精品解析：2026年北京市丰台区中考二模考试数学

丰台区2026年九年级学业水平考试综合练习（二） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误； 、，该选项运算错误； 、，该选项运算正确； 、，该选项运算错误． 4. 实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵实数，对应的点，在原点两侧，且到原点距离相等 ∴与互为相反数，即，且， 选项A，互为相反数的两个数绝对值相等，故一定成立； 选项B， ，故一定成立； 选项C，题目未说明，的正负，若，则，此时 ，故不一定成立； 选项D，，异号，异号两数相乘为负，故一定成立． 5. 如图，为的直径，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，可得是等边三角形，得到，即得，又由得到，即得到，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 由题意知， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 6. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀．按此步骤重复操作，前4次每次摸出的都是红球，则摸第5次时摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】有放回摸球时，每次摸球的结果互不影响，据此解答即可． 【详解】解：∵袋子中原有个红球个白球，摸球后将球放回摇匀，前四次摸球结果不影响第五次摸球的概率， ∴第五次摸球时，袋子中仍有个球，其中红球有个， ∴第五次摸出红球的概率为． 7. 在平面直角坐标系中，点，点，记点，之间的距离为．将沿轴翻折，再沿射线的方向平移个单位长度后，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何变换，先计算点，之间的距离，确定翻折后的点坐标，最终确定对应点的坐标． 【详解】解：点，点， ， 将沿轴翻折， 与点关于轴对称， 此时的的对应点横坐标不变，纵坐标为相反数，即， 沿射线的方向平移5个单位长度， 相当于点到点，即横坐标变化，纵坐标变化， 到的横坐标变化：， 纵坐标变化：， ． 8. 如图，正方形的边长为2，将边，，，分别绕点顺时针旋转（），得到，，，，连接，，，．给出下面四个结论：（） ①对于任意都有； ②对于任意四边形为正方形； ③四边形的面积随的增大而增大； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转角相等以及三角形内角和，证明，判断①； 证明四边形四边相等、内角为，判定为正方形，判断②； 分析四边形面积随旋转角的变化规律，判断③； 当时，用勾股定理求边长，计算周长，判断④． 【详解】解：已知正方形边长为2，，四条边分别绕顶 点顺时针旋转， 则， ， ， ； 旋转角： ， 设与交于点，与交于点， , 又 , 则 ， 内角和推导得，即，故结论①正确； 设与交于点，与交于点，连接，，，由①知，， ，， ， ， 由旋转： ， 旋转角： ， ，， ， ， ， 即 ， ， 又 ， ， ，， 同理可证，，则四边形为菱形， 又 ， ， 则 ，即， 则四边形为正方形，②正确； 由②知，四边形面积正方形面积4个全等三角形（）的面积4个全等三角形（）的面积， ， ， ， ， ， ， 则四边形面积 ， 当以及 时， ，则这两种情况下四边形面积相等，因此面积不是随增大一直增大，故结论③错误； 当时， ， ， ， ， 根据勾股定理， 又四边形是正方形， 故周长，故结论④正确， 综上，正确的结论为①②④． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 分解因式： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的提公因式法与完全平方公式的应用，解题的关键是先提取多项式各项的公因式，再对剩余部分判断是否能利用公式进一步分解． 先观察多项式各项，提取公因式，得到；再发现括号内的二次三项式符合完全平方公式，将其分解为，最终得到因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 10. 写出一个比大且比小的整数是___________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 11. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再结合两点横坐标的范围判断两点所在象限，得到两个函数值的正负后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， ∴该函数的图象位于第二、四象限， ， 点在第二象限，可得， ， 点在第四象限，可得， ． 12. 某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【解析】 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． 13. 图1是中国园林建筑中的爬山廊（连接山坡上下两组建筑的廊子），某学习小组在此开展乐学公园实践活动——使用自制测坡仪测量爬山廊的倾斜角度．图2是该小组实践报告中的测量示意图及操作说明．若测得细绳与刻度线的夹角，则爬山廊的倾斜角度＝________°． 【答案】22 【解析】 【分析】首先明确关键物理性质：悬挂重物的细绳方向是竖直向下，得 ，根据正方形对边平行，得 ，得 ，得 ． 【详解】解：如图，延长交于点F，交水平面于点G，设水平面与坡面的交点为I，图中各点在同一个平面内， ∵悬挂重物的细绳方向是竖直向下， ∴ ， ∴ ， ∵正方形纸板中，，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 14. 某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分段计费问题的实际应用，先计算白天停车产生的费用，再计算夜间停车的费用，最后根据剩余费用推算第二天白天停车的时长． 【详解】解： 小王停小型车， 处于白天 停车， 此时白天的停车时长为： ， 根据小型车的收费标准，分为首小时和首小时后， ， 首小时费用：（元），首小时后的费用： （元）， 第一天白天的费用：（元）， 则剩余费用为：（元）， 夜间时段为： 次日， 共小时， ， 夜间费用为：（元）， 则扣除夜间费用还剩（元）， 此时的3元为第二天白天收费阶段， （个）， ， 离开时间为：（答案不唯一）． 15. 如图，矩形中，，，E是边延长线上一点，且，，垂足为F，则和的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形性质求出线段，结合勾股定理算出的长度；连接，根据平行线间距离相等，用面积法求出高；在中，由勾股定理求得，进而算出；依据同高三角形面积比等于底边长之比，求出最终面积比． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， 点在的延长线上， ， 又， ， 在中，由勾股定理得： ， 连接． ，， 点到直线的距离等于线段的长， ， ， 是边上的高， ， 将，代入得： ， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 与有公共的高， 两个三角形的面积比等于对应底边长之比， ． 16. 某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 【答案】 ①. 87 ②. 460 【解析】 【分析】本题为方案最值问题，每个产品需要甲、乙零件各1个，因此生产产品数等于甲零件总数与乙零件总数的较小值，解题思路为：1天生产枚举所有分工方案，取最小数的最大值；多天生产按各流水线生产甲的相对效率排序，优先安排相对效率高的流水线生产甲，使甲、乙总数尽可能接近，得到最大产量． 【详解】解：若A，B流水线生产甲零件，有个，C，D流水线生产乙零件，则有 个，此时生产该产品74个； 若A，C流水线生产甲零件，有个，B，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品66个； 若A，D流水线生产甲零件，有个，B，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品77个； 若B，C流水线生产甲零件，有个，A，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品76个； 若B，D流水线生产甲零件，有个，A，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品87个； 若C，D流水线生产甲零件，有个，A，B流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品79个； ∵， ∴四条流水线都开通，1天最多生产该产品87个； 四条流水线生产甲零件与生产乙零件的个数比分别为， ∴优先安排相对效率高的流水线生产甲零件，  设A流水线5天全生产甲，B流水线5天全生产甲，C流水线5天全生产乙，D流水线 x天生产甲零件，天生产乙零件，则生产甲零件共有个， 生产乙零件共有个， 当生产甲零件的个数等于生产乙零件的个数时， ， 解得：，符合实际要求， 所以生产零件的个数为个， 即5天最大产量为460个． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20，21题每题6分，第22，23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】原式先计算绝对值、特殊角三角函数值、立方根以及零指数幂，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ， ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得 ， 整理得，， 解得， 检验：当时， ， ∴是原分式方程的解． 19. 下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 【答案】解：如图 勾股定理； ； ； ． 【解析】 【分析】先作一个直角，使其两条直角边与已知的两边对应相等，利用勾股定理算出新三角形斜边长度等于，再通过证明两个三角形全等，从而推出有直角，完成逆定理证明． 【详解】略 20. 某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 【答案】这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内 【解析】 【分析】设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据“1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，将其代入中，可求出小云这周的午餐蛋白质摄入总量，再将其与学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量比较后，即可得出结论． 【详解】解：设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据题意得： ， 解得， ， 不低于，且不高于 ， ∴这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内． 21. 如图，在中，是边上的一点（不与点重合），是边的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ， ∵是中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】 证明 ，得到，即可求证； 由直角三角形的性质得，即得，又由等腰三角形的性质及三角形外角性质得，进而得到，再利用勾股定理得，最后根据平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解： ， ， ∵是边的中点， ∴， ， ， ， 在中， ， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点M，N的横坐标，结合“点M，N位于y轴两侧”可知点M，N的横坐标异号，即，然后建立关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：依据题意，得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由（1）可知，一次函数的解析式为， 联立与， 可得，解得， 联立与， 可得，解得， ∵点M，N位于y轴两侧，即两点横坐标异号， ∴， ∴，整理可得， ∴或， 解不等式组，可得， 解不等式组，该不等式无解， ∵， ∴或． 23. 某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； （2）八年级选手中个人综合得分的最高分是________； （3）在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； （4）经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 【答案】（1）3 （2）88 （3）<，> （4）多于 【解析】 【分析】（1）观察图即可得出结论； （2）分别根据知识竞答和实践成果所占的比例求出个人综合得分，比较得出答案； （3）根据中位数的定义解答，再根据方差的性质解答； （4）先判断得分超过80分的人数，再比较确定人数即可． 【小问1详解】 解：观察图可知，七年级知识竞答得分最高的选手为图中最右边的点，其在实践成果得分中处于第三名； 【小问2详解】 解：八年级知识竞答最高得分是90分，实践成果得分是85分，所以其个人综合得分是（分）；八年级实践成果得分最高得分是90分，知识竞答得分是85分，所以其个人综合得分是（分）， 则八年级选手中个人综合得分的最高分是88分； 【小问3详解】 解：七年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，在80和85之间，可知在80和85之间；八年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，一个数是85，另一个超过85，可知大于85，所以；观察七年级和八年级的实践成果得分可知八年级实践成果的成绩比较集中，数据比较稳定，所以； 【小问4详解】 解：观察频数分布直方图可知七年级个人综合得分超过80分有6人，八年级超过80分的有5人，七年级第6名的成绩大约为（分），八年级第5名的成绩大约为（分），所以个人综合得分前十名的选手中七年级的人数多于八年级人数． 24. 如图，为的直径，弦与交于点E，，过点B作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接． ， ． ， ， 即． 为的切线， ，即． ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据弧与圆心角的关系结合三线合一得到，再由圆的切线的性质得到，即可证明平行； （2）连接，则由圆周角定理得，则，设，则那么，再解和，最后利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ， ． 在中，， ∴， 设，则． ， ． 在中， ． 解得． ． 在中， ∴． ，， ． ， ． ． ． 25. 某班同学在制作简易密度计的过程中，进行了如下实验：如图，将密度计放入密度为（单位：）的液体中，测量其竖直平稳漂浮时露出液面的高度（单位：）．记甲、乙两位同学制作的长度相同的密度计A，B露出液面的高度分别为，．他们记录的部分数据如下表： （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中画出了与的图象，请画出与的图象． （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当液体的密度为时，约为________，约为________（结果精确到）； ②现有密度为，，的三种液体，其中，且，选择一个密度计依次放入三种液体中，其露出液面的高度分别为，，，则________（填“”“”或“”）； ③将一个密度计依次放入密度为，（）的两种液体中，记露出液面的高度差为，不同的密度计对应的的值越大越容易读取数据，因此更容易读取数据的是密度计________（填“A”或“B”）． 【答案】（1） （2）①，；②；③B 【解析】 【分析】（1）根据列表，描点，然后用光滑的曲线连接即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②根据函数图象可得随着的增大逐渐增大，且增大幅度逐渐减小，即可求解； ③比较函数值的范围，得出的高度差较大，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （1）①根据函数图象可得当液体的密度为时，约为 ，约为； ②根据图象和图象，可知：随着的增大逐渐增大，且增大幅度逐渐减小， ∴当时，，且； ③∵当时，，， ∴的高度差较大， ∴更容易读取数据的是密度计B 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． （1）用含的式子表示，并求的值； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线 于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①或6；② 【解析】 【分析】（1）抛物线顶点式：，顶点，根据题意顶点为，先写出顶点式再展开对比一般式，即可求出、； （2）①先梳理点、坐标，写出的表达式，把代入的表达式求解； ②写出的表达式，根据不同值分情况讨论． 【小问1详解】 解：依据题意，设抛物线的表达式为 ， 即， 又抛物线表达式可以表达为， ． 【小问2详解】 解：①设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， ， 根据题意，则有 ， 情况1： ， ， 因式分解： ， 得 ， 情况2: ， ， 判别式 ，无实数根， 综上，或． ②设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， 当时，， 当或时，． 当时，， ． 函数的图象开口向下， 对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小； 当或时，， ． 函数的图象开口向上， 对称轴为， :当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． I．当时，有 ， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； Ⅱ．当时，有 ， （i）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； （ii）当 时，有 ， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iii）当时，有 ， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 当时，d随t的增大而增大， 且当 时，， ，即， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iv）当时，有 ， 点从点运动到点的过程中，存在d的值，t有三个值与之对应， 不合题意， 综上所述：． 27. 如图，在中，，（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点． （1）求的大小； （2）点是线段中点，在线段上截取，连接．补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①补全图形 数量关系：， 证明：作点关于的对称点，连接，，． 垂直平分． ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， 根据勾股定理，， ， ，点为的中点， 设，，则． ，， ． ，， ， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，由旋转可得，，，进而求出，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）作点关于的对称点，连接，，，根据对称得到，，则，，推出，证明得到，根据勾股定理得到，根据题意可设，，则，，求出，根据直角三角形的斜边中线定理得，即可得证． 【小问1详解】 解：，， ． 由旋转可得，，， ， ， ； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和线段，给出如下定义：若弦上存在点，使线段关于点中心对称的线段是的弦（点，分别是点，的对应点），则称线段是弦的关联线段． （1）与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ①点，．在线段，，中，线段___________是弦的关联线段； ②若直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，直接写出的取值范围； （2）已知点，．若中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 或 【解析】 【分析】（1）①设与轴的负半轴交于点，则，根据题意画出图形，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质结合新定义即可得出结论． ②设与轴交于点，则，关于点中心对称的点记为，关于点中心对称的点记为，分别求得，，进而得出直线的表达式为，上存在线段是线段是弦的关联线段，进而求得临界值，即当与相切时，求得的值，即可求解． （2）反向思考，作分别关于的对称点，分别以2为半径作圆，则在关于的中心对称的圆的内部，根据得出在半径为的上，在圆心为，半径分别为，的圆环内部，求得，则，据此列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵的半径为，与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ∴， 如图，设与轴的负半轴交于点，则 ∴， ∵，． ∴，且，轴 ∴四边形是平行四边形，为对角线 ∴与关于的中点中心对称，且为的一条弦， 与关于的中点中心对称，且为的直径， ∴线段，是弦的关联线段； 关于的中心对称点在上，且轴，则关于的中心对称的线段不是的一条弦， ∴线段 不 是弦 的关联线段； ②解：设与轴交于点，则， ∴， 当时，如图所示， 依题意，为上任意一点， 关于点中心对称的点记为，关于点中心对称的点记为 当重合时，则，即 当重合时，则，即 设直线的表达式为 代入， 解得： ∴直线的表达式为 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 同理可得直线的解析式为 ∴直线与直线平行， ∴与轴的夹角为 ∵直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段， ∴上存在线段是线段是弦的关联线段 当与相切时，如图， 设切点为， ∴，则是等腰直角三角形， ∴，则 ∵ ∴ 解得；； 当时，同理可得 ∴直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，则与相交， ∴； 【小问2详解】 解：如图，，，则，为的中点，则 作分别关于的对称点，分别以2为半径作圆， ∴关于的中心的圆与重合， ∵， ∴， ∵中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段， ∴在关于的中心对称的圆的内部， ∵，， ∴， 当在上滑动时，绕点旋转， ∵，则在半径为的上， ∵线段是弦的关联线段， ∴如图，在圆环内部（包括边界，图中阴影部分），圆环的内、外圆圆心皆为，半径分别为，6， ∴，即 ∵，， 的半径为，以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 解得： 或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2026年九年级学业水平考试综合练习（二） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀．按此步骤重复操作，前4次每次摸出的都是红球，则摸第5次时摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 在平面直角坐标系中，点，点，记点，之间的距离为．将沿轴翻折，再沿射线的方向平移个单位长度后，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为2，将边，，，分别绕点顺时针旋转（），得到，，，，连接，，，．给出下面四个结论：（） ①对于任意都有； ②对于任意四边形为正方形； ③四边形的面积随的增大而增大； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 分解因式： ____________． 10. 写出一个比大且比小的整数是___________． 11. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 12. 某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 13. 图1是中国园林建筑中的爬山廊（连接山坡上下两组建筑的廊子），某学习小组在此开展乐学公园实践活动——使用自制测坡仪测量爬山廊的倾斜角度．图2是该小组实践报告中的测量示意图及操作说明．若测得细绳与刻度线的夹角，则爬山廊的倾斜角度＝________°． 14. 某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 15. 如图，矩形中，，，E是边延长线上一点，且，，垂足为F，则和的面积比为________． 16. 某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20，21题每题6分，第22，23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 20. 某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 21. 如图，在中，是边上的一点（不与点重合），是边的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 23. 某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； （2）八年级选手中个人综合得分的最高分是________； （3）在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； （4）经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 24. 如图，为的直径，弦与交于点E，，过点B作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，交于点G．若，，求的长． 25. 某班同学在制作简易密度计的过程中，进行了如下实验：如图，将密度计放入密度为（单位：）的液体中，测量其竖直平稳漂浮时露出液面的高度（单位：）．记甲、乙两位同学制作的长度相同的密度计A，B露出液面的高度分别为，．他们记录的部分数据如下表： （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中画出了与的图象，请画出与的图象． （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当液体的密度为时，约为________，约为________（结果精确到）； ②现有密度为，，的三种液体，其中，且，选择一个密度计依次放入三种液体中，其露出液面的高度分别为，，，则________（填“”“”或“”）； ③将一个密度计依次放入密度为，（）的两种液体中，记露出液面的高度差为，不同的密度计对应的的值越大越容易读取数据，因此更容易读取数据的是密度计________（填“A”或“B”）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． （1）用含的式子表示，并求的值； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线 于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 27. 如图，在中，，（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点． （1）求的大小； （2）点是线段中点，在线段上截取，连接．补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和线段，给出如下定义：若弦上存在点，使线段关于点中心对称的线段是的弦（点，分别是点，的对应点），则称线段是弦的关联线段． （1）与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ①点，．在线段，，中，线段___________是弦的关联线段； ②若直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，直接写出的取值范围； （2）已知点，．若中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $