 【答案】B 【思路引导】分析表面积减少的情况：3个完全相同的正方体拼成一个长方体，会有3－1＝2（个）拼接处，每个拼接处会有2个正方形的面重合在一起，即共有2×2＝4（个）正方形的面重合在一起，也就是表面积减少的部分。已知表面积减少了24，所以用24÷4即可算出正方体一个面的面积； 计算正方体的表面积：正方体有6个面，且这6个面的面积都相等，用正方体一个面的面积乘6即可算出正方体的表面积。据此解答即可。 【规范解答】3－1＝2（个） 2×2＝4（个） 24÷4＝6（） 6×6＝36（） 所以一个正方体的表面积是36。 故答案为：B 题型四 正方体表面积的应用 【精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 【答案】(1)290厘米 (2)6300平方厘米 【思路引导】（1）与30厘米棱长相等的有8条，用这8条的长度加上打结部分的长度即可求出彩带总长度； （2）因为礼盒上面是两块正方形纸板，因此一共需要的纸板总面积相当于6＋1＝7个正方形的面积，所以用礼品盒一个面的面积乘7即可求出需要纸板的总面积。 【规范解答】（1）30×8＋50 ＝240＋50 ＝290（厘米） 答：至少需要290厘米的彩带。 （2）30×30×7 ＝900×7 ＝6300（平方厘米） 答：一共需要6300平方厘米的纸板。 【精练】（25-26五年级上·山东济南·期末）明明和爸爸用一根36分米长的铁丝，正好做了一个正方体灯笼框架，这个灯笼的棱长为( )分米；除底面外，其它面都要糊上安全阻燃纸，至少需要( )平方分米。 【答案】 3 45 【思路引导】分析题目，36分米是正方体的棱长总和，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12求出灯笼的棱长，要糊上安全阻燃纸的面积等于正方体5个面的面积，先根据棱长×棱长求出正方体的一个面的面积，再乘5即可解答。 【规范解答】36÷12＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 题型五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）《西游记》分上、中、下三册，每册都是长16厘米，宽10厘米，厚0.5厘米。如果把这三册书包装在一起，最多可节省（    ）平方厘米的包装纸。（接口处不计） A．800 B．640 C．320 D．240 【答案】B 【思路引导】要节省最多的包装纸，就要把书最大的面重叠起来，这样减少的表面积最大。长方形面积＝长×宽，确定最大面的面积。三册书叠在一起，会形成2个重叠处，每个重叠处会遮住2个最大面，总共减少2×2＝4个最大面的面积。 【规范解答】16×10＝160（平方厘米） 16×0.5＝8（平方厘米） 10×0.5＝5（平方厘米） 160＞8＞5 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 160×4＝640（平方厘米） 最多可节省640平方厘米的包装纸。 【精练】如下图所示，把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )。 【答案】 42平方厘米/42cm2 9平方厘米/9cm2 【思路引导】把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，就是切了1刀，表面积增加了两个切面的面积。想要表面积增加最多，就要切面的面积最大，看图可知，这个长方体的切面最大是增加了长7厘米，高3厘米的那个面，但是多出来的是两个切面，所以再乘2；想要表面积增加最少，就要切面的面积最小，看图可知，这个长方体的切面最小是增加了宽1.5厘米，高3厘米的那个面，但是多出来的是两个切面，所以再乘2；即可得解。 【规范解答】最多增加：7×3×2＝42（平方厘米） 最少增加：1.5×3×2＝9（平方厘米） 把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加（42平方厘米），最少增加（9平方厘米）。 【考点剖析】明确表面积增加最多、最少的切法是解决本题的关键。 题型六 组合体的表面积（长方体、正方体) 【精讲】（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【答案】 19 16 【思路引导】已知正方体的棱长是1dm，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出小正方体一个面的面积为1×1＝1dm2；分别从正面、上面、右面去数露在外面的面的数量：正面有6个，上面有7个，右面有6个，总共有6＋7＋6＝19个；所以露在外面的面积是1×19＝19dm2。 要搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少是3dm（因为现有立体图形最长的边有3个小正方体的棱长），那么大正方体需要的小正方体总数为3×3×3＝27个；数出现有小正方体的数量：第一层有7个，第二层有3个，第三层有1个，总共7＋3＋1＝11个，所以至少还需要27－11＝16个小正方体。 【规范解答】1×1＝1（dm2） 1×（6＋7＋6） ＝1×（13＋6） ＝1×19 ＝19（dm2） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 7＋3＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 27－11＝16（个） 所以这个立体图形露在外面的面积是19，至少还需要16个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【精练】（24-25五年级下·北京平谷·期末）李明将三个正方体木块黏合成一个模型（如下图），它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是（    ）。 A．84平方分米 B．80平方分米 C．74平方分米 D．70平方分米 【答案】C 【思路引导】这个模型的表面积＝上面两个正方体木块的侧面积（前后左右）之和＋下面正方体的表面积。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【规范解答】1×1×4＋2×2×4＋3×3×6 ＝4＋16＋54 ＝74（平方分米） 这个模型的表面积是74平方分米。 故答案为：C 题型七 表面涂色的正方体 【精讲】（24-25五年级下·云南德宏·期末）用64个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．24 B．48 C．36 D．8 【答案】A 【思路引导】因为4×4×4＝64，所以用64个棱长为1cm的小正方体拼成的大正方体的棱长为4cm。一面涂色的小正方体在每个面的中间部分（不在棱上和顶点处）。对于大正方体的每个面，去掉周围一圈（棱上的小正方体），中间部分是一个边长为（4－2）cm的正方形。根据正方形面积公式S＝a×a（a为边长），可得每个面一面涂色小正方体的个数为（4－2）×（4－2）＝2×2＝4个。大正方体有6个面，所以一面涂色小正方体的总个数就是用4乘6计算即可。 【规范解答】64＝4×4×4 （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） 大正方体有6个面。 4×6＝24（个） 其中一面涂色的小正方体有24个。 故答案为：A 【精练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成下面的立体图形，把这个立体图形的表面涂上红色，三面涂有红色的有（    ）个。 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【思路引导】在这个立体图形中，顶点处的小正方体有三个面露在外面，所以会被涂上三面红色。通过观察可以发现，该立体图形的顶点处的小正方体个数为10个，即三面涂有红色的小正方体有10个。 【规范解答】由分析得：把这个立体图形的表面涂上红色，三面涂有红色的有10个。 故答案为：A 题型八 长方体的体积的计算与应用 【精讲】（24-25五年级下·浙江·期末）丁丁把一张长11厘米的正方形纸，从四个角各剪掉一个相同的正方形，做成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (1)画一画：尝试画出折成后的长方体草图，并标上长、宽、高的数据。 (2)算一算。 【答案】(1) (2)75立方厘米 【思路引导】（1）在四个角剪掉4个边长3厘米的正方形，剪完之后长方体盒子的高是正方形的边长，即3厘米，长方体的长和宽都是11－3－3＝6（厘米），据此画出这个长方体即可； （2）长方体盒子的高是3厘米，长和宽都是5厘米，然后根据长方体体积（容积）公式代入数据计算即可。 【规范解答】（1）长方体的高为：3厘米； 长方体的长和宽为：11－3－3＝5（厘米） （2）体积：5×5×3 ＝25×3 ＝75（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是75立方厘米。 【精练】一个长方体水箱从里面量长为60cm，宽为40cm，深为30cm，箱中水面高10cm。小红将一个棱长20cm的正方体铁块竖直放入水箱至箱底，发现铁块顶面仍然高出水面，这时水面高度为________cm。 【答案】12 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，放入铁块后，在水不溢出的情况下，水箱中的水变成了一个大长方体空间空出一个小长方体的形状，此时，水的底面积＝长方体底面积－正方体底面积，水的体积÷水的底面积＝水面高度，据此列式计算。 【规范解答】60×40×10＝24000（cm3） 60×40－20×20 ＝2400－400 ＝2000（cm2） 24000÷2000＝12（cm） 这时水面高度为12cm。 【考点剖析】关键是能想象出放入铁块后水的形状，掌握并灵活运用长方体体积公式。 题型九 正方体的体积的计算与应用 【精讲】（24-25五年级下·山东济南·期末）一个正方体底面不变，高增加3厘米，得到一个长方体，表面积比原来增加了108平方厘米，原来正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】729 【思路引导】高增加后上下底面面积没有变化，所以增加的表面积是增加部分的4个侧面积。 用增加的表面积除以4，得到单个新增侧面的面积，再根据长方形面积公式，用单个侧面面积除以 增加的高3厘米，即可得到正方体的棱长。 最后根据正方体体积公式代入求得的棱长计算体积。 【规范解答】（平方厘米） （厘米） （立方厘米） 【精练】在一个长10cm，宽7cm，高6cm的长方体木块中切出了一个最大的正方体，这个最大的正方体的棱长是( )cm，再用剩下的木块切出一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，最终剩下的这些木块的体积是( )cm2。 【答案】 6 4 140 【思路引导】（1）在一个长10cm，宽7cm，高6cm的长方体木块中切一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于这个长方体的高； （2）用剩下的木块的再切出一个最大的正方体，我们要弄清楚剩下的木块的形状，在剩下的木块中，有一部分长是10－6＝4cm，宽是7cm，高是6cm的长方体。所以第二次切最大的正方体的棱长是4cm。 （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出开始长方体木块的面积，再分别求出第一次得到正方体的体积和第二次得到正方体的体积，用最开始的长方体体积减去两次得到的正方体体积。 【规范解答】（1）第一次得到的正方体棱长是6cm； （2）10－6＝4（cm） 第二次得到的正方体棱长是4cm； （3）10×7×6 ＝70×6 ＝420（） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（） 420－216－64 ＝204－64 ＝140（） 最终剩下的这些木块的体积是140。 【考点剖析】本题考查了长方体、正方体的体积公式。每次切出最大的正方体的棱长是长方体长、宽、高中最小的一个，这是解题的关键。 题型十 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【精讲】（24-25五年级下·云南玉溪·期末）一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 【答案】15厘米 【思路引导】已知长方体容器平放时，从里面量的长是20厘米，宽是16厘米，水深7厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出水的体积； 如果把这个容器竖起来放，再完全浸没一个西红柿，此时水的体积加上西红柿的体积等于一个底面积为“10×16”的长方体的体积，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水面的高度。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【规范解答】20×16×7 ＝320×7 ＝2240（立方厘米） 0.16立方分米＝160立方厘米 （160＋2240）÷（10×16） ＝2400÷160 ＝15（厘米） 答：此时水面的高度是15厘米。 【精练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）将如下左图这样规格的香皂放入下面右图纸箱中，这个纸箱的体积是（    ）。（纸箱的纸板厚度不计） A．80cm3 B．5760dm3 C．7200dm3 D．7.2dm3 【答案】D 【思路引导】根据图可知，这个纸箱的长是6×4＝24（cm），宽是5×4＝20（cm），高是3×5＝15（cm），根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】纸箱的长是：长是6×4＝24（cm）；宽是：5×4＝20（cm）；高是：3×5＝15（cm）。 24×20×15 ＝480×15 ＝7200（cm3） 7200cm3＝7.2dm3 这个纸箱的体积是7.2dm3。 故答案为：D 题型十一 体积的等积变形（长方体、正方体) 【精讲】（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）小兰有一块棱长是4厘米的正方体橡皮泥，现在她把这块橡皮泥捏成一个长方体，如果长是8厘米，宽是4厘米，那么这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】2厘米 【思路引导】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出橡皮泥的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，计算出长方体的高。 【规范解答】 （厘米） 答：这个长方体的高是2厘米。 【精练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）手工课上，淘气用橡皮泥捏成了一个棱长是6厘米的正方体。笑笑用同样多的橡皮泥捏成了一个高是9厘米的长方体，长方体的占地面积是( )平方厘米。 【答案】24 【思路引导】用同样多的橡皮泥捏成不同形状的物体，体积不变。先根据正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积，也就是长方体的体积。再根据长方体的体积公式：长方体的体积＝底面积×高，可得底面积＝体积÷高，长方体的占地面积就是它的底面积。 【规范解答】正方体的体积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 长方体的占地面积（底面积）：216÷9＝24（平方厘米） 题型十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期末）陈虎用3个棱长都是4厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 224 192 【思路引导】 如图，3个小正方体拼成一个长方体，表面积比3个正方体表面积的和减少了4个正方形的面，体积等于3个正方体的体积和，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，求出一个正方体表面积，乘3，再减去4个正方形的面积，是长方体的表面积； 根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个正方体体积，乘3是长方体体积。 【规范解答】4×4×6×3－4×4×4 ＝16×6×3－16×4 ＝96×3－64 ＝288－64 ＝224（平方厘米） 4×4×4×3 ＝16×4×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 所以拼成的这个长方体的表面积是224平方厘米，体积是192立方厘米。 【精练】（24-25五年级下·山东淄博·期末）把两个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是( )立方厘米，表面积最大是( )平方厘米。 【答案】 120 164 【思路引导】两个长方体拼成一个大长方体，体积不变，等于两个小长方体的体积之和。要使拼成的大长方体表面积最大，就要把两个小长方体最小的面拼在一起，这样减少的表面积最少。先根据长方体的体积公式和表面积公式分别计算单个长方体的体积和表面积，再进行相应计算。 【规范解答】体积： 5×4×3×2 ＝20×3×2 ＝60×2 ＝120（立方厘米） 单个长方体的表面积： （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 两个长方体的表面积之和：94×2＝188（平方厘米） 最小的面的面积：4×3＝12（平方厘米） 拼成大长方体后减少的表面积：12×2＝24（平方厘米） 最大表面积：188－24＝164（平方厘米） 题型十三 组合体的体积（长方体、正方体） 【精讲】（24-25五年级下·广西百色·期末）有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 216 204 【思路引导】在大正方体的一个顶点处挖去一个小长方体，原来大正方体表面减少了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，同时又增加了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，所以表面积没有变化。体积是减少了1个长2dm，宽2dm，高3dm的长方体体积，所以在计算体积时，需要用大正方体的体积减小长方体的体积。 根据正方体表面积公式S＝6a2（a为正方体的棱长），大正方体的棱长为6dm，把数据代入表面积公式计算即可。正方体体积公式为：V＝a×a×a（a为正方体棱长），长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高）。大正方体的棱长为6dm，小长方体长2dm，宽2dm，高3dm，把数据分别代入公式计算后，再用大正方体体积减小长方体的体积即可。 【规范解答】6×62 ＝6×36 ＝216（dm2） 6×6×6－2×2×3 ＝216－12 ＝204（dm3） 该图形的表面积是216dm2，体积是204dm3。 【精练】（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【思路引导】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 题型十四 容积单位间的进率与换算（升和毫升) 【精讲】（24-25五年级下·青海果洛·期末）2.08dm3＝( )cm3    6400mL＝( )L 【答案】 2080 6.4 【思路引导】，，低级单位换算成高级单位，除以进率；高级单位换算成低级单位，乘进率。 【规范解答】 ， 【精练】（24-25五年级下·山东济南·期末） 2升60毫升＝( )立方分米       0.08升＝( )毫升＝( )立方厘米 6.04立方分米＝( )立方厘米  4.03立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 【答案】 2.06 80 80 6040 4 30 【思路引导】（1）先根据1升＝1000毫升，将毫升换算成升（低级单位化高级单位除以进率）；再根据1升＝1立方分米，将升换算成立方分米。 （2）先根据1升＝1000毫升，将升换算成毫升（高级单位化低级单位乘进率）；再根据1毫升＝1立方厘米，将毫升换算成立方厘米。 （3）根据1立方分米＝1000立方厘米，将立方分米换算成立方厘米（高级单位化低级单位乘进率）。 （4）整数部分即为立方厘米数，根据1立方分米＝1000立方厘米，将小数部分换算成立方厘米（高级单位化低级单位乘进率）。 【规范解答】（1）60÷1000＝0.06（升） 2＋0.06＝2.06（升） 2.06升＝2.06立方分米 因此，2升60毫升＝2.06立方分米。 （2）0.08×1000＝80（毫升） 80毫升＝80立方厘米 因此，0.08升＝80毫升＝80立方厘米。 （3）6.04×1000＝6040（立方厘米），因此，6.04立方分米＝6040立方厘米。 （4）4.03立方分米＝4立方分米＋0.03立方分米 0.03×1000＝30（立方厘米） 因此，4.03立方分米＝4立方分米30立方厘米。 题型十五 体积与容积单位间的进率及换算 【精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）学习了《有趣的测量》后，同学们分组尝试测量一个不规则物体的体积。四名同学合作完成了如下的操作。 步骤1：笑笑从里面测量长方体玻璃缸的长是2.5分米，宽是2分米，高是6分米。 步骤2：淘气往长方体玻璃缸中共倒入14升水。 步骤3：妙想小心翼翼的把一块石头放入缸中，水刚好淹没了这块石头。 步骤4：奇思测出这时水面高度是3.2分米。 请根据他们的操作过程，计算这块石头的体积。 【答案】2立方分米 【思路引导】根据题意，石头的体积等于放入石头后水和石头的总体积减去原来水的体积。已知长方体玻璃缸的长、宽以及放入石头后的水面高度，可以利用长方体体积公式计算出总体积，根据1升＝1立方分米，将升换算成立方分米，最后列综合算式进行脱式计算。 【规范解答】14升＝14立方分米 （立方分米） 答：这块石头的体积是2立方分米。 【精练】（24-25五年级下·广东广州·期末）一个长方体形状的鱼缸，内部底面积是5dm2，深2.2dm。往鱼缸内部放入一个苹果，再注入10.7L水后，苹果完全浸没在水中，且水面刚好与鱼缸顶部齐平，没有水溢出来。这个苹果的体积是( )dm3。 【答案】/ 【思路引导】不规则物体的体积测量方法已知长方体鱼缸的底面积和高，可以求出长方体鱼缸的容积，，根据：，将注入水的体积单位转换成立方分米，用鱼缸的容积减去注入水的体积，就可以得到苹果的体积。 【规范解答】（） （） 题型十六 长方体、正方体的容积 【精讲】（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）下图是魔术师使用的特殊无盖长方体箱子，从里面量，长1米，宽0.5米，高0.6米。当把鸽子放入后，魔术师会拉动透明的线，让挂在箱面左侧正中间的布料拉开，鸽子就被藏到了布料下方，呈现出消失的画面。已知箱子底部、内部四周和遮盖布料都采用同一种材质。 请提出一个与上面已知信息相关联的数学问题并解决。 问题：________________________________？ 解答： 【答案】问题：箱子的容积是多少？ 0.3立方米 【思路引导】根据题目给出的无盖长方体箱子的内部长、宽、高信息我们可以从长方体容积计算的角度提出问题，因为长方体容积的计算需要用到内部的长、宽、高，与题目信息关联紧密。长方体的容积（体积）计算公式为V＝长×宽×高。 【规范解答】根据分析： 问题：箱子的容积是多少？ 1×0.5×0.6 ＝0.5×0.6 ＝0.3（立方米） 答：箱子的容积是0.3立方米。 （答案不唯一） 【精练】（24-25五年级下·黑龙江牡丹江·期末）一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 【答案】分米 【思路引导】根据长方体的容积＝长×宽×高，算出长方体鱼缸空的部分的容积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体石头的体积，再比较判断水是否会溢出。如果水没有溢出，根据排水法原理，把正方体石头完全浸没在水中，水面上升的那部分水的体积就是正方体石头的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用正方体石头的体积除以长方体底面积即可算出水面上升的高度。 【规范解答】正方体石头的体积：（立方分米） 长方体空的部分的体积：6×14×（5－3） ＝6×14×2 ＝168（立方分米） 168＞27，把正方体石头浸入水中，水不会溢出。 27÷（6×14） ＝27÷84 ＝（分米） 答：水面会上升分米。 题型十七 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【精讲】（24-25五年级下·广东深圳·期末）庆典当天，商场里的金鱼柜台鱼缸（如图）中的5条金鱼很快就卖出去了，当从鱼缸中取出5条金鱼后，水面下降了0.5厘米，平均每条金鱼的体积约是多少立方厘米？ 【答案】400立方厘米 【思路引导】根据1分米＝10厘米，先将分米化成厘米，当从鱼缸中取出5条金鱼后，水面下降了0.5厘米，长方体的体积＝长×宽×高， 求出的下降部分的水的体积等于5条金鱼的体积，除以5，即可得到平均每条金鱼的体积，据此列式解答。 【规范解答】8分米＝80厘米， 5分米＝50厘米， （立方厘米） （立方厘米） 答：平均每条金鱼的体积约是400立方厘米。 【精练】（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）9立方分米 【思路引导】（1）观察图形可知，裁去了一部分后，左右面是梯形；那么新型无盖鱼缸的5个面分别是：下面是长为6分米、宽是3分米的长方形，前面是长为6分米、宽为（5－1）分米的长方形，后面是长为6分米、宽为5分米的长方形，左右面是上底为（5－1）分米、下底为5分米、高为3分米的梯形； 根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出5个面的面积，再相加即是改造后鱼缸玻璃的总面积。 （2）已知将一块假山石完全浸没入水中，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高度是3.5分米时水和假山石的体积之和，再减去水的体积，即是假山石的体积。注意单位的换算：1升＝1立方分米。 【规范解答】（1）5－1＝4（分米） 下面：6×3＝18（平方分米） 前面：6×4＝24（平方分米） 后面：6×5＝30（平方分米） 左右面： （4＋5）×3÷2×2 ＝9×3÷2×2 ＝27（平方分米） 总面积： 18＋24＋30＋27＝99（平方分米） 答：改造后鱼缸的玻璃总面积是99平方分米。 （2）54升＝54立方分米 6×3×3.5 ＝18×3.5 ＝63（立方分米） 63－54＝9（立方分米） 答：这块假山石的体积是9立方分米。 【考点剖析】（1）本题考查长方体表面积公式的灵活应用，关键是分析出新型无盖鱼缸的5个面是由哪些图形组合而成，进而根据图形的面积公式求出鱼缸的总面积。 （2）本题考查长方体体积公式的实际应用，理解假山石浸没水中后水的高度3.5分米，此时的体积包含水和假山石的体积之和是解题的关键。 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25五年级下·山东德州·期末）下图中不能折成正方体的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个，两两相连每行之间错开一个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个，两行相连且只有一个对齐；“2－3－1”型，即第一行有2个，第二行有3个，第三行有1个，2个和3个紧连且只有一个对齐，3个和1个相连；据此结合给出的展开图判断即可。 【规范解答】 A．属于展开图中的“1－4－1”型，可以折成正方体；     B．属于展开图中的“3－3”型，可以折成正方体； C． 属于展开图中的“1－4－1”型，可以折成正方体； D．不属于展开图中的任何类型，不可以折成正方体； 所以不能折成正方体的展开图是。 2．（24-25五年级下·广东深圳·期末）矿泉水瓶的包装纸上印有“净含量：550mL”，这个“550mL”指的是（    ）。 A．瓶子的容积 B．瓶子的体积 C．瓶子和水的体积 D．水的体积 【答案】D 【思路引导】容积是容器能容纳物体的体积，而“净含量”特指容器内实际装的物体的体积。 【规范解答】矿泉水瓶的包装纸上印有“净含量：550mL”，这个“550mL”指的是矿泉水瓶实际装的水的体积。 如：一小瓶口服液净含量：10毫升，指的是口服液瓶子实际装的口服液的体积； 大桶饮用水净含量18.9升，指的是矿泉水大桶实际装的水的体积。 3．（24-25五年级下·山东德州·期末）“望闻问切”是中医疾病诊断的方法，其中“切”的内容之一就是把脉。把脉时常用到的一种工具是脉枕。一个民国粉彩瓷脉枕呈长方体，体积为 它的体积可能是（    ）。 A． B．1044cm3 C．1dm3440cm3 D．0.0144m3 【答案】C 【思路引导】1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3，据此先把选项中的单位全部换算成dm3，再与题目中给出的脉枕体积的范围进行比较，从而找出符合要求的选项。 【规范解答】A．144÷1000＝0.144（dm3），因为0.144＜1.4，所以它的体积不可能是144cm3； B．1044÷1000＝1.044（dm3），因为1.044＜1.4，所以它的体积不可能是1044cm3； C．440÷1000＝0.44（dm3），1＋0.44＝1.44（dm3），因为1.4＜1.44＜1.5，所以它的体积可能是1dm3440cm3； D．0.0144×1000＝14.4（dm3），因为14.4＞1.5，所以它的体积不可能是0.0144m3。 所以民国粉彩瓷脉枕的体积可能是1dm3440cm3。 4．（24-25五年级下·山东德州·期末）约2500年前的“冰箱”叫作“铜鉴缶”，近似长方体。它的长和宽约是63cm，高是61.5cm，重约170kg。“铜鉴缶”的占地面积是( )cm2。 【答案】3969 【思路引导】占地面积指的是底面积，长方体的底面积是长×宽的面，根据“铜鉴缶”的长和宽都是63cm列式计算。 【规范解答】63×63＝3969（cm2） 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一个长方体水池，底面长13dm，宽5dm，如果要向这个池子里注入3dm高的水，需要( )L水。 【答案】195 【思路引导】把水池里面的水看作一个长方体，长方体的长是13dm，宽是5dm，高是3dm，根据“”求出水的体积，再根据“1dm3＝1L”把体积单位转化为容积单位。 【规范解答】13×5×3 ＝65×3 ＝195（dm3） 195dm3＝195L 6．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍，体积就扩大到原来的64倍。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据长方体的体积公式“体积＝长×宽×高”，结合积的变化规律进行分析。当长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍时，体积扩大的倍数等于长、宽、高扩大倍数的乘积，计算该乘积并与题干中的倍数进行比较即可判断。 【规范解答】 长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的64倍。 故答案为：√ 7．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 【答案】252平方厘米；232立方厘米 【思路引导】零件的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；零件的体积＝长方体体积－挖去部分正方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】表面积：（8×5＋8×6＋5×6）×2＋2×2×4 ＝（40＋48＋30）×2＋16 ＝118×2＋16 ＝236＋16 ＝252（平方厘米） 体积：8×6×5－2×2×2 ＝240－8 ＝232（立方厘米） 8．（25-26五年级上·山东济宁·期末）为迎接新年的到来，社区开展了“创意无限•捏出精彩”的泥塑活动。李华参加这次活动时，把一个长10厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体泥塑作为自己作品的底座。 (1)长方体底座的占地面积是多少平方厘米？ (2)李华将长方体底座（除底面外）都涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)40平方厘米 (2)208平方厘米 【思路引导】（1）长方体底面的面积叫做底面积，用长乘宽计算。 （2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，算出长方体泥塑的表面积，再减去底面积即可。 【规范解答】（1）10×4＝40（平方厘米） 答：长方体底座的占地面积是40平方厘米。 （2）（10×4＋10×6＋4×6）×2－10×4 ＝（40＋60＋24）×2－10×4 ＝124×2－10×4 ＝248－40 ＝208（平方厘米） 答：需要涂色的面积是208平方厘米。 9．（24-25五年级下·山东德州·期末）在做“蚯蚓对光照的选择”实验时，亮亮用硬纸板做一个长15厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体实验盒，为满足实验要求，要剪掉盒盖的一半令其见光。做这个实验盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】625平方厘米 【思路引导】先根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求出6个面的总面积，再用长乘宽除以2求出盒盖面积的一半，最后相减即可得到所需硬纸板的面积。 【规范解答】（15×10＋15×8＋10×8）×2－15×10÷2 ＝（150＋120＋80）×2－150÷2 ＝350×2－75 ＝700－75 ＝625（平方厘米） 答：做这个实验盒至少需要625平方厘米的硬纸板。 10．（24-25五年级下·天津红桥·期末）先将一个长8分米、宽5分米、高2分米的长方体水箱注满水，再将水倒入一个底面呈正方形，底面边长是4分米的长方体水池中，此时水的高度是多少分米？ 【答案】5分米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高，正方形的面积=边长×边长，这道题的关键是水的体积不变，先根据长方体的体积公式求出水的体积，再用水的体积除以水池的底面积（4×4）即可求出水的高度。 【规范解答】8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 80÷（4×4） ＝80÷16 ＝5（分米） 答：此时水的高度是5分米。 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25五年级下·青海果洛·期末）一个长方体的高是3厘米，前面和侧面的面积都是12平方厘米，这个长方体的体积是（    ）cm3。 A．24 B．36 C．48 【答案】C 【思路引导】根据“前面的面积＝长×高、侧面的面积＝宽×高”求出长方体的长和宽；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算。 【规范解答】 所以这个长方体的体积是。 2．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）下面图形折叠后，不能折成正方体的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】根据正方体展开图的11种特征判断即可： ①“1﹣4﹣1”型，中间4个一连串，两边各一随便放（共6种）； ②“2﹣3﹣1”型，二三紧连错一个，三一相连一随便（共3种）； ③“2﹣2﹣2”型，两两相连各错一（共1种）； ④“3﹣3”型，三个两排一对齐（共1种）。 【规范解答】A．不符合正方体展开图的任一特征，不能折成正方体； B．属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能折成正方体； C．属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能折成正方体； D．属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能折成正方体。 3．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）两个完全一样的正方体拼成一个长方体，其表面积与原来两个正方体表面积之和相比，（    ）。 A．不能确定 B．不变 C．增加了 D．减少了 【答案】D 【思路引导】把两个正方体拼成一个长方体时，接触面会隐藏起来，不再属于表面积的一部分，所以表面积会减少。 【规范解答】把两个正方体拼成一个长方体时，两个正方体各有一个面重合在一起。这两个重合的面变成了长方体的内部，不再暴露在外面，因此不计入长方体的表面积。所以其表面积与原来两个正方体表面积之和相比，减少了。 4．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）手工课上，李苹制作了一个长方体礼盒，如果将高减少0.6分米，正好变成了一个正方体，会少用纸板7.2平方分米。原来长方体礼盒的体积是（    ）立方分米。 A．4.32 B．5.4 C．27 D．32.4 【答案】D 【思路引导】如果高减少0.6分米，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长和宽多0.6分米，如果高减少0.6分米，就成为一个正方体，而且表面积要减少7.2平方分米，减少的面积在原来长方体中是高0.6分米那部分的侧面积，侧面的这4个面都是宽为0.6分米，长相等的完全一样的长方形，据此可求出原长方体的长和宽，从而求出高，最后根据长方体体积＝长×宽×高求体积。 【规范解答】长、宽：7.2÷4÷0.6＝3（分米） 高：3＋0.6＝3.6（分米） 体积：3×3×3.6＝32.4（立方分米） 原来长方体礼盒的体积是32.4立方分米。 故答案为：D 【考点剖析】掌握长方体和正方体的特征，以及掌握长方体的体积公式，是解答本题的关键。 5．（24-25五年级下·山东德州·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是60cm的正方体的铁块，锻铸成一个横截面积是4dm2的长方体铁棒，这个长方体铁棒的长是( )dm。 【答案】54 【思路引导】先把60cm转化为6dm，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块体积，最后根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【规范解答】60cm＝6dm 6×6×6÷4 ＝216÷4 ＝54（dm） 6．（24-25五年级下·山东德州·期末）航天员王亚平在演示乒乓球浮力消失实验时，将一个体积约是35.2cm3的乒乓球完全浸入到一个长4dm，宽0.8dm，高3dm的玻璃水缸内，水面大约上升( )cm。（得数保留一位小数） 【答案】0.1 【思路引导】分析题目，乒乓球的体积就等于浸入之后上升的水的体积，上升的水的体积等于长是4dm、宽是0.8dm的长方体的体积，先根据1dm＝10cm把长和宽都换算成以cm为单位，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）列式求出水面上升的高度，注意：结果要根据“四舍五入“法保留一位小数。 【规范解答】4dm＝40cm 0.8dm＝8cm 35.2÷（40×8） ＝35.2÷320 ≈0.1（cm） 水面大约上升0.1cm。 7．（25-26五年级下·山东济宁·期中）棱长6cm的正方体的体积和表面积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】正方体的表面积是指其6个面的总面积，体积是指其所占空间的大小。虽然计算结果数值相同，但表面积和体积的单位不同（平方厘米与立方厘米），属于不同类量，无法比较大小。 【规范解答】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6 当棱长为6cm时， 体积＝6×6×6＝36×6＝216（cm³） 表面积＝6×6×6＝36×6＝216（cm²） 虽然数值都是216，但表面积和体积不是同类量，单位不同，无法比较大小。原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）计算下面组合图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】248平方厘米 184立方厘米 【思路引导】这个组合图形由长方体和正方体拼接而成。计算表面积时，先求出长方体的表面积，再加上正方体的个侧面积。因为正方体的底面与长方体的顶面重合，这部分被遮挡，不用重复计算；计算体积时，两部分没有内部重叠，所以组合图形的体积等于长方体体积与正方体体积之和，直接相加即可。 【规范解答】长方体： 长厘米 宽厘米 高厘米 （平方厘米） 正方体：棱长 （平方厘米） （平方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 9．（24-25五年级下·山东济南·期末）一块长方形的铁皮长45厘米，宽28厘米。从四个角上各剪去一个边长7厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子的容积是多少升？ 【答案】升 【思路引导】根据题意，从长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为7厘米的正方形，做成的盒子的高即为剪去正方形的边长。盒子的长等于原铁皮的长减去2个剪去的边长，盒子的宽等于原铁皮的宽减去2个剪去的边长。据此代入长方体容积公式“容积长宽高”计算出盒子的容积，最后根据1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，将体积单位从立方厘米换算为升，除以进率。 【规范解答】盒子的长： （厘米） 盒子的宽： （厘米） 盒子的容积： （立方厘米） 3038÷1000＝3.038（升） 答：这个盒子的容积是升。 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习重点难点专题培优真题练 专题03 长方体和正方体的表面积和体积的计算与应用 『期末复习重点难点专题培优』 【17个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共54题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 长方体表面积的计算 2 题型二 长方体表面积的应用 2 题型三 正方体表面积的计算 3 题型四 正方体表面积的应用 3 题型五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 4 题型六 组合体的表面积（长方体、正方体) 4 题型七 表面涂色的正方体 5 题型八 长方体的体积的计算与应用 5 题型九 正方体的体积的计算与应用 5 题型十 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 6 题型十一 体积的等积变形（长方体、正方体) 7 题型十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 7 题型十三 组合体的体积（长方体、正方体） 7 题型十四 容积单位间的进率与换算（升和毫升) 8 题型十五 体积与容积单位间的进率及换算 8 题型十六 长方体、正方体的容积 8 题型十七 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 9 优选真题 实战演练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【拓展拔尖 冲刺满分】 11 题型一 长方体表面积的计算 【精讲】（24-25五年级下·山东德州·期末）某种品牌的牙膏盒长和宽都是5厘米，高是20厘米。 (1)计算牙膏盒的表面积时列式为：5×20×4＋5×5×2( )。（“正确”或“错误”） (2)“5×20×4”计算的是哪些面的面积？在下面的展开图上涂一涂。（铅笔涂色） 【精练】（24-25五年级下·浙江·期末）一个长方体的三条棱如下图所示，这个长方体至少有( )条棱长度相等，这个长方体的表面积是( )cm2。 题型二 长方体表面积的应用 【精讲】（24-25五年级下·广东广州·期末）如下图，有一个淋浴间，地面尺寸是米米。淋浴间两面靠墙，另外两面用玻璃围成，玻璃高米，与天花板还有米的距离，便于淋浴时水蒸气的疏散。若玻璃与不锈钢框架的镶嵌位置，以及玻璃之间重叠位置都忽略不计，则制作这个淋浴间至少需要玻璃多少平方米？ 【精练】（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 题型三 正方体表面积的计算 【精讲】（24-25五年级下·山东济宁·期末）计算下面图形的表面积。 【精练】（24-25五年级下·河北衡水·期末）用3个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积减少了，一个正方体的表面积是（    ）。 A．72 B．36 C．48 题型四 正方体表面积的应用 【精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 【精练】（25-26五年级上·山东济南·期末）明明和爸爸用一根36分米长的铁丝，正好做了一个正方体灯笼框架，这个灯笼的棱长为( )分米；除底面外，其它面都要糊上安全阻燃纸，至少需要( )平方分米。 题型五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）《西游记》分上、中、下三册，每册都是长16厘米，宽10厘米，厚0.5厘米。如果把这三册书包装在一起，最多可节省（    ）平方厘米的包装纸。（接口处不计） A．800 B．640 C．320 D．240 【精练】如下图所示，把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )。 题型六 组合体的表面积（长方体、正方体) 【精讲】（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【精练】（24-25五年级下·北京平谷·期末）李明将三个正方体木块黏合成一个模型（如下图），它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是（    ）。 A．84平方分米 B．80平方分米 C．74平方分米 D．70平方分米 题型七 表面涂色的正方体 【精讲】（24-25五年级下·云南德宏·期末）用64个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．24 B．48 C．36 D．8 【精练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成下面的立体图形，把这个立体图形的表面涂上红色，三面涂有红色的有（    ）个。 A．10 B．9 C．8 D．7 题型八 长方体的体积的计算与应用 【精讲】（24-25五年级下·浙江·期末）丁丁把一张长11厘米的正方形纸，从四个角各剪掉一个相同的正方形，做成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (1)画一画：尝试画出折成后的长方体草图，并标上长、宽、高的数据。 (2)算一算。 【精练】一个长方体水箱从里面量长为60cm，宽为40cm，深为30cm，箱中水面高10cm。小红将一个棱长20cm的正方体铁块竖直放入水箱至箱底，发现铁块顶面仍然高出水面，这时水面高度为________cm。 题型九 正方体的体积的计算与应用 【精讲】（24-25五年级下·山东济南·期末）一个正方体底面不变，高增加3厘米，得到一个长方体，表面积比原来增加了108平方厘米，原来正方体的体积是( )立方厘米。 【精练】在一个长10cm，宽7cm，高6cm的长方体木块中切出了一个最大的正方体，这个最大的正方体的棱长是( )cm，再用剩下的木块切出一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，最终剩下的这些木块的体积是( )cm2。 题型十 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【精讲】（24-25五年级下·云南玉溪·期末）一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 【精练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）将如下左图这样规格的香皂放入下面右图纸箱中，这个纸箱的体积是（    ）。（纸箱的纸板厚度不计） A．80cm3 B．5760dm3 C．7200dm3 D．7.2dm3 题型十一 体积的等积变形（长方体、正方体) 【精讲】（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）小兰有一块棱长是4厘米的正方体橡皮泥，现在她把这块橡皮泥捏成一个长方体，如果长是8厘米，宽是4厘米，那么这个长方体的高是多少厘米？ 【精练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）手工课上，淘气用橡皮泥捏成了一个棱长是6厘米的正方体。笑笑用同样多的橡皮泥捏成了一个高是9厘米的长方体，长方体的占地面积是( )平方厘米。 题型十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期末）陈虎用3个棱长都是4厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【精练】（24-25五年级下·山东淄博·期末）把两个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是( )立方厘米，表面积最大是( )平方厘米。 题型十三 组合体的体积（长方体、正方体） 【精讲】（24-25五年级下·广西百色·期末）有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【精练】（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 题型十四 容积单位间的进率与换算（升和毫升) 【精讲】（24-25五年级下·青海果洛·期末）2.08dm3＝( )cm3    6400mL＝( )L 【精练】（24-25五年级下·山东济南·期末） 2升60毫升＝( )立方分米       0.08升＝( )毫升＝( )立方厘米 6.04立方分米＝( )立方厘米  4.03立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 题型十五 体积与容积单位间的进率及换算 【精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）学习了《有趣的测量》后，同学们分组尝试测量一个不规则物体的体积。四名同学合作完成了如下的操作。 步骤1：笑笑从里面测量长方体玻璃缸的长是2.5分米，宽是2分米，高是6分米。 步骤2：淘气往长方体玻璃缸中共倒入14升水。 步骤3：妙想小心翼翼的把一块石头放入缸中，水刚好淹没了这块石头。 步骤4：奇思测出这时水面高度是3.2分米。 请根据他们的操作过程，计算这块石头的体积。 【精练】（24-25五年级下·广东广州·期末）一个长方体形状的鱼缸，内部底面积是5dm2，深2.2dm。往鱼缸内部放入一个苹果，再注入10.7L水后，苹果完全浸没在水中，且水面刚好与鱼缸顶部齐平，没有水溢出来。这个苹果的体积是( )dm3。 题型十六 长方体、正方体的容积 【精讲】（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）下图是魔术师使用的特殊无盖长方体箱子，从里面量，长1米，宽0.5米，高0.6米。当把鸽子放入后，魔术师会拉动透明的线，让挂在箱面左侧正中间的布料拉开，鸽子就被藏到了布料下方，呈现出消失的画面。已知箱子底部、内部四周和遮盖布料都采用同一种材质。 请提出一个与上面已知信息相关联的数学问题并解决。 问题：________________________________？ 解答： 【精练】（24-25五年级下·黑龙江牡丹江·期末）一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 题型十七 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【精讲】（24-25五年级下·广东深圳·期末）庆典当天，商场里的金鱼柜台鱼缸（如图）中的5条金鱼很快就卖出去了，当从鱼缸中取出5条金鱼后，水面下降了0.5厘米，平均每条金鱼的体积约是多少立方厘米？ 【精练】（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25五年级下·山东德州·期末）下图中不能折成正方体的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·广东深圳·期末）矿泉水瓶的包装纸上印有“净含量：550mL”，这个“550mL”指的是（    ）。 A．瓶子的容积 B．瓶子的体积 C．瓶子和水的体积 D．水的体积 3．（24-25五年级下·山东德州·期末）“望闻问切”是中医疾病诊断的方法，其中“切”的内容之一就是把脉。把脉时常用到的一种工具是脉枕。一个民国粉彩瓷脉枕呈长方体，体积为 它的体积可能是（    ）。 A． B．1044cm3 C．1dm3440cm3 D．0.0144m3 4．（24-25五年级下·山东德州·期末）约2500年前的“冰箱”叫作“铜鉴缶”，近似长方体。它的长和宽约是63cm，高是61.5cm，重约170kg。“铜鉴缶”的占地面积是( )cm2。 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一个长方体水池，底面长13dm，宽5dm，如果要向这个池子里注入3dm高的水，需要( )L水。 6．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍，体积就扩大到原来的64倍。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 8．（25-26五年级上·山东济宁·期末）为迎接新年的到来，社区开展了“创意无限•捏出精彩”的泥塑活动。李华参加这次活动时，把一个长10厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体泥塑作为自己作品的底座。 (1)长方体底座的占地面积是多少平方厘米？ (2)李华将长方体底座（除底面外）都涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 9．（24-25五年级下·山东德州·期末）在做“蚯蚓对光照的选择”实验时，亮亮用硬纸板做一个长15厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体实验盒，为满足实验要求，要剪掉盒盖的一半令其见光。做这个实验盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 10．（24-25五年级下·天津红桥·期末）先将一个长8分米、宽5分米、高2分米的长方体水箱注满水，再将水倒入一个底面呈正方形，底面边长是4分米的长方体水池中，此时水的高度是多少分米？ 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25五年级下·青海果洛·期末）一个长方体的高是3厘米，前面和侧面的面积都是12平方厘米，这个长方体的体积是（    ）cm3。 A．24 B．36 C．48 2．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）下面图形折叠后，不能折成正方体的是（    ）。 A．B．C． D． 3．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）两个完全一样的正方体拼成一个长方体，其表面积与原来两个正方体表面积之和相比，（    ）。 A．不能确定 B．不变 C．增加了 D．减少了 4．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）手工课上，李苹制作了一个长方体礼盒，如果将高减少0.6分米，正好变成了一个正方体，会少用纸板7.2平方分米。原来长方体礼盒的体积是（    ）立方分米。 A．4.32 B．5.4 C．27 D．32.4 5．（24-25五年级下·山东德州·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是60cm的正方体的铁块，锻铸成一个横截面积是4dm2的长方体铁棒，这个长方体铁棒的长是( )dm。 6．（24-25五年级下·山东德州·期末）航天员王亚平在演示乒乓球浮力消失实验时，将一个体积约是35.2cm3的乒乓球完全浸入到一个长4dm，宽0.8dm，高3dm的玻璃水缸内，水面大约上升( )cm。（得数保留一位小数） 7．（25-26五年级下·山东济宁·期中）棱长6cm的正方体的体积和表面积相等。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）计算下面组合图形的表面积和体积。（单位：厘米） 9．（24-25五年级下·山东济南·期末）一块长方形的铁皮长45厘米，宽28厘米。从四个角上各剪去一个边长7厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子的容积是多少升？ 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $