湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 湖北曾都一中高一下5月月考数学卷，聚焦复数、立体几何、向量等核心知识，通过台风移动（7题）、四棱锥动态问题（18题）等设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高一下学期阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数纯虚数、正方体对角线夹角、直观图面积|基础概念辨析，如第2题多角度考查空间角| |多选|3/18|向量运算、折叠问题（10题）、解三角形|选项分层，如10题结合折叠动态分析线面关系| |填空|3/15|复数模、圆锥外接球表面积、投影向量模|综合性计算，如13题关联侧面展开与球表面积| |解答题|5/77|解三角形（15题）、四棱锥证明与计算（18题）|分层设计，如18题含线面证明、线面角、二面角，递进考查空间思维|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期5月月考数学试题 考试时间：2026-6-1 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1．复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B． C． D．1 2．在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（    ） A．0 B． C． D． 3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（   ）   A． B．1 C． D．2 4．如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函数，且是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D．2 7．在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 （第3题图） （第4题图） （第10题图） 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9．下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（   ） A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥的体积的最大值为 C．当时，点到的距离为 D．当时，点到平面的距离为 11．在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（    ） A．三角形一定不是锐角三角形 D．若三角形是直角三角形且，则 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数满足，则______． 13．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的外接球的表面积是________． 14．已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 四、解答题（77分） 15．（13分）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 16．（15分）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 17．（15分）已知，，函数. (1)求的最小正周期； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值； (3)将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集. 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 19．（17分）在中，已知，的面积S满足：． (1)求的值； (2)如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 湖北曾都一中高一下学期5月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C B A C B A ABD AC ACD 12． 13．/ 14．/ 8．【详解】分别表示与同方向的单位向量，故为的平分线所在直线，又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得，取的中点，则，， ，故，所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 11．ACD 【详解】对A，由余弦定理得， 又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即， 又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误. 14．解法1：已知，则，又，满足，则， 则，又，即，即，又，即，则在上投影向量为， 所以，即在上投影向量的模的最小值为. 15．(1)(2) 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得，.............5分 又，所以，解得....................6分 （2）因为，所以，即，又，所以...8分 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）.............12分 故...........................13分 16．【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以.........................7分 （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面...........................15分 17．(1)(2)当时，；当时， (3)，. 【详解】（1）由已知，， 故，所以....4分 （2）因为，所以，故，故， 当，即时，，当，即时，...9分 （3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，所以. 又函数的图象关于点对称，所以， 故，即时即时， 当取最小值且时，此时，此时，即 解得，解得，其中， 即不等式解集为，.......................15分 18．(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）取的中点为，连接，则，且，又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面.............5分 （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角，如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面，所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点．又， 则， 在中，，所以， 即直线与底面所成角的正切值为......................11分 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，，所以，又因为，，所以．当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为.........................17分 19．(1)(2)（i）的面积为，的面积为（ii） 【详解】（1）因为，所以， 即，得，所以，而， 在中，由余弦定理可知，, 所以，即............4分 （2）（i）记，的面积分别为，设， 在中，由余弦定理可知，， 则， 即，则， 在中，由正弦定理可知，，即， 所以， 故的面积为，的面积为.......10分 （ii）记的面积为，则， 由，可得， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立...............17分 学科网（北京）股份有限公司 $