精品解析：辽宁省阜新市实验中学2025-2026学年九年级下学期限时作业数学试卷

2025−2026九年级下学期数学学科限时作业 满分120分 考试时长120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定相反方向移动的记数规则，将两次移动的记数相加即可得到所求算式． 【详解】解：∵规定向右移动记作，向右与向左是相反意义的方向， ∴向左移动记作负数， ∵两次移动分别为向右移动，向左移动， ∴向右移动记作，向左移动记作，列算式得． 2. 下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. 圆锥 B. 球体 C. 圆柱 D. 正方体 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图、左视图的定义，可得答案． 【详解】解：A、左视图与主视图都是相同的等腰三角形，故该选项不符合题意； B、左视图与主视图都是相同的圆，故该选项不符合题意； C、左视图是圆，主视图是长方形，故该选项符合题意； D、左视图与主视图都是边长相等的两个正方形，故该选项不符合题意． 3. 年，北京大学王路达教授团队在石墨烯薄膜上刻出了与气体分子尺寸相当的“埃米孔”．已知埃米米，该团队制备的埃米孔直径一般小于埃米，则埃米可以用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查较小数的科学记数法表示，先根据单位换算得到3.5埃米对应的米数，再结合科学记数法的规则判断结果． 【详解】解：埃米米米， 埃米米． 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法、平方差公式分别计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：∵根据幂的乘方法则，，，∴A错误． 选项B：∵根据单项式乘法法则，，，∴B错误． 选项C：∵根据同底数幂除法法则，，与等式右侧一致，∴C正确． 选项D：∵根据平方差公式，，，∴D错误． 6. 一个不透明袋子中仅有红、黄、白球各一个，三个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，作出树状图，结合树状图可知共有6种等可能的结果，其中含红球的结果有4种，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，作出树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中含红球的结果有4种， ∴从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是 ． 7. 如图，利用几个全等的直角三角尺（含角）拼摆成如下的四边形，其中不是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 故四边形是平行四边形； 故A符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故B不符合要求； 根据题意，得，且， 故， 故， 故， 故四边形是菱形； 故C不符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故D不符合要求； 8. 《算法统宗》中有这样一个问题：一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤两）．设共有x两银子，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设共有x两银子，根据“如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤”列方程即可得解． 【详解】解：设共有x两银子， 依题意得， 故选：D． 9. 如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 10. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点， ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点． 根据以上作图，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解方程即可求解． 【详解】解：连接，作于点，作交的延长线于点， 由作法得平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知实数，满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的基本性质对分式进行化简求值． 【详解】解： ， 原式． 12. 蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，图象如图所示．当电阻时，电流的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流的取值范围． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， 当时，， 电流的取值范围是． 13. 如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式即扇形的面积公式 计算即可． 【详解】解：由扇形面积公式得：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点，分别在轴，轴上．若，，，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，作交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，根据锐角三角函数比求出相关边长，然后根据平移的性质求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，作交的延长线于点，则， ， ， ， ∵，，， ， ， ， 根据平移的性质可知， ， ∴将点先向右平移20个单位，再向下平移6个单位得到点， ∴将点先向右平移20个单位，再向下平移6个单位得到点， ． 15. 如图，在中，是中线，平分，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，，交于点，由平分，，可得，，，结合是中点，得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：延长，，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴ ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【答案】（1），， （2）七；减小 （3）人 【解析】 【分析】（1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）①利用七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； ②判断加入数据后方差分子、分母的变化即可； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； 【小问1详解】 解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生； ②原八年级成绩平均数为，加入一个分后，新的平均数仍为. 新增数据与平均数的差的平方为，方差分子不变分母增大，因此方差减小； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 18. 从阜新到沈阳铁路里程约为千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． （1）求高铁的平均速度； （2）我校共有名师生从阜新前往沈阳参加夏季研学活动，为了便于管理，所有人须乘坐同一列高铁，因二等座剩余座次有限，研学团需购买一部分一等座车票和一部分二等座车票，已知高铁单程一等座位票价为元，二等座位票价为元，学校预计提供交通补助费单程不超过元，请问学校至少购买多少张二等座位的车票． 【答案】（1）高铁的平均速度为千米/小时； （2）学校至少购买张二等座位的车票 【解析】 【分析】（1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，根据“学校预计提供交通补助费单程不超过3600元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时， 依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （千米/小时）． 答：高铁的平均速度为240千米/小时． 【小问2详解】 解：设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得 ， 解得 ， 答：学校至少购买28张二等座位的车票． 19. 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线与直线相交于点C，点P是线段上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线相交于点D．设点P的横坐标为t．与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中与时，函数的解析式不同）． （1）点A的坐标是　　，的面积是　　． （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，分类求解和解直角三角形是解题的关键． （1）从图2知，，即点，当点和点重合时，，即可求解； （2）当时，则；当时，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点， 从图2知，， 即点， 当点和点重合时， ； 故答案为：； 【小问2详解】 ， 则， 则点， 则， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 则点； 故； ∵， ∴， ∴， 当时， 则； 当时， 如图1，则， 则． 20. 图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且． （1）如图，当椅背垂直于地面时，求的度数； （2）图是一圆柱体水杯放置于小桌板上时的左视图，杯子到桌面边缘距离，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？（，，，，计算结果保留整数．） 【答案】（1） （2）最大高度是． 【解析】 【分析】（1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． （2）过点O作，过点A作于点T，过点E作于点S，则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点A作交与点D， 则， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点O作，过点A作于点T，过点E作于点S， 则，， ∴四边形是矩形，共线， ∴，， ∵， ∴， ∴中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴ ． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 21. 如图，在中，，平分，的平分线交于点，以为直径的经过点，交于另一点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，，延长交于点H，则，证明，由可得，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，，延长交于点H，则， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 22. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，点，都在延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）若点与点重合，，，请在备用图中依据题意补全图形，并求出此时线段的长度； （4）若，，点在射线上运动时，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵点与点重合，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图，在上取点G，使得，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）补全图形如图， （4） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，然后由旋转的性质可得，，进而得到，结合，可得四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质即可证得结论； （2）在上取点G，使得，连接，易证，得到，，，然后由旋转的性质可证得，得到，，进而求得，结合，推出，得到，最后由等腰三角形的性质可知，结合线段的和差关系即可得到结论； （3）连接，过点A作于点，由已知可得，，结合旋转的性质，先证明，得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后结合，证得，最后根据相似三角形的性质即可解答； （4）连接交于，连接，先证明，再证明，则，故当时，最小，再解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点A作于点， ∵，，，， ∴，， ∵点与点重合，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【小问4详解】 解：连接交于，连接， 由旋转可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴当时，最小， 此时 ∵， ∴在中，， ∴在中，． 23. 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、． （1）求出抛物线的解析式； （2）探究点的位置时发现：当点与点或点重合时，与的差均为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差均为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； （3）进一步探究发现：若将“使的面积为整数”的点记作“理想点”，则存在多个“理想点”．请你继续探究： ①使的周长最小的点是不是一个“理想点”？如果是，求出该“理想点”坐标，如果不是，请说明理由； ②直接写出所有“理想点”个数． 【答案】（1） （2）解：正确，理由如下： 设，则， ， ， ， ， 故猜想正确； （3）①是，“理想点”坐标为；②面积为整数时，“理想点”有4个． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）首先表示出、点坐标，再利用两点之间距离公式得出，的长，进而求出即可； （3）根据题意当、、三点共线时，最小，进而得出点坐标以及利用的面积可以等于0到3的所有整数，在面积为3时，的值有两个，进而得出答案． 【小问1详解】 解：边长为4的正方形的两边在坐标轴上， ，， 抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入，得，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：正确，理由略； 【小问3详解】 解：①当点运动时，的大小不变， 与的和最小时，的周长最小， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时点、的横坐标都为2， 将代入，得， 点坐标为，此时的周长最小，且的面积为，点恰为“理想点”， 的周长最小时，“理想点”坐标为； ②如图：连接，由（2）得， ， ， ， 当 时，解得或； 当 时，解得或（舍去）； 当 时，解得或（舍去）； 面积为整数时 “理想点”有4个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026九年级下学期数学学科限时作业 满分120分 考试时长120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. 圆锥 B. 球体 C. 圆柱 D. 正方体 3. 年，北京大学王路达教授团队在石墨烯薄膜上刻出了与气体分子尺寸相当的“埃米孔”．已知埃米米，该团队制备的埃米孔直径一般小于埃米，则埃米可以用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 一个不透明袋子中仅有红、黄、白球各一个，三个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，利用几个全等的直角三角尺（含角）拼摆成如下的四边形，其中不是菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 《算法统宗》中有这样一个问题：一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤两）．设共有x两银子，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点， ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点． 根据以上作图，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知实数，满足，则的值为______． 12. 蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，图象如图所示．当电阻时，电流的取值范围是________． 13. 如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点，分别在轴，轴上．若，，，则点坐标为________． 15. 如图，在中，是中线，平分，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则的长为________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）计算：； （2）计算：． 17. 年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 18. 从阜新到沈阳铁路里程约为千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． （1）求高铁的平均速度； （2）我校共有名师生从阜新前往沈阳参加夏季研学活动，为了便于管理，所有人须乘坐同一列高铁，因二等座剩余座次有限，研学团需购买一部分一等座车票和一部分二等座车票，已知高铁单程一等座位票价为元，二等座位票价为元，学校预计提供交通补助费单程不超过元，请问学校至少购买多少张二等座位的车票． 19. 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线与直线相交于点C，点P是线段上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线相交于点D．设点P的横坐标为t．与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中与时，函数的解析式不同）． （1）点A的坐标是　　，的面积是　　． （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 20. 图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且． （1）如图，当椅背垂直于地面时，求的度数； （2）图是一圆柱体水杯放置于小桌板上时的左视图，杯子到桌面边缘距离，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？（，，，，计算结果保留整数．） 21. 如图，在中，，平分，的平分线交于点，以为直径的经过点，交于另一点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，点，都在延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）若点与点重合，，，请在备用图中依据题意补全图形，并求出此时线段的长度； （4）若，，点在射线上运动时，连接，直接写出线段的最小值． 23. 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、． （1）求出抛物线的解析式； （2）探究点的位置时发现：当点与点或点重合时，与的差均为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差均为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； （3）进一步探究发现：若将“使的面积为整数”的点记作“理想点”，则存在多个“理想点”．请你继续探究： ①使的周长最小的点是不是一个“理想点”？如果是，求出该“理想点”坐标，如果不是，请说明理由； ②直接写出所有“理想点”个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $