第八章 成对数据的统计分析（复习课件）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学单元复习课件系统梳理了成对数据的统计相关性、一元线性回归模型及列联表与独立性检验三大核心内容，通过单元知识图谱将变量相关关系、样本相关系数、最小二乘估计、卡方检验等知识点逻辑串联，帮助学生构建完整的统计分析知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如通过样本相关系数计算、非线性回归方程建立等例题，结合残差分析、决定系数应用，培养学生的数据分析和逻辑推理能力。针对训练分基础与综合题，满足分层教学需求，助力学生巩固知识，也为教师提供清晰的复习路径，提升教学效率。

单元复习课件 第八章 成对数据的统计分析 人教A版选择性必修第三册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.复习回顾通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性；进一步掌握一元线性回归模型的含义，掌握一元线性回归模型参数的最二小乘估计方法；通过具体实例，体会统计思维与确定性思维的差异；积累数据分析经验，培养数据分析、逻辑推理等素养. 3.回顾并梳理刻画模型拟合效果指标效果的指标，非线性向线性的转化分析;运用独立性检验基本方法以及与统计、概率知识的综合应用. 2. 理解样本相关系数、经验回归方程的求解与运用. 2×2列联表的统计意义，独立性检验的基本思想，独立性检验的基本方法及其应用. 单元学习目标 成对数据的统计相关性 变量的相关关系 样本相关系数 一元线性回归模型及其应用 列联表与独立性检验 一元线性回归模型 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 分类变量与列联表 独立性检验 单元知识图谱 一、成对数据的统计相关性 （一）变量的相关关系 1.相关关系： 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 2. 变量相关关系的分类 分类一： 正相关：指的是两个变量有相同的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大,点的位置散布在从左下角到右上角的区域. 负相关：指的是两个变量有相反的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变小,点的位置散布在从左上角到右下角的区域内. 考点串讲 一、成对数据的统计相关性 （一）变量的相关关系 分类二： 线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 非线性相关：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 考点串讲 一、成对数据的统计相关性 （一）变量的相关关系 3.样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1, y1), (x2, y2),‧‧‧, (xn, yn)，其中x1, x2, ‧‧‧, xn和y1, y2,‧‧‧, yn的均值分别为 和 . 我们称 为变量x和变量y的样本相关系数. 考点串讲 一、成对数据的统计相关性 （一）变量的相关关系 当r>0时，称成对样本数据正相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大． 当r<0时，称成对样本数据负相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小． 考点串讲 一、成对数据的统计相关性 （一）变量的相关关系 3.样本相关系数的性质 相关系数r的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： ① 当r>0时，成对样本数据正相关； 当r<0时，成对样本数据负相关. ② r的范围：|r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱； 特别地， 当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系； 但不排除它们有其他相关关系 当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 考点串讲 二、一元线性回归模型及其应用 （二）一元线性回归模型 由于成对样本数据的散点图中，散点分布在一条直线y=bx+a的周围，因此可以用bx+a表示Y的均值,引入随机误差e，用以囊括其他所有随机影响因素， 可建立一元线性回归模型 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是随机变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b为模型的未知参数，需要根据成对样本数据进行估计. 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 1.一元线性回归模型 考点串讲 二、一元线性回归模型及其应用 （二）一元线性回归模型 2.经验回归方程 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用该公式求得的 叫做b, a的最小二乘估计.其中 说明：（1）经验回归直线必过样本中心; （2）与相关系数r符号相同. 考点串讲 二、一元线性回归模型及其应用 （二）一元线性回归模型 3.残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据y称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值 称为残差. 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 考点串讲 二、一元线性回归模型及其应用 （二）一元线性回归模型 4.决定系数R2 通过前面的讨论我们知道，当残差的平方和越小，经验回归模型的拟合效果就越好，故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果. 决定系数R2的计算公式为 残差平方和 偏差平方和 （与经验回归方程有关） （与经验回归方程无关） R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 在一元线性回归模型中 R2=r2，即决定系数R2等于响应变量与解释变量的样本相关系数r的平方. 显然0≤R2≤1，R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好. 考点串讲 三、列联表与独立性检验 （一）分类变量与列联表 1. 分类变量 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种. 考点串讲 三、列联表与独立性检验 （一）分类变量与列联表 2. 2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存.我们将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 组别 甲(Y＝0) 乙(Y＝1) 合计 A(X＝0) a b a＋b B(X＝1) c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 考点串讲 三、列联表与独立性检验 （二）独立性检验 1. 卡方统计量 根据分类变量X和Y的2×2列联表中的数据可得如下统计量： 该表达式可化简为 考点串讲 三、列联表与独立性检验 （二）独立性检验 2. χ2的临界值 忽略卡方的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数，使得下面关系成立： 我们称xα为α的临界值， 这个临界值可以作为判断χ2大小的标准. 只要把概率值α取得充分小，在零假设成立的情 况下，事件{χ2 ≥ xα}是不大可能发生的，根据这个规律， 如果该事件发生， 我们就可以推断零假设不成立，不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过α. 概率值α越小，临界值xα越大. 考点串讲 三、列联表与独立性检验 （二）独立性检验 ①当≥时，我们就推断 H0 不成立，即认为X和Y不独立. ②当<时，我们没有充分证据推断 H0 不成立，可以认为X和Y独立. 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 该推断犯错误的概率不超过 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： 基于小概率值α的检验规则: 3.独立性检验 考点串讲 【题型一】样本相关系数 【例1】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：)和材积量y(单位： )，得到如下数据： 样本号ff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 并计算得,,， ， . (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积（单位： ）与平均一棵的材积量 （单位： ）； [解析] 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积 , 平均一棵的材积量 . 题型剖析 【题型一】样本相关系数 (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 ）； [解析] 样本相关系数 ， 即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97. (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积 总和为 ,已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,利用以上数据给出该林 区这种树木的总材积量的估计值. [解析] 设这种树木的根部横截面积总和为,总材积量为 ， 则,则 , 所以该林区这种树木的总材积量的估计值为 . 题型剖析 【训练1】现随机抽取了某校10名学生在入学考试中的数学成绩 （单位：分）与入学后的第一次考试中的数学成绩 （单位：分），数据如下表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请用样本相关系数 判断这10名学生的两次考试的数学成绩之间的线性相关关系的强 弱（若 ，则线性相关关系很强）. 参考数据：，， , , . [解析] 由题表中数据可得 ， ， 所以样本相关系数 ， 因为 ，所以两次考试的数学成绩之间的线性相关关系很强. 针对训练 【题型二】线性回归分析 【例2】一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表： 零件数 个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 (1)画出散点图，并初步判断与 是否线性相关，若线性相关，求经验回归方程； [解析] 散点图如图所示. 题型剖析 【题型二】线性回归分析 由图可知，， 线性相关， 与 的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设经验回归方程为 . 将数据代入相应公式可得数据表： 编号 零件数 个 加工时间 1 10 62 620 100 2 20 72 1 440 400 3 30 75 2 250 900 4 40 81 3 240 1 600 5 50 85 4 250 2 500 6 60 95 5 700 3 600 7 70 103 7 210 4 900 8 80 108 8 640 6 400 9 90 112 10 080 8 100 10 100 127 12 700 10 000 合计 550 920 56 130 38 500 ， ， ， ， 经验回归方程为 . 题型剖析 【题型二】线性回归分析 （2）求出 ； [解析] 利用（1）中经验回归方程求出下列数据. 61.85 68.55 75.25 81.95 88.65 0.15 3.45 95.35 102.05 108.75 115.45 122.15 0.95 4.85 3 11 16 20 35 . 题型剖析 【题型二】线性回归分析 （3）作出残差图； [解析] ，利用(2)中数 据作出残差图，如图所示. （4）进行残差分析. [解析] 由散点图可以看出与有很强的 线性相关性，由 的值可以看出回归模 型的拟合效果很好.由残差图也可以观察 到，第2,5,9,10个样本点的残差比较大， 需要确认在采集这些样本点的过程中是 否有人为的错误. 题型剖析 【训练2】“天宫”空间站、“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”探月……从远古神话 梦想到新中国成立后的航天事业飞速发展，中国人正一步一个脚印地探索更高、 更远的太空奥秘.其中，飞行器及其动力装置、附件、仪表所用到的各类材料是航 天工程技术发展的部分决定性因素.某公司负责生产的 型航天材料是飞行器的重 要零件，该材料应用前景十分广泛，现该公司欲对 型航天材料进行改造，根据 市场调研与模拟，得到改造投入（单位：亿元）与产品的直接收益 （单位：亿 元）的数据统计如下： 2 3 4 6 10 11 12 22 26 41 53 65 经研究表明，与 具有线性相关关系. 针对训练 （1）根据统计表中的数据，求出关于的经验回归方程 ； [解析] 由题表中数据得 ， ， 所以 ， ， 故所求经验回归方程为 . 针对训练 （2）为了鼓励科技创新，当改造投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴5亿元， 试估计当公司收益（直接收益 国家补贴）达到90亿元时，改造投入约为多少亿元 （精确到 ）.参考数据：， . [解析] 由题意得 ， 解得 ， ，符合国家给予公司补贴的条件， 所以公司收益达到90亿元时，改造投入约为15.15亿元. 针对训练 【题型三】非线性回归分析 【例3】 某研发团队为制订下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入 （单位：亿元）对年销售额 （单位：亿元）的影响,现结合该研发团队近12年的年研发资金投入和年销售额 的数据 建立了两个函数模型： ，，其中 , , ,均为常数， 为自然对数的底数，经过对历史数据的初步处理，得到散点图如图. 令, ，计算得数据如表所示： 20 66 770 200 14 460 4.20 3 125 000 0.308 21 500 题型剖析 【题型三】非线性回归分析 （1）设和的样本相关系数为,和的样本相关系数为 ，请从样本相关系数的 角度考虑，选择一个拟合程度更好的模型（精确到 ）； [解析] , , 则，因此从样本相关系数的角度考虑，模型 的拟合程度更好. 题型剖析 【题型三】非线性回归分析 (2)①根据（1）中的选择及表中数据，建立关于 的经验回归方程（精确到 ）； [解析] 由，得 ，即 . , ,, 所以关于的经验回归方程为 , 所以,则 . 题型剖析 【题型三】非线性回归分析 ②若下一年的年销售额需达到80亿元，则预测下一年的研发资金投入为多少亿元. 参考数据：， . [解析] 下一年的年销售额需达到80亿元，即 ，代入 得， , 又,所以 , 解得 ， 所以预测下一年的研发资金投入为27.1亿元. 题型剖析 【训练3】红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数 （单位：个）和平均温度 （单位： ）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据 5 215 17 713 714 27 81.3 3.6 （1）根据散点图判断，与（其中,,, 均为常数，为自然对数的 底数）哪一个更适合作为平均产卵数 （单位：个）关于平均温度（单位： ）的回 归模型（给出判断即可，不必说明理由）； [解析] 由散点图可以判断，更适合作为平均产卵数 关于平均温度 的回 归模型. 针对训练 （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于 的经验回归方程（精确到 ）； [解析] 两边同时取自然对数， 可得，设 ,又 ， . 由题表中的数据可得， ， ， ， 则 ， 所以关于的经验回归方程为 ， 故关于的经验回归方程为 . 针对训练 （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温 在以下的年数占 ，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气 温在至的年数占 ，柚子产量会下降；平均气温在以上的年 数占，柚子产量会下降 .为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研究出各种 防虫害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万 元，根据以上数据，以得到最高收益（收益 产值-防虫害费用）为目标，请为果 农从以下几个方案中选择最佳防虫害方案，并说明理由. 方案一：选择防虫害措施 ，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害，费用是18万； 方案二：选择防虫害措施，可以防治至 的蜘蛛虫害，但无法防治 以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案三：不采取防虫害措施. [解析] 用，和 分别表示选择三种方案的收益. 采用方案一，无论气温如何，产值不受影响，收益为 （万），即 ； 针对训练 采用方案二，若年平均气温在及以下，则收益为 （万）， 若年平均气温在以上，则收益为 （万）， 即 同样，采用方案三，有 ， ， . 显然 最大，所以选择方案一最佳. 针对训练 【题型四】独立性检验 【例4】为了响应国家精准扶贫的号召，某村特地承包一块地，土地的使用面积与管理时间 的关系如表1.调查了300名村民参与管理的意愿如表2. 表1 土地使用面积 1 2 3 4 5 管理时间 8 10 13 25 24 表2 单位：人 性别 参与管理的意愿 合计 愿意 不愿意 男 150 50 200 女 50 合计 200 300 题型剖析 【题型四】独立性检验 (1)判断管理时间与土地面积有极强的线性相关关系，求出关于 的经验回归方程； [解析] 依题意可得， , , , , 所以 , , 即关于的经验回归方程为 . 题型剖析 【题型四】独立性检验 (2)完善表2中的数据,依据小概率值 的独立性检验，分析参与管理的意愿 是否与性别有关联； [解析] 完善表格如下：(单位：人) 性别 参与管理的意愿 合计 愿意 不愿意 男 150 50 200 女 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为 参与管理的意愿和性别没有关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 , 依据小概率值的独立性检验，推断 不成立，即认为参与管理的意愿和 性别有关联. 题型剖析 【题型四】独立性检验 （3）利用分层随机抽样的方法从愿意参与管理的村民中抽取4人，再从4人中抽取 3人，其中男性人数为，求 的分布列和数学期望. [解析] 利用分层随机抽样的方法从愿意参与管理的村民中抽取4人，则 抽到的男性有 （人），抽到的女性有1人. 依题意得， 的所有可能取值为2，3, 则 ， , 故 的分布列为 2 3 所以 . 题型剖析 【训练4】 第24届冬季奥林匹克运动会在我国成功举行.为调查不同地域的青少年对 冰雪运动的了解情况，某机构抽样调查了北京、天津、上海、重庆四个城市的部分 高中生，调查问卷共20道题目. (1)若某个参加调查的同学能确定其中10道题目的答案，其余10道题目中，有5道题 目他能够答对的概率均为 ，另外5道题目他能够答对的概率均为 ，求该同学答 对题目道数的均值； [解析] 记答对概率为0.6的5道题目中，该同学答对的道数为 ， 答对概率为0.2的5道题目中，该同学答对的道数为 ，则, , 所以该同学答对题目的道数的均值为 . 针对训练 (2)将重庆和上海并为“南方组”，北京和天津并为“北方组”，通过调查得到如下列 联表：(单位：人) 地域类别 了解程度 合计 不了解 非常了解 南方组 53 112 165 北方组 96 139 235 合计 149 251 400 请在参考数据②中选择一个 ，根据小概率值 的独立性检验，分析对冰雪运动 的了解程度是否存在南北地域差异. 参考数据： , , . 针对训练 ②临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [解析] 零假设为 对冰雪运动的了解程度不存在南北地域差异. 由已知条件及参考数据得， . 若选择,则 , 根据小概率值的独立性检验，推断 不成立，即认为对冰雪运动的了解程 度存在南北地域差异，此推断犯错误的概率不大于0.1. 若选择，则 ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，可以认为 成 立，即认为对冰雪运动的了解程度不存在南北地域差异. 针对训练 一、求线性回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)计算有关数据． (4)代入公式计算． (5)写出经验回归方程＝x＋. 注：用公式计算，的值时，一般要先计算，然后才能算出. 课堂总结 二、建立回归模型的一般步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量； (2)画出确定好的解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系)； (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性 回归方程x＋； (4)按一定规则估计回归方程中的参数； (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等)．若残差存在异常，则应检查数据是否有误，或模型是否合适等； (6)依据回归方程作出预报． 课堂总结 三、非线性回归问题的处理方法 1.指数函数型y＝ebx＋a ①函数y＝ebx＋a的图象如图所示： ②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a. 令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 课堂总结 三、非线性回归问题的处理方法 2.对数函数型y＝bln x＋a ①函数y＝bln x＋a的图象如图所示： ②处理方法：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 课堂总结 四、独立性检验的大致步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 课堂总结 感谢聆听! 如果χ2≥xα，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． $