求数列的通项公式常用方法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列通项公式求解专题，覆盖累加法、累乘法、构造法、由前n项和求通项等核心方法，严格对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确构造法（占比约30%）、累加法（占比约25%）等高频考点分布，归纳出6类常考递推公式类型，构建完整解题方法体系。 课件亮点在于“方法精讲+真题演练+素养落地”的备考模式，如以例3“a_{n+1}=a_n/(a_n+2)”为例，示范取倒数构造等比数列的技巧，培养学生逻辑推理与数学运算素养。练习题涵盖选择、填空、解答题全题型，附易错点分析（如忽略n=1验证），助力学生掌握得分关键，教师可据此精准开展专题复习，提升高考冲刺效率。

求数列的通项公式常用方法 方法一 累加法 求形如 的通项公式，将原递推公式转化为 ，再利用累加法（逐差相加法）求解，即由 ,, , , 累加可得 . 方 法 一 2 解：由条件知，所以 ， ，， ， ，上述式子累加得 ，所以 ， 所以，又 也符合上式，所以 . 例1 在数列中，，，求数列 的通 项公式. 方 法 一 3 方法二 累乘法 求形如的通项公式,将原递推公式转化为 ， 再利用累乘法（逐商相乘法）求解，即由， ， ， ，累乘可得 . 方 法 二 4 解：因为，所以，，，， ， ，上述式子累乘得 ， 即 ， 所以, 又 也符合上式，所以 . 例2 在数列中，，,求 的通项公式. 方 法 二 5 方法三 构造法 （1）形如（其中，为常数，且 ）可 用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步，假设递推公式可改写为 ； 第二步，由待定系数法，解得 ； 第三步，写出数列 的通项公式； 第四步，写出数列 的通项公式. （2）形如 ，先两边同时取倒数，然后利用构 造法求得的通项公式，进而求得 的通项公式. 方 法 三 6 例3（1）已知数列满足,，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由,，得， ，则 ， 又，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 ，所以 ．故选C. √ 方 法 三 7 （2）已知数列满足，且 ，求数列 的通项公式. 解： ， ，易知 ， 为等比数列，其首项为4，公比为3， ， . 方 法 三 8 方法四 由数列前 项和求通项公式 已知或求 的解题步骤： 第一步，利用满足的条件，写出当时 的表达式； 第二步，利用，求出或者转化为 的递推 公式的形式； 第三步，若求出了时的通项公式，再根据求出 ， 并代入时 的通项公式进行验证，若成立，则合并，若不成 立，则写成分段形式. 方 法 四 9 例4 已知数列的各项均为正数，其前项和为 ，且满足 ， . （1）求 的值； 解：因为， ， 所以 . 方 法 四 10 例4 已知数列的各项均为正数，其前项和为 ，且满足 ， . （2）求数列 的通项公式. 解：方法一：由，得 ， 可得 . 当时， ， 两式相减得 ， 化简得 . 因为数列 的各项均为正数， 所以， 方 法 四 11 即 ，又 ， 所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以 . 方法二：由 ，得 ， 所以 .因为，所以 ， 所以 ，所以数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 ，所以 . 当时， ， 又 符合上式，所以 . 方 法 四 练习册 13 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 1.已知数列的前项和满足，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ，当时，， 当 时， ，则 ， 又 符合上式，所以， .故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 2.若数列满足，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ,所以 ,所以 .故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知数列的首项为2，且，则 ( ) A.254 B.64 C.62 D.126 [解析] 当 时， ， 则，所以 .故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 4.在数列中，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得 ， 即，所以是以1为首项， 为公差的等差数列，所以 ，所以 .故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 5.已知各项均为正数的数列的前项和为， ，且 ，则 ( ) A.10 B.9 C.8 D.6 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 [解析] 因为各项均为正数的数列的前项和为， ，且 ，所以，则，所以 ， ，， ， ，累乘得 ，所以 ， 故当且 时，， 又满足 ，所以对任意的，， 故 .故选A. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 6.［2025·黑龙江哈尔滨高二期中］已知数列 的各项均为正数， 且， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 . 由题意可知，对任意的，，则 ， 所以，即 ， 所以数列为常数列，所以，所以 .故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分. 7.若数列满足，，设的前项和为 ， 则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 [解析] ， ，两式相减得 ，又,,， 数列 的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列，偶数项构成首项 为1，公差为3的等差数列， ，， ， ，.故选 ． 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 8.［2024·安徽亳州高二期末］已知数列的前项和为, ， 且 ，则下列结论中正确的是( ) A. B. 是等比数列 C. D. 是递增数列 [解析] 对于A，由 ，得 ，所以 ,故A正确. 对于B，由，得 ，两式相减 可得 ，所以 ， √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 由，,可得 ， 所以 所以 不是等比数列，故B错误. 对于C,由B知 所以当 时， 当 时， , 当时， ， 所以 ,故C正确. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D，当时，因为，所以 ， 所以，又,，所以 ， 所以 是递增数列，故D正确. 故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 9.［2025·江西南昌高二期中］已知数列满足， .若 数列是公比为2的等比数列，则 _ ______. [解析] 由已知得，因为数列 是公比为2的等 比数列，所以， 当时， ，两式相减得 ， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 10.已知为数列的前项和，且， ，则 _ __________________. [解析] 由题意得,,解得 . 因为，所以当时， ，两式相减得 ，整理得 ，所以数列 从第二项起是以为首项， 为公比的等比数列, 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 所以． 又因为 ，所以 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知数列满足, ， 则数列 的通项公式为_ ________________． [解析] 当时，，则 ， 所以，, , ， 累乘得 ， 所以 ， 又 也满足上式，所以数列的通项公式为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 四、解答题：本大题共3小题，共43分. 12.（13分）已知数列满足， . （1）求证：数列 是等比数列； 证明： ， ， 数列 是等比数列. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 12.（13分）已知数列满足， . （2）求数列 的通项公式. 解：， 数列是以为首项， 为公比的 等比数列，， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 13.（15分）已知数列的前项和为， ， . （1）求数列 的通项公式； 解：因为，即 ， 所以，即 ， 所以数列是公差为 的等差数列， 由，可得，解得 ， 所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 13.（15分）已知数列的前项和为， ， . （2）求的最大值和取最大值时 的值. 解：由（1）可得 ， 所以当或7时， 取得最大值42. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 14.（15分）已知数列满足， ，且 . （1）令， ，求证：数列 ， 都是等比数列； 证明：因为 ， 所以 ， 又，所以 ， 所以 ，又 ， 所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 因为 ，所以 ， 又，所以 ， 所以 ， 又 ， 所以数列 是以3为首项，2为公比的等比数列. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.（15分）已知数列满足， ，且 . （2）求数列 的通项公式. 解：由（1）知，， . 即， ， 两式作差可得 ， 整理可得 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 $