河南信阳高级中学2026届三考前自测模数学试题B

**基本信息** 高三三模数学试卷以基础巩固与能力提升为梯度，通过探照灯抛物线、骑行概率等真实情境，考查函数、几何、概率等核心知识，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、双曲线、函数性质|基础概念辨析，如集合元素个数、函数单调性判断| |多选题|3/18|复数、立体几何、圆锥外接球|多选项分层设计，如圆锥外接球轨迹与最值分析| |填空题|3/15|正态分布、异面直线、椭圆离心率|空间想象与计算结合，如异面直线距离求解| |解答题|5/77|数列、概率应用、抛物线反射、立体几何翻折、导数综合|情境化与综合性强，如探照灯抛物线结合物理反射定律，概率题分析骑行天数分布及期望方差|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C D B C B D BCD ACD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．1 13．4或2 14．/ 15．(1)或 (2) 【分析】（1）根据等差数列定义由等比数列性质计算可得公差，即求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和代入公式计算可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由成等比数列可得， 解得或； 当时，可得， 当时，可得； 所以数列的通项公式为或. （2）由（1）可得，所以； 因此， 所以 即数列的前项和. 16．(1)0.7 (2) (3)；； 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【详解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题设得抛物线的通径，求出后可得抛物线的方程； （2）设抛物线在处的切线的方程为，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，从而可求法线方程与轴的交点坐标，故可证，结合题设中的反射定律可证所在直线平行于轴. 【详解】（1）由题设，通径的长为，故，所以抛物线的方程为. （2）因为不是顶点，故抛物线在处的切线的斜率必存在且不为零且纵截距也不为零， 如图，设抛物线在处的切线的方程为， 由得，① 则，得， 代入①式，得，故点的坐标为. 过点作直线AP垂直于直线l，AP与轴交于点， 则直线AP的方程为. 令，可得，又，所以. 又，所以， 所以，又由反射定律知，所以， 所以AH所在直线平行于轴. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为E，连接，，易得，，根据线面垂直的判定、性质证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角余弦值的范围. 【详解】（1）如图，取中点为E，连接，， 因为，，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）因为为等腰三角形，，即， 所以，因为为等边三角形， 所以，故，， 因为，则，即，又，， 所以，，两两互相垂直，以E为原点，为基底建立空间直角坐标系, 则，，， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，得， 设，所以，则，故， 设平面的法向量为，， 则，即，取，得， 所以， 令，则，所以， 因为时，，所以， 所以. 19．(1) (2) (3). 【分析】（1）就、和分类讨论后可得函数的单调性； （2）利用因式分解可得有两个不等的实数根，结合实数根的性质可求得根及的范围，再结合斜率比值可求的值； （3）利用特值探路可得，再结合放缩法及虚设零点，利用导数证明前者为充分条件后可得参数的范围. 【详解】（1）， 令得或， ①当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极大值点，不符合题意. ②当，即时，恒成立，无极值点，不符合题意. ③当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极小值点，符合题意. 综上可知，的取值范围是. （2）由得或， 设，则，所以有两不等实根. 所以，，， 又因为，所以，， 则，且，故， 且，而， 所以，， 则，解之得或8（舍去）. （3）因为当且仅当，所以，则 因为，当时，，不符合题意； 当时， ①当时，， 记，， 若，，则单调递增，所以. 若，令，， 令，，易得单调递增， 所以，即， 则使，列表得： 0 极小值 因为，，所以使，列表得 0 极小值 又因为，，使，列表得 0 极大值 又，，所以，则当时，. ②当时， ， 设，则， 当时，， 故在上单调递增，故即， 设，则， 设，则， 在上为减函数，故，， 故在上存在一个零点，使得， 且当时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 而，，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故在上恒成立. 综上，当时，即， 综上可得，的取值范围是. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，则A的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 6．若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．3 D．4 8．不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 10．如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 11．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆锥底面上任意一点，为圆锥外接球的球心，为球面上一点，且，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．球的体积为 C．点的轨迹长度为 D．的最大值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知随机变量，且，则______. 13．如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 14．设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足，则椭圆E的离心率为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 16．（15分）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 17．（15分）某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 18．（17分）如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． (1)证明：； (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 19．（17分）已知函数，. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； (3)若当且仅当，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $