第3节成对数据的统计分析 课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“成对数据的统计分析”专题，依据高考评价体系覆盖变量相关性、回归模型、独立性检验三大核心考点，通过课程解读明确相关系数理解、最小二乘法应用等考查要求，梳理出选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+思维链构建+素养提升”，如以2025年河北衡水模拟题为例，通过样本中心求回归方程、卡方计算判断独立性，培养数学思维与数据观念。特设“解题路径”指导，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效开展复习教学。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第3节　成对数据的统计分析 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第3节　成对数据的统计分析 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 变量的相关性 1.下列四个散点图中,变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　) [命题点❶] D 解析:观察散点图可知,只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D. 返回目录 2.对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图,下列结论不正确的是(　　)[命题点❶❷] 图1 图2 A.图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B.图1数据正相关,图2数据负相关 C.图1相关系数r1小于图2相关系数r2 D.图1相关系数和图2相关系数之和小于0 C 返回目录 解析:对于A,因为散点图都呈直线型,所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系,A正确;对于B,图1散点从左至右呈上升趋势,所以数据正相关,图2散点从左至右呈下降趋势,所以数据负相关,故B正确;对于C,图1正相关,图2负相关,所以C不正确;对于D,因为图2相关程度更强,所以D正确.故选C. 返回目录 关键点2 回归模型及其应用 3.(2025·湖北武汉期末)近年来,我国电动汽车产业发展迅猛,某品牌汽车市场也异常火爆,销售量逐年上升.现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量,结果如下表所示. 日期编号x 1 2 3 4 5 销量y/辆 8 a 12 b 23 y与x有较强的线性相关关系,且经验回归方程为=3.5x+4.7,则a+b的值为(　　)[命题点❸] A.28 B.30 C.33 D.35 C 返回目录 解析:依题意(1+2+3+4+5)=3,(8+a+12+b+23)=,又经验回归方程=3.5x+4.7过点(),所以=3.5×3+4.7,解得a+b=33.故选C. 返回目录 4.(2025·福建宁德三模)由如表所示的变量x,y之间的一组数据,得x,y之间的经验回归方程为=-0.5x+10.5,则(　　)[命题点❸] x 6 8 10 12 y 7 t 5.5 4.5 A.点(8,t)一定在经验回归直线上 B.x每增加1个单位,y大约增加0.5个单位 C.t=7 D.去掉(12,4.5)这组数据后,求得的经验回归方程斜率将变大 C 返回目录 解析:由题意可得(6+8+10+12)=9,(7+t+5.5+4.5)=(17+t),因为经验回归方程一定过样本中心点(),所以(17+t)=-0.5×9+10.5,解得t=7,故C正确;当x=8时,y=-0.5×8+10.5=6.5≠7,所以点(8,t)不在经验回归方程上,故A错误;x每增加1个单位,y大约减少0.5个单位,故B错误;当x=12时, y=-0.5×12+10.5=4.5,所以点(12,4.5)在经验回归方程上,故去掉点(12,4.5)不影响经验回归方程,故D错误.故选C. 返回目录 5.(2025·河北张家口二模)商品价格与销量之间往往存在某种关系,以下是某商品价格x(单位:元)与销量y(单位:万件)的调研数据: 商品价格x/元 10 15 20 25 30 销量y/万件 54 46 40 36 32 则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是(　　)(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)[命题点❸] A.y=-1.4x+70 B.y=-0.7x+60 C.y=100-20ln x D.y=60-3ln x C 返回目录 解析:对于A,代入x=10,30,可得y=56,28,与实际值相差较大,不合题意,故A错误;对于B,分别代入x=10,30,可得y=53,39,第五组数据与实际值相差较大,不合题意,故B错误;对于C,分别代入x=10,15,20,25,30,求得y的估计值与实际值相同,故C正确;对于D,代入x=10,可得y=60-3ln 10=60-3(ln 2+ln 5) ≈53.1,代入x=30,得y=60-3(ln 2+ln 3+ln 5)≈49.8,数据与实际值相差较大,不合题意,故D错误.故选C. 返回目录 关键点3 独立性检验 6.(2025·上海浦东三模)已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的,则(　　)[命题点❺] A.吸烟者一定会患肺癌 B.吸烟者患肺癌的概率为99% C.100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D.认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% D 解析:根据独立性检验可知,有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”这一推断是正确的,也可认为“吸烟与患肺癌有关”这一推断犯错的概率不超过1%.故选D. 返回目录 7.(2025·江苏苏州三模)某公司对100名员工进行了工作量的调查,数据如表: 性别 认为工作量大 认为工作量不大 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 若推断“员工的性别与认为工作量大有关”,则这种推断犯错误的概率不超过(　　)[命题点❹❺] 附:χ2=. 返回目录 α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A.0.1 B.0.05 C.0.025 D.0.01 答案:A　 解析:零假设为H0:员工的性别与认为工作量大无关,根据表中数据χ2=2.778>2.706,根据小概率值α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为员工的性别与认为工作量大有关.这种推断犯错误的概率不大于0.1.故选A. 返回目录 8.根据分类变量x与y的观测数据,计算得到χ2=3.974.依据α=0.05的独立性检验,结论为x与y　　　　　(填“独立”或“不独立”),这个结论犯错误的概率不超过　　　　　. [命题点❹❺]  附: α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 不独立 0.05 解析:因为3.974>3.841,所以假设不成立,即认为x,y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.变量的相关关系 (1)相关关系的分类:正相关和负相关.[❶] 若两个相关变量变化趋势相同,则为正相关,反之为负相关 (2)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. 一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 返回目录 2.样本相关系数 (1)相关系数r的计算 变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式:r=. 返回目录 返回目录 (2)相关系数r的性质[❷] ①当r>0时,称成对样本数据正相关;当r<0时,称成对样本数据负相关;当r=0时,称成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数r的取值范围为[-1,1]. 当|r|>0.75时,通常认为两个变量有很强的线性相关性 当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强; 当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 返回目录 3.一元线性回归模型 (1)我们将x+称为y关于x的经验回归方程,其中 返回目录 (2)决定系数 R2=1-,R2越大,残差平方和(yi-)2越小,拟合效果越好,R2越小,残差的平方和越大,拟合效果越差. 返回目录 4.列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表[❹] X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 记n=a+b+c+d,则随机变量χ2=. χ2是独立性检验的重要依据.在应用公式时易丢掉公式中的n 返回目录 (2)独立性检验[❺] 基于小概率值α的检验规则: 当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α; 当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立. 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　成对数据的相关性 命题视角:散点图判相关类型;相关系数(取值、强弱);情境分析相关性及推断. 例1 (1)(2023·天津,7)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.824 5,下列说法正确的是(　　) A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.824 5 C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为相关系数r=0.824 5>0.75,所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强,并且呈正相关,所以A,B错误,C正确;因为相关系数与样本的数据有关,所以当样本发生变化时,相关系数也会发生变化,所以D错误. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其样本相关系数的比较,正确的是(　　) 图1　样本相关系数为r1 图2　样本相关系数为r2 图3　样本相关系数为r3 图4　样本相关系数为r4 A.r4<r2<0<r3<r1 B.r2<r4<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r1<r3 D.r2<r4<0<r3<r1 D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由散点图,可得r2<0<r1,又由图可得图1、图2相关性强于图3、图4,则|r2|>|r3|,|r2|>|r4|,|r1|>|r3|,|r1|>|r4|,结合选项,可得r2<r4<0<r3<r1满足题意.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 1.散点图初判趋势(正、负或无). 2.相关系数r量化线性相关(方向、程度,|r|近1则强,近0则弱). 3.回归方程(斜率验方向、R2验解释力)验证拟合. 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　回归分析 角度 1 一元线性回归模型 命题视角:方程构建,借样本中心()求(经验回归方程过定点). 例2 (2025·河北衡水模拟)一般来说,广告投入的增加有助于提高产品的知名度和消费者的购买意愿,从而可能带来销量的提升.某商家统计了7个月的月广告投入x(单位:万元)与月销量y(单位:万件)的数据如表所示: 月广告投入x/万元 1 2 3 4 5 6 7 月销量y/万件 28 32 35 45 49 52 60 返回目录 考点1 考点2 考点3 (1)已知可用回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明,并求y关于x的经验回归方程; (2)根据(1)的结论,预计月广告投入大于多少万元时,月销量能突破70万件. 参考数据:(xi-)(yi-)=150,=820,≈37.88. 相关系数r=. 返回目录 考点1 考点2 考点3 回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为 . 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)由题意,知=4, ∴=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,结合(xi-)(yi-)=150,=820,可得r=0.99.显然y与x的线性相关程度相当高,从而回归模型 返回目录 考点1 考点2 考点3 能够很好地拟合y与x的关系.易知 =43,所以=43-4=,即y关于x的经验回归方程为x+ (2)若月销量突破70万件,则x+>70,解得x>=9.04.故当月广告投入大于9.04万元时,月销量能突破70万件. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 非线性回归模型 命题视角:将非线性回归模型转化为一元线性回归模型. 例3 (2025·山东烟台模拟)某机构为研究汽油价格x(单位:元/升)与新能源汽车的月销售量y(单位:万辆)之间的关系,收集整理得到如下数据: x 6 6.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.5 6.8 (1)若用模型y=bln x+a模拟x与y之间的关系,求出回归方程; (2)根据建立的回归方程,预测当汽油价格上涨至9元/升时,新能源汽车的销量. 返回目录 考点1 考点2 考点3 参考数据和公式:ln 3≈1.1,(xi-)(yi-)=6.55,=2.5. 令ln xi=ui,ui=9.7,(ui-)(yi-)=0.93,=0.05. 对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)因为ln xi=ui,则=18.6, 又=3.56,=1.94, 由,得3.56=18.6×1.94+,解得=-32.524, 所以回归方程为=18.6ln x-32.524. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)当x=9时,代入回归方程可得y=18.6×ln 9-32.524≈18.6×2.2-32.524 =8.396,故价格上涨至9元/升时,新能源汽车的销量约为8.396万辆. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 求经验回归方程的步骤: 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.判类型:依散点图形态确定非线性模型形式(如指数y=cekx、对数y=a+bln x、二次函数y=a+bx+cx2等). 2.做变换:通过变量替换(取对数、倒数、平方等)将模型转为线性形式. 3.建线性模型:对变换后的变量用线性回归求参数. 4.逆转换:将线性参数还原为原非线性模型参数. 5.验拟合:通过新变量的残差图或拟合优度,验证线性化效果. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　独立性检验 命题视角:列联表构建、计算χ2、检验结论判断以及融合概率、频率分布等综合应用问题. 例4 (2025·新高考Ⅰ,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 组别 检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 返回目录 考点1 考点2 考点3 (1)记超声波检查结果不正常者患病的概率为P,求P的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析样本数据中超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附:χ2=. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)超声波检查结果不正常者有200人,这200人中患该疾病的有180人, ∴P= (2)零假设为H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关.根据列联表中的数据,经计算得到χ2==765.625>10.828=x0.001.根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.定变量:明确研究的两个分类变量及其取值类别(如“性别”分男女,“偏好”分A,B). 2.建表格:根据样本数据制成2×2列联表. 3.根据公式χ2=计算. 4.作判断:比较χ2与临界值的大小,作统计判断. 5.释结论:说明变量是否关联,强调“关联≠因果”,结合背景解读意义. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:散点图以及散点图的应用,相关系数的意义及辨析,判断正、负相关. 1.(2025·天津模拟)为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量y和气温x之间是否具有线性相关关系,统计该店(2025年2月6日至3月24日)每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图(x轴表示气温,y轴表示热奶茶销售量),由散点图可知y与x的相关关系为(　　) A.正相关,相关系数r的值为0.8 B.负相关,相关系数r的值为0.8 C.正相关,相关系数r的值为-0.8 D.负相关,相关系数r的值为-0.8 D 返回目录 解析:由散点图知y随着x的增大而减小,因此是负相关,相关系数为负.故选D. 返回目录 命题趋势2:考查线性回归模型、解释经验回归方程的意义、根据经验回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数以及模型的选取. 2.(2025·江西新余模拟)某品牌啤酒厂进行市场调研,发现该品牌啤酒在某地的月销量随着每瓶啤酒的定价不同而发生变化,连续调研5个月得到的数据如下表所示: 项目 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 单价x/元 6 6.5 7 7.5 8 销量y/万瓶 90 85 80 75 70 返回目录 根据以上数据得到y与x具有较强的线性关系,若用最小二乘估计得到经验回归方程=-10x+,则(　　) A.相关系数r>0 B.点(7.5,75)一定在经验回归直线上 C.=160 D.当每瓶啤酒定价为9.5元时,月销量一定为50万瓶 B 返回目录 解析:由=-10x+可得y与x负相关,故A错误; 由表中数据可得=7,=80,所以样本中心点为(7,80),将(7,80)代入=-10x+,得80=-10×7+,解得=150,故C错误; 则经验回归方程为=-10x+150,当x=7.5时,=-10×7.5+150=75,故(7.5,75)在经验回归方程上,故B正确; 当x=9.5时,=-10×9.5+150=55,这是一个估计值,不是精确值,故D错误.故选B. 返回目录 3.(2025·山东聊城二模)为了研究某市高中生的脚长x(单位:cm)和身高y(单位:cm)的关系,市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查,经统计,所调查数据的=19.25,=161,根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为=4x+.已知被调查的某学生的脚长为25 cm,身高180 cm,则该样本点的残差为(　　) A.1 cm B.-1 cm C.4 cm D.-4 cm D 返回目录 解析:因为=19.25,=161,又经验回归方程=4x+必过点(),所以161=4×19.25+,解得=84,所以=4x+84,当x=25时,=4×25+84=184,所以该样本点的残差为180-184=-4 cm.故选D. 返回目录 命题趋势3:独立性检验解决实际问题、独立性检验的概念及辨析以及模块知识的融合. 4.某公司男、女职工人数相等,该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差,在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查,数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是(　　) 附表: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. 返回目录 A.依据小概率值α=0.005的独立性检验,不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B.依据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C.有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D.是否接受去外地长时间出差与性别无关 答案:B　 返回目录 解析:由题意,列出2×2列联表: 性别 是否接受去外地长时间出差 合计 接受 不接受 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为H0:是否接受去外地长时间出差与性别相互独立,即是否接受去外地长时间出差与性别无关,所以χ2= 9.524>7.879=x0.005, 根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.故选B. 返回目录 $