精品解析：2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷

丰台区2025年九年级学业水平考试综合练习（二） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 据2024年中国国土绿化状况公报显示，我国森林蓄积量超200亿立方米，森林覆盖率超，将20000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，点在直线上，．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义．由题意易得，，进而可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解决本题的关键是根据不等式的基本性质把进行判断． 【详解】解：A选项：，根据不等式的基本性质三，可知，故A选项错误； B选项：，根据不等式的基本性质三，可知，故B选项正确； C选项：，根据不等式的基本性质一，可得：，故C选项错误； D选项：，根据不等式的基本性质一，可得：，故D选项错误． 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 36 B. 9或 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可知，求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：D． 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴； 故选A． 8. 如图，在矩形中，，为对角线交点．将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接，，，，给出下面三个结论： ①连接，则； ②点到的距离小于点到的距离； ③若，则八边形的面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质可说明，以此可判断①；通过说明，，，都是等腰直三角形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，再说明四边形是正方形，从而可用表示出八边形的面积，化简后作比较可判断③； 仿判断③的方法，设，分别求出点到的距离与点到的距离，再作比较后判断②． 【详解】解：如图， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴点的对应点是， ∴， ∴，故①正确； 如图， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是，的对应边是，的对应边是， ∴，，，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴正方形绕点逆时针旋转与其本身重合， ∴点的对应点是， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴点的对应点是， ∴绕点逆时针旋转得到， ∴， 同理可得：，，， ∵，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴八边形的面积为 =， 故③正确； 过点分别作于点，于点，于点，设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，对角线、交于点， ∴，点为的中点 ∴，点为的中点， ∴，即点到的距离为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， 即点到的距离小于点到的距离，故②正确； 综上所述，①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，等腰直角三角形的性质等知识点，解题关键是利用特殊平行四边形的性质证明相关线段相等． 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键．先提公因式2，然后用平方差公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，可知函数的图象经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，因为，所以． 【详解】解：函数的图象经过第一、三象限， 在每个象限内随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 13. 某商场计划进某款运动服200件，了解了某段时间内销售的40件该款运动服的尺码，数据如下： 尺码 销售量/件 5 15 9 10 1 根据以上数据，估计该商场进尺码需求最多的这款运动服的数量为______件． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了众数以及用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．根据题意销量最多的码所占的比例为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据表格中的数据可得销售的40件运动服中，码的最多，为15件， 码运动服所占比例为， 该商场进尺码需求最多的这款运动服的数量为件， 故答案为：75． 14. 如图，，是的切线，，是切点．若，则______°． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据切线的性质及切线长定理得，再证明，根据全等三角形的性质得，然后结合已知条件答案可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：25． 15. 如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 16. 甲、乙两人需要把、、、四个零件进行加工，每个零件都需要先由甲进行粗加工，再由乙进行精加工，甲、乙两人在各自的工序中完成一个零件的加工后才能开始加工另一个零件．这四个零件两道工序所需的时间（单位：分钟）如下： 零件 A B C D 粗加工 11 5 16 11 精加工 8 2 11 12 在不考虑其他因素的前提下，若甲按“”的先后顺序加工零件，则四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要______分钟；若使四个零件全部完成粗加工和精加工的时间最短，则甲按______的先后顺序加工零件． 【答案】 ①. 55 ②. “” 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据表格中的数据计算出按“”的先后顺序加工零件，四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要的时间；要使加工时间最短，应尽量缩短最后一个精加工的时间并使乙前期等待时间尽量少，故B零件应最后加工，D零件应最先加工，然后分类讨论计算出每一种情况下的加工时间，比较即可． 【详解】解：若甲按“”的先后顺序加工零件，则四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要的时间为： （分钟）； 按照“”顺序，则加工时间为：（分钟）， 按照“”顺序，则加工时间为：（分钟）， ∴按照“”顺序加工，可使四个零件全部完成粗加工和精加工的时间最短． 故答案为：55；“”． 三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成是解题的关键． 先把所求式子化简得到，再得出，由此即可得到答案． 【详解】解：原式 ∵， ∴． ∴原式． 20. 如图，在四边形中，，，是的中点，是对角线的中点，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可得出答案； （2）根据菱形性质得出，，，解直角三角形得出，求出，根据F为中点，得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵是的中点，是对角线的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，． 又在中，， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查中位线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，中位线的性质． 21. 2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 【答案】“”动车可以在当日12:00前到达，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，掌握速度路程时间是解题关键．设相遇前“复兴号”动车的速度为，根据题意列方程求出，进而求出“”动车的速度，得到“”动车的行驶时间，即可求解． 【详解】解：“”动车可以在当日12:00前到达，理由如下： 设相遇前“复兴号”动车的速度为． 由题意可知，．解得． 所以“”动车的速度为． 所以“”动车的行驶时间为． 所以“”动车到达上海虹桥站的时间为当日11:15，可以在当日12:00前到达． 22. 在平面直角坐标系中，函数图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 【答案】（1）函数的解析式为， （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把点和代入得： ， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为3， 当时， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于3， 所以当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 23. 某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． （1）从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79 84 85 85 88 88 88 89 90 93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； （2）学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 【答案】（1）①88，3；②平均数； （2）94 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数和方差，直方图，熟练掌握相关数据的计算方法，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）①根据众数是出现次数最多数据，中位数为排序后，位于中间一位或中间两位数据的平均数，进行判断即可；②根据中位数和众数，平均数的确定方法，进行判断即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，结合，，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：①教师评分中出现次数最多的数据位88，故众数为88，即：； 由直方图可知，学生评分数据的第25个和第26个数据均位于第三组；故中位数位于第三组； ②学生评分的众数为87，与数据70无关，故众数不变，中位数由第25个数据和第26个数据的平均数变为第25个数据，中位数可能不变，也可能变小，平均数受极端值影响，去掉一个比平均数小的数，平均数会变大，故一定变大的是平均数； 【小问2详解】 ；， ， ∵， ∴，解得：， 当时： ，满足题意； 当时： ，满足题意； 当时：，不满足题意； 当时，，不符合题意； 故整数的最大值为94． 24. 如图，是的直径，点在上，于点， （1）求证：； （2）过点的切线交延长线于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）垂径定理，得到，圆周角定理得到即可； （2）垂径定理，得到，解，求出的长，设的半径为，在，勾股定理求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵于点是的半径， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵于点E，是的半径，， ∴，． ∵，， ∴． 在中，． ∴ 设的半径为． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴． ∵是的切线， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25. 某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 010 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 h 0.75 0.60 0.35 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： （1）的值是______； （2）的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； （3）将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 【答案】（1）1； （2）0.8，0.4； （3）上，0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据水平距离与时间的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出当时的函数值即可求出h的值；再求出时，x的值即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，抛物线经过点，利用待定系数法求出f的结果即可得到答案设平移后的抛物线解析式为， 由题意得，抛物线经过点， 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入到中得 ， 解得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴； 在中，当时，解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； 【小问3详解】 解：设平移后的抛物线解析式为， 由题意得，抛物线经过点， ∴， 解得， ∴要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向上平移． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，抛物线． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为． 对于，，； ①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ∵，， ∴，． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴． （Ⅰ）当时，有． ∵， ∴， ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有． ∵，， ∴． ∴，符合题意； （Ⅲ）当时，令，则． ∴，不符合题意． ②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ∵，， ∴． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． （Ⅰ）当时，有，． 令，则，即． ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有，则． 若，有，则，符合题意； 若， 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴， ∴． ∴，符合题意． （Ⅲ）当时，有． ∴，不符合题意． 综上所述，的取值范围是或． 27. 在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）的大小为，见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点G，使得，连接、，．证明，从而得到，再根据四边形内角和和邻补角的定义，得到进而证明，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可； 【小问1详解】 证明：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：的大小为．证明如下： 如图，延长至点G，使得，连接、，． ∵是中点， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴， ∵，， ∴在四边形中，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． （1）如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； （3）已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 （3）的最大值为， 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解； （2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解； （3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 则平移后经过点，则是弦的“伴随点” 故答案为：； 【小问2详解】 解：的弦，的半径为． ∴是等边三角形， 设 则 ∴在的圆环内 如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于， 则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合）， 由于与轴的夹角为 ∴的横坐标为，的横坐标为， 同理可得的横坐标为，的横坐标为 ∴或 【小问3详解】 解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦， 线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦， 当经过的的切点时，取得最小值， 当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值， ∵点在上， ∴的最大值为 ∴, ∴的最大值为 ∴， ∵，, 即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2025年九年级学业水平考试综合练习（二） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据2024年中国国土绿化状况公报显示，我国森林蓄积量超200亿立方米，森林覆盖率超，将20000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在直线上，．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A 36 B. 9或 C. D. 9 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角对边相等的两个三角形全等 8. 如图，在矩形中，，为对角线的交点．将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接，，，，给出下面三个结论： ①连接，则； ②点到的距离小于点到的距离； ③若，则八边形的面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 10. 分解因式：______． 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______（填“”“”或“”）． 13. 某商场计划进某款运动服200件，了解了某段时间内销售的40件该款运动服的尺码，数据如下： 尺码 销售量/件 5 15 9 10 1 根据以上数据，估计该商场进尺码需求最多的这款运动服的数量为______件． 14. 如图，，是的切线，，是切点．若，则______°． 15. 如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为______． 16. 甲、乙两人需要把、、、四个零件进行加工，每个零件都需要先由甲进行粗加工，再由乙进行精加工，甲、乙两人在各自的工序中完成一个零件的加工后才能开始加工另一个零件．这四个零件两道工序所需的时间（单位：分钟）如下： 零件 A B C D 粗加工 11 5 16 11 精加工 8 2 11 12 在不考虑其他因素的前提下，若甲按“”的先后顺序加工零件，则四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要______分钟；若使四个零件全部完成粗加工和精加工的时间最短，则甲按______的先后顺序加工零件． 三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，，是的中点，是对角线的中点，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 21. 2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 23. 某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． （1）从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79 84 85 85 88 88 88 89 90 93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； （2）学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 24. 如图，是的直径，点在上，于点， （1）求证：； （2）过点的切线交延长线于点．若，，求的长． 25. 某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 h 0.75 0.60 035 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： （1）的值是______； （2）的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； （3）将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 27. 在中，，，内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． （1）如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； （3）已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $