第六章 课时3 等比数列的通项与求和公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦等比数列专题，依据课标要求覆盖概念、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点，梳理“知三求二”运算、判定证明、性质应用三大常考题型，通过高考真题分析明确高频考点分布，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题实战与应试技巧指导，如2025新高考II卷等比数列求和题，运用“分类讨论公比q”培养数学思维，性质应用中“等比中项求公比”强化数学语言表达。规律方法总结助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

课时3 等 比数列的通项与求和 公式 一、课标要求 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系， 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 并能用有关知识解决相应的问 二、知识梳理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等同一个非零常数 那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 学语表式=9D2,0数 q为非零常数) (2)如果a,G,b三个数成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项，其中G= ±ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q, 式的推广：an=amq-m. (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时， a4-C,9 =1-q-· 则其通项公式为a,=aq1;通项公 a1-d） S,=na1;当9t1时，Sn=1-9 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k十l=m十n(k,1,m,n∈N*),则有aka=ama红： (2)等比数列{an}的单调性： 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，数列{an}是递增 当9>1，a1<0或0<q<1,a1>0时，数列{am}是递减 当q=1时，数列{an}是常 数列. 当q<0时，数列{an}是摆动数列. 数列； 数列； 【拓展知识】 1.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak,a+m,ak+2m,…仍是等比 数列，公比为q”. :.芳1a0装相时提41比，a6,a受 仍是等比数列， 3.当q≠-1或q=-1且n为奇数时，S,S2m-Sn,S3m-S2m仍成等比数列，其 公比为. 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V,错误的打×”) (1)G为a,b的等比中项台G?=ab. (× ) (2)满足an-1=qa(n∈N, q为常数)的数列{an}为等比数列. (×) (3)若数列{an}的通项公式是an=a, 则其前n项和为S=小- ).(×) 1-a (4)若数列{an}为等比数列，则S4, S8一S4,S12一S8成等比数列. (×) 2.在数列{an}中，Q1=2,am+m=anan.若Q+1十ak+2十..十Qk+10=215-25,则k= A.2 B.3 C.4 D.5 C【解析】令m=1,则由amn=ana,得an+1=a1an,即1-2，所以数列 {an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an=2",所以 2×12”=21x20-10=215 12 -25=25×(210-1),解得k=4.故选C. 3.(多选题)(2024·浙江温州市模拟)已知S 在a,b,c∈R,使得Sn=ab”十c,则有( A.a十c=0 B.b是数列{am}的公比 C.ac<0 D.{an}可能为常数列 是等比数列{an}的前n项和若存 ABC【解析】设等比数列{a}的公比为q.当q=1时，Sn=na,显然是一次函数， 不是常数函数形式，故不满足，所以D错误； 当1时，2所以(-长 即 7 a十c=0,O令 ,以A,B,C正确改选ABC 4.在等比数列{an}中，前n项和为Sm.已知S=8,S6=7,则an十as十aw= 【解析】因为am十as十a=-6,且S,S6一S,S-S也成等比数列，即8， 8 -1,S9一S成等比数列，所以8S一)=1，即S-%=。,所以am十as十w= 四、考点扫描 考点一等比数列的基本量运算 例1(1)若数列{4}是公比为9的等比数列，且寻，≠，则 9的值为() A.2 B.4 C.2 D.4 A【解析】数列a中，由司季，知，则3，C又空气， ar 82 于是曼，而李，所以 afe 故选A. (2)(多选题)(2025新高考Ⅱ卷)记S 的公比，且O若子，则有( 1 1 A. 9 2 B.as 9 C S=8 D. 为等比数列{a,}的前n项和，9为{a,} ) AD【解析】对于选项A,由题意得 9- ☑三 a,=9 或 1(舍去)，故A正确： q 3 对于选项B,则<4 故B错误； a, 二 4 结合q>0,解得 1 9 三 2 付于选项C, 3☒ 故C错误； A 对于选项D,4 则 故D正确.故选AD 23, 规律方法： 等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1,n,9,an,Sn, (组)求解. (2)解方程组时常常利用“作商”消元法. (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定 或增解. 一般可以“知三求二”，通过列方程 要讨论公比q=1的情形，否则会漏解 对点训练 (1)已知正项等比数列{a}的前三项和为28， A. B. c. C【解析】由题意，设公比为O0,则 解得g}（负值金.所以⑤ 故选C 且3=4，则%=() D. 1 16 即 2)(2025·陕西渭南市模拟)已知等比数列{a,}的前n项和为 ' 则其公比9=() A.1 B.2 C.3 D.-3 (2)C【解析】设等比数列{4}的公比为9.因为要2，若q=1,由 ,得到，不满足S亚，所以A≠1由3，得①子 ① 由s,得少 ② 上a an+g)1 由①÷②，得aQ-g4,整理得到 g 解得q3故选C. 1-q 考点二 等比数列的判定与证明 例2 (2025·八省联考)已知在数列 (1)证明：数列 为等比数列； (2) 求 的通项公式； (3)令 ,证明： 中， (1)【证明】因为 ,且 ，即 又 为首项和公比均为 的等比数列 ,所以 ，所以 ,所以 所以数列 (2)【解】由(1)知， (3)【证明】由(2)知， 因为 又 ，所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 规律方法： 等比数列的四种常用判定方法 (定义法：若a=qg为非零常数，且n≥2，n∈N,则{a}是等比数列. an-1 (2)等比中项法：若在数列{an}中，an≠0且a品+1=aan+2(n∈N),则{an}是等比数 列 (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an=cq”l(c,q均为非零常数， n∈N),则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{am}的前n项和Sn=kg一(k为常数，且k≠0，q≠0,1)， 则{4n}是等比数列. 对点训练 (2025·河北石家庄市模拟)已知数列 今禮 (1)写出9的值； (2)证明：数列{1为等比数列 {a}满足 多 【解】(1)由 3港 可得3；2学； 3关 (2)【证明】由题可得 ,则数列{1$是 首项为1，公比为2的等比数列 考点三等比数列的性质及应用 例3(1)(2025·安徽安庆市二模)已知等比数列{4}的前 且a,与2a的等差中项为，则S4=( A.33 B.31 C.17 n项和为Sm.若3， D.15 D【解析】因为等比数列a,}前n项和为S.,设其公比为4④， 由已知 24多故军所以冬-22<4=49 4_1 ∠，则 2 8 所以 ,故 故选D. (2)(2025·新高考I卷)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68， 则该等比数列的公比为 2【解析】根据题意，得 写， ,所以 解得 舍 Ss 1 (3)设Sn是等比数列a,}的前n项和若 o 18 【解析】设等比数列a,的公比为q,由已知q≠1因为s2 上 所以 对点训练(1)已知等比数列{an}的公 {Sm}是递增数列，则( A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分又不必要条件 比为q,前n项和为Sn.设甲：q>0,乙： B【解析】若a1=-1,q=1,则Sn=a=一n,{Sn}是递减数列，不满足充分 性；若{Sn}是递增数列，则q≠0，且Sn+1一Sn=an+1=a1q>0恒成立，则41>0， 9>0,满足必要性.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B. (2)(2025江西南昌市模拟)在正项等比数列{4}中，a,a。是晏s的两 11+1 个根，则+ 3【解析】由根与系数关系，得43红三，由于a,}为正项数列，故 3 (3)设等比数列{a,}的前m项和是S.已知S子，亚，则3 13【解析】因为是等比数列a的前n项和且SC,所以S,名S,$也 成等比数列，则（容守.因为马，卫，所以 830 (三年，解得S3所以S 规律方法： ()在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是 “若m十n=p十q,则anan=aa”,可以减少运算量，提高解题速度. (2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行 适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.