培优18 统计中的12大热点题型（含决策问题、创新应用）(期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优18 统计中的12大热点题型（含决策问题、创新应用）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01抽样方法的选择 题型02分层随机抽样中的计算 题型03 随机数表的应用 题型04 各类统计图表 题型05 频率分布直方图的应用 题型06 总体百分位数的估计 题型07 总体集中趋势（平均数、众数、中位数）的估计 题型08 总体离散程度（（极差、方差与标准差）的估计 题型09 分层随机抽样中的平均数与方差的计算 题型10 统计中的决策问题 题型11 统计中知识的综合应用 题型12 统计知识的创新应用（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单随机抽样 能说出简单随机抽样的概念，掌握抽签法和随机数法的操作步骤，能根据实际问题选择合适方法并抽取样本. 基础小题，常考查概念辨析与随机数表读数，易错点为随机数表读数方向及“放回”与否. 分层随机抽样 能识别分层抽样的适用情境（总体由差异明显的几部分组成），掌握各层按比例分配样本的方法，能计算分层抽样下的样本平均数. 中高频考点，以选择题或填空题考查比例分配及样本量计算，易错点为各层抽取数不为整数时的调整. 系统抽样 能说出系统抽样的适用条件（总体个体数较多），掌握分段间隔  的确定方法，能完成系统抽样的抽取步骤. 低频考点，偶在选择题中出现，易错点为  非整数时先随机剔除多余个体. 频率分布直方图 能根据数据制作频率分布表并画出频率分布直方图，能从直方图中读取各组频率，能利用直方图估计总体的众数、中位数、平均数. 高频必考，常以填空题或解答题第一问出现，易错点为纵轴是“频率/组距”而非频率，以及中位数估计时面积等分点. 其他统计图表（条形图、扇形图、折线图、茎叶图） 能识别各种图表的特征和适用场景，能根据实际需要选择合适的图表描述数据，能从茎叶图中直接计算数字特征. 基础考点，常与数据分析综合，易错点为扇形图中比例和不为1或茎叶图中数据还原错误. 样本的数字特征（平均数、中位数、众数） 能熟练计算一组数据的平均数、中位数、众数，能从频率分布直方图中估计这些特征，能理解三者各自的优缺点. 高频必考，选择填空或解答题中均可能出现，易错点为偶数个数据时中位数为中间两数的平均值. 方差与标准差 能熟练运用公式计算方差和标准差，能理解方差反映数据离散程度，能根据方差比较两组数据的稳定性. 高频考点，常在解答题中作为数据分析的核心指标，易错点为公式中平方和与分母n或的区分. 百分位数 能说出p分位数的定义，能根据数据计算第百分位数，能解释其实际意义. 新高考新增内容，偶有小题考查，易错点为不同教材分位数计算规则的细微差异. 知识点01 随机抽样 1. 全面调查与抽样调查 全面调查（普查）：对每一个调查对象都进行调查的方法，如人口普查. 抽样调查：从总体中抽取一部分个体进行调查，根据样本结果推断总体情况的方法. 2. 简单随机抽样 概念：从总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本，每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，除非特殊声明，本章指不放回简单随机抽样. 常用方法：抽签法（将个体编号后制签，搅拌均匀后抽取）和随机数法（利用随机数表或随机数工具产生随机数进行抽取）. 简单随机样本：通过简单随机抽样获得的样本. 易错点：抽签法务必保证“搅拌均匀”；随机数法读数时注意方向（可向左、向右、向上、向下）、跳过重复和超出范围的数字. 3. 分层随机抽样 概念：按一个或多个变量将总体分成若干个子总体（每个子总体称为一层），每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 抽样比例：各层抽取比例 = 样本容量 / 总体容量. 样本均值计算（以两层为例）：设第1层和第2层个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为和，则总样本平均数为. 易错点：分层抽样时各层按比例分配；当各层抽取数不为整数时，需作适当调整. 4. 获取数据的途径 常见途径：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽查、互联网等. 知识点02：总体取值规律的估计（统计图表） 1. 频率分布直方图 制作步骤：①求极差（最大值 - 最小值）；②决定组距与组数（一般当样本容量≤100时，分成5~12组，组距通常取整）；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图——纵轴为“频率/组距”，每个小矩形面积 = 该组的频率，所有矩形面积之和为1. 易错点：混淆纵轴是“频率”还是“”；误认为矩形高度就是频率. 2. 从频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标. 平均数：每个小矩形的面积 × 小矩形底边中点的横坐标之和. 直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数 > 中位数；若左侧“拖尾”，则平均数 < 中位数. 易错点：估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点. 3. 其他常见统计图表 条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，能直观显示每组中的具体数据. 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例. 折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势. 频数分布直方图：纵轴为频数，与频率分布直方图有本质区别. 易错点：条形图与直方图的区别——条形图用于离散数据，直方图用于连续数据分组；扇形图中各部分比例之和为100%. 知识点03 总体集中趋势的估计 1. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数. 优缺点：①体现了数据的最大集中点，容易计算；②只能表达很少一部分信息，无法客观反映总体特征. 注：众数可能有多个，也可能没有. 2. 中位数 定义：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.若个数为偶数，则取中间两个数的平均值. 优缺点：①不受少数极端数据影响；②容易计算，但对极端值不敏感. ·易错点：偶数个数据时中位数为中间两数的平均值，不是直接选中间一个或取两端对称数. 3. 平均数 定义：n个数，则. 优缺点：①代表性好，能反映更多总体信息；②任何一个数据的改变都会引起平均数变化，数据越“离群”，影响越大. 总体平均数与样本平均数：总体平均数是一个确定的数（客观存在但通常未知）；样本平均数具有随机性，常用样本平均数估计总体平均数，样本量越大估计越准确. 4. 数字特征的比较 平均数、中位数、众数从不同角度描述数据的集中趋势. 极差：最大值与最小值的差，反映数据波动范围. 知识点04 总体离散程度的估计 1. 方差 定义：样本数据到平均数的平均距离的平方，即 意义：方差描述数据围绕平均数波动的大小.方差越大，数据的离散程度越大；方差为0时，所有样本数据相等. 2. 标准差 定义：方差的算术平方根，，与方差测量效果一致，但量纲与原数据一致，实际应用中更常用. 简化计算公式：. 易错点：方差公式中平方后再求和，不要遗忘平方；分母用n还是n-1需根据题目要求（若只描述样本离散程度一般用n，若作无偏估计则用n-1）. 知识点05 总体百分位数的估计 p分位数（p%分位数） ：一组数据中至少有p%的数据≤该数，且至少有(100-p)%的数据≥该数.一组数据的p分位数未必是原始数据中的某个数，若按大小排序后np不是整数，则向上取整；若是整数，则取第np位与第np+1位的平均值. 常用分位数：第25百分位数（下四分位数）、第50百分位数（中位数）、第75百分位数（上四分位数）. 易错点：不同教材中分位数的计算规则可能有细微差异，在考试中需以教材具体表述为准；有时题目会直接要求先排序再按定义计算. 知识点06 分层随机抽样中的平均数与方差 1.分层抽样的平均数 （1）一般地,将样本 ,…, 和样本,…,合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为,设上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为 和于是， =+=+ 记，,,称为权重，则+ （2）推广：设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,，…和,，…则这个样本的平均数为 为了简化表示,引进求和符号,记作 2.分层抽样的方差 (1)定义：一般地,将样本 ,…, 和样本,…,合并成一个新样本,则这个新样本的方差为,设 上述两层构成的新样本中每层的方差分别为,,于是，， 记，,,称为权重，则[+]+[+]. (2)推广:设样本中不同层的方差和相应权重,及平均数分别为,，…和,，…，,，…则这个样本的方差为 [+]+[+]+[+]为了简化表示,引进求和符号,记作 题型一 抽样方法的选择 解｜题｜技｜巧 根据总体特征选择合适的抽样方法.若总体个数较少且无差异，用简单随机抽样（抽签法或随机数法）；若总体由差异明显的几部分组成，用分层随机抽样，按比例分配各层样本量；特殊场景如调查某校高一学生视力，因年级内差异小、年级间差异大，常采用分层抽样.解题时需根据题干中的“差异明显”“个体编号”“容量较大”等关键词判断方法. 易｜错｜点｜拨 1.分层抽样容易忽略“按比例”分配，导致各层样本量计算错误. 2.随机数表读数时方向不明确或跳读规则出错. 【典例1】（2026·河南周口3月·联考）用简单随机抽样的方法从含有 个个体的总体中抽取一个容量为 的样本，则个体 被抽到的概率为＿＿＿＿＿＿． 【变式1】（2026·辽宁大连·一模）为了了解邵东市中小学生的视力情况，拟从邵东市的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.则下列抽样方法最合理的是（ 　　） A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 按性别或学段分层抽样都行 题型二 分层随机抽样中的计算 解｜题｜技｜巧 1.分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，抽样比＝＝. 2.在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行. 【典例2】（2026·河北黄骅一模）（多选）福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生 人，女生 人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有 位女生的测试成绩，分别是 ，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为 ，则（ 　　） A. 样本中有 位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第 百分位数是 C. 样本中女生测试成绩的方差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为 【变式2】（2026·重庆名校联盟第一次·联考）现有男志愿者 人，女志愿者 人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 的样本，则女志愿者应抽取的人数是（ 　　） A. B. C. D. 【变式1】某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为 的样本，样本中甲型号产品有 件，则 的值为（ 　　） A. B. C. D. 题型三 随机数表法的应用 解｜题｜技｜巧 随机数主要用于简单随机抽样.常用方法：①随机数表法：从表中随机选定起始位置和读数方向（左、右、上、下），依次读取数字，若数字在编号范围内且未被重复选中，则作为样本编号；②随机数生成器（计算器、软件）产生区间内的整数.注意事项：需明确编号是几位数（如总体为 ，则用两位数字）；遇到重复数字或超出范围的数字应跳过；若抽取不放回，则已选数字不可重复使用.对于有序编号的个体，也可用计算机产生随机数直接抽样. 易｜错｜点｜拨 1． 起始位置和读数方向不明确，导致结果不确定. 2． 未跳过重复或超范围的数字，造成样本量不足或重复. 3． 编号位数不一致（如总体为50，却用两位数读取，应将01视为1）. 【典例3】（2026·重庆名校联盟·联考）某校从 名同学中用随机数法抽取 人参加这一项调查．将这 名同学编号为 ，假设从第 行第 列的数字开始，则第 个被抽到的同学的编号为（ 　　） A. B. C. D. 【变式3】（25-26高二上·四川成都·月考）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 题型四 各类统计图表 解｜题｜技｜巧 在实际问题中，我们常常根据不同的需要，选择合适的统计图进行表示.为此，我们要注意掌握常用统计图的特点，学会根据题目的需要选择合适的统计图，并会从不同的统计图中获得各种所需的信息. 【典例4】（24-25高一下·广东河源·期末）2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 【变式4-1】（25-26高三下·云南·阶段检测）如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（    ） A．商品零售额同比增长速度的极差为 B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的分位数为 D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于 【变式4-2】（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 题型五 频率分布直方图的应用 解｜题｜技｜巧 频率分布直方图中，纵轴为“”，每个小矩形的面积等于该组的频率.因此，已知某组的组距和矩形高度，频率 = 组距 × 高度.所有矩形面积之和为1.求解时，若给出直方图，需先确认纵轴单位；若部分矩形高度未知，可利用面积和为1列方程求解.例如，某组高度为，组距为，则该组频率.注意：不要将纵轴读数直接当作频率，也不要将多个矩形面积相加时漏算某组. 易｜错｜点｜拨 1.混淆纵轴“频率/组距”与“频率”，误将高度直接作为频率. 2.计算矩形面积时，组距与高度单位不一致或未使用正确数值. 3.忽略直方图中组距可能不同（等距分组时组距相同，但有时会变距）. 【典例5】（2026·江西抚州·联考）为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了 份试卷进行调查，这 份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为 ，第一组和第五组的频率相同． 求 ， 的值，并估计这 名同学面试成绩的平均数； 【变式5-1】（多选）（2026·江西南昌·联考）某学校为了调查学生在一周生活方面支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 内的学生有 人，则下列说法正确的是（ 　　） A. 样本中支出在 内频率为 .B. 样本中支出不少于 元的人数为 C. 的值为 D. 若该校有 名学生，则估计有 人支出在 内 【变式5-2】（25-26高二上·上海奉贤·月考）为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 题型六 总体百分位数的估计 解｜题｜技｜巧 1.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 2．频率分布直方图中的百分位数的计算 确定要求的p％分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p％分位数＝A＋组距×. 【典例6-1】（24-25高三上·广东·阶段练习）样本数据，，，，，，，，，的平均数和第百分位数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例6-2】（25-26高二上·江西赣州·期中）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的中位数的估计值分别为 ． 【变式6-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）数据，，，，，，，的上四分位数（分位数）为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 题型七 总体集中趋势（平均数、众数、中位数）的估计 解｜题｜技｜巧 1.给定数据的数字特征 (1)求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计； (2)求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数； (3)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数. 2.频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 【典例7-1】（多选）（2026·北京·模拟）将某工厂新生产的 件产品的质量大小统计如下图所示，则（ 　　） A. 质量在区间 的产品有 件 B. 质量在区间 的频率为 C. 这 件产品的质量的中位数大于 D. 这 件产品的质量的众数为 【典例7-2】（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【变式7-1】（25-26高三上·四川内江·月考）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（   ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的第25百分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 【变式7-2】（25-26高一上·四川成都·开学考试）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 题型八 总体离散程度（极差、方差与标准差）的估计 解｜题｜技｜巧 样本方差（描述性）公式：.标准差 .若题目要求无偏估计（总体方差），则用 .计算时先求平均数，再计算各偏差平方和. 对于分组数据，用组中值及频数加权计算. 方差衡量数据离散程度，单位是原数据单位的平方，标准差单位一致.当两组数据平均数相近时，比较方差判断稳定性，方差越小越稳定. 【典例8-1】（多选）（2026·广东东莞·模拟）如图是某企业 年至 年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ 　　） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第 百分位数是 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉 年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【典例8-2】（2026·浙江杭州·模拟）数据 的平均数 ，方差 ，若 ，则数据 的平均数 ＿＿＿＿＿＿，方差 ＿＿＿＿＿＿． 【变式8-1】在一组样本数据中，，，， 出现的频数分别为 ，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【变式8-2】（多选）（2026·江苏苏州·检测）在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表： 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 甲厂 乙厂 其中 ，根据统计数据，下列结论中正确的是（ 　　） A. 甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B. 甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 C. 甲、乙两厂生产的零件中 克出现的次数相同 D. 甲厂生产的零件中质量大于 克的数量多于乙厂 题型九 分层随机抽样中的平均数与方差的计算 解｜题｜技｜巧 计算分层随机抽样的方差的步骤(以分两层抽样的情况为例) 第一步：确定，，，； 第二步：确定； 第三步：应用公式s2＝[＋]＋[＋]，计算s2. 【典例9】（2025·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 【变式9-2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56． (1)求抽取的总样本的平均数； (2)试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差． 题型十 统计中的决策问题 解｜题｜技｜巧 统计决策可借助数字特征判断方案优劣： 1.平均数：均值越高，整体水平、收益或效率更优，优先选均值大的方案。 2.方差、标准差：反映波动大小，方差越小，数据越稳定、风险越低。 3.综合判定：均值相近时，选方差小的；若追求高收益可适度接受较大方差。结合实际需求，兼顾平均水平与稳定性做出最终决策. 【典例10-1】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 【典例10-2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: (1)求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. (2)两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? (3)从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 【变式10-1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【变式10-2】（24-25高一下·广西河池·期末）2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 (1)求甲运动员的样本数据第75百分位数； (2)分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差； (3)根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？ 题型十一 统计知识的综合应用 解｜题｜技｜巧 先梳理样本数据，计算平均数、方差、众数、中位数等数字特征.利用频率分布表、直方图提取频率、区间信息，结合公式求值.均值看整体水平，方差判断数据稳定性.审题明确实际问题目标，对比多组数据特征分析优劣.作答紧扣题意，规范计算、有理有据，最后结合统计结果给出合理判断与结论. 【典例11-1】（25-26高一上·河南南阳·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【典例11-2】(25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【变式11-1】（2026高三·全国·专题练习）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 【变式11-2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 题型十二 统计知识的创新应用（跨章节） 解｜题｜技｜巧 统计创新应用解题策略：先剥离实际情境，转化为常规统计问题.从图表、新定义中提取数据、频率区间等关键信息，熟练计算平均数、方差、百分位数等数字特征.读懂创新设问，结合特征分析数据趋势、稳定性与差异.多组数据需对比特征量，依据实际需求推理判断.计算细致，逻辑清晰，最后结合统计结论回应实际问题. 【典例12-1】（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【典例12-2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【变式12-1】（2025·山东·三模）已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 【变式12-2】（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1.（2026·安徽合肥·二模）Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 3．（2026·河南·模拟预测）已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 4．(多选）（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 5．（25-26高一下·浙江温州·期中）学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 2．（多选）（25-26高三下·云南·阶段检测）如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（    ） A．商品零售额同比增长速度的极差为 B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的分位数为 D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于 3．（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 4．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1. （25-26高三上·广东佛山·月考）考虑一组数据，其中是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？ I．该组数据的平均数是一个整数．（　　） II．该组数据的中位数不小于3． III．该组数据的众数与上四分位数相等． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（24-25高一上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位：），得到如下表格： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0 土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2 规定：记第组中无土环境生长植株的平均高度为，土壤环境生长植株的平均高度为，若，则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下植株生长差异较大. (1)求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差； (2)证明：两种环境下植株生长差异较大. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优18 统计的12大热点题型（含决策问题、创新应用）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01抽样方法的选择 题型02分层随机抽样中的计算 题型03 随机数表的应用 题型04 各类统计图表 题型05 频率分布直方图的应用 题型06 总体百分位数的估计 题型07 总体集中趋势（平均数、众数、中位数）的估计 题型08 总体离散程度（极差、方差与标准差）的估计 题型09 分层随机抽样中的平均数与方差的计算 题型10 统计中的决策问题 题型11 统计中知识的综合应用 题型12 统计知识的创新应用（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单随机抽样 能说出简单随机抽样的概念，掌握抽签法和随机数法的操作步骤，能根据实际问题选择合适方法并抽取样本. 基础小题，常考查概念辨析与随机数表读数，易错点为随机数表读数方向及“放回”与否. 分层随机抽样 能识别分层抽样的适用情境（总体由差异明显的几部分组成），掌握各层按比例分配样本的方法，能计算分层抽样下的样本平均数. 中高频考点，以选择题或填空题考查比例分配及样本量计算，易错点为各层抽取数不为整数时的调整. 系统抽样 能说出系统抽样的适用条件（总体个体数较多），掌握分段间隔  的确定方法，能完成系统抽样的抽取步骤. 低频考点，偶在选择题中出现，易错点为  非整数时先随机剔除多余个体. 频率分布直方图 能根据数据制作频率分布表并画出频率分布直方图，能从直方图中读取各组频率，能利用直方图估计总体的众数、中位数、平均数. 高频必考，常以填空题或解答题第一问出现，易错点为纵轴是“频率/组距”而非频率，以及中位数估计时面积等分点. 其他统计图表（条形图、扇形图、折线图、茎叶图） 能识别各种图表的特征和适用场景，能根据实际需要选择合适的图表描述数据，能从茎叶图中直接计算数字特征. 基础考点，常与数据分析综合，易错点为扇形图中比例和不为1或茎叶图中数据还原错误. 样本的数字特征（平均数、中位数、众数） 能熟练计算一组数据的平均数、中位数、众数，能从频率分布直方图中估计这些特征，能理解三者各自的优缺点. 高频必考，选择填空或解答题中均可能出现，易错点为偶数个数据时中位数为中间两数的平均值. 方差与标准差 能熟练运用公式计算方差和标准差，能理解方差反映数据离散程度，能根据方差比较两组数据的稳定性. 高频考点，常在解答题中作为数据分析的核心指标，易错点为公式中平方和与分母n或的区分. 百分位数 能说出p分位数的定义，能根据数据计算第百分位数，能解释其实际意义. 新高考新增内容，偶有小题考查，易错点为不同教材分位数计算规则的细微差异. 知识点01 随机抽样 1. 全面调查与抽样调查 全面调查（普查）：对每一个调查对象都进行调查的方法，如人口普查. 抽样调查：从总体中抽取一部分个体进行调查，根据样本结果推断总体情况的方法. 2. 简单随机抽样 概念：从总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本，每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，除非特殊声明，本章指不放回简单随机抽样. 常用方法：抽签法（将个体编号后制签，搅拌均匀后抽取）和随机数法（利用随机数表或随机数工具产生随机数进行抽取）. 简单随机样本：通过简单随机抽样获得的样本. 易错点：抽签法务必保证“搅拌均匀”；随机数法读数时注意方向（可向左、向右、向上、向下）、跳过重复和超出范围的数字. 3. 分层随机抽样 概念：按一个或多个变量将总体分成若干个子总体（每个子总体称为一层），每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 抽样比例：各层抽取比例 = 样本容量 / 总体容量. 样本均值计算（以两层为例）：设第1层和第2层个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为和，则总样本平均数为. 易错点：分层抽样时各层按比例分配；当各层抽取数不为整数时，需作适当调整. 4. 获取数据的途径 常见途径：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽查、互联网等. 知识点02：总体取值规律的估计（统计图表） 1. 频率分布直方图 制作步骤：①求极差（最大值 - 最小值）；②决定组距与组数（一般当样本容量≤100时，分成5~12组，组距通常取整）；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图——纵轴为“频率/组距”，每个小矩形面积 = 该组的频率，所有矩形面积之和为1. 易错点：混淆纵轴是“频率”还是“”；误认为矩形高度就是频率. 2. 从频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标. 平均数：每个小矩形的面积 × 小矩形底边中点的横坐标之和. 直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数 > 中位数；若左侧“拖尾”，则平均数 < 中位数. 易错点：估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点. 3. 其他常见统计图表 条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，能直观显示每组中的具体数据. 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例. 折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势. 频数分布直方图：纵轴为频数，与频率分布直方图有本质区别. 易错点：条形图与直方图的区别——条形图用于离散数据，直方图用于连续数据分组；扇形图中各部分比例之和为100%. 知识点03 总体集中趋势的估计 1. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数. 优缺点：①体现了数据的最大集中点，容易计算；②只能表达很少一部分信息，无法客观反映总体特征. 注：众数可能有多个，也可能没有. 2. 中位数 定义：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.若个数为偶数，则取中间两个数的平均值. 优缺点：①不受少数极端数据影响；②容易计算，但对极端值不敏感. ·易错点：偶数个数据时中位数为中间两数的平均值，不是直接选中间一个或取两端对称数. 3. 平均数 定义：n个数，则. 优缺点：①代表性好，能反映更多总体信息；②任何一个数据的改变都会引起平均数变化，数据越“离群”，影响越大. 总体平均数与样本平均数：总体平均数是一个确定的数（客观存在但通常未知）；样本平均数具有随机性，常用样本平均数估计总体平均数，样本量越大估计越准确. 4. 数字特征的比较 平均数、中位数、众数从不同角度描述数据的集中趋势. 极差：最大值与最小值的差，反映数据波动范围. 知识点04 总体离散程度的估计 1. 方差 定义：样本数据到平均数的平均距离的平方，即 意义：方差描述数据围绕平均数波动的大小.方差越大，数据的离散程度越大；方差为0时，所有样本数据相等. 2. 标准差 定义：方差的算术平方根，，与方差测量效果一致，但量纲与原数据一致，实际应用中更常用. 简化计算公式：. 易错点：方差公式中平方后再求和，不要遗忘平方；分母用n还是n-1需根据题目要求（若只描述样本离散程度一般用n，若作无偏估计则用n-1）. 知识点05 总体百分位数的估计 p分位数（p%分位数） ：一组数据中至少有p%的数据≤该数，且至少有(100-p)%的数据≥该数.一组数据的p分位数未必是原始数据中的某个数，若按大小排序后np不是整数，则向上取整；若是整数，则取第np位与第np+1位的平均值. 常用分位数：第25百分位数（下四分位数）、第50百分位数（中位数）、第75百分位数（上四分位数）. 易错点：不同教材中分位数的计算规则可能有细微差异，在考试中需以教材具体表述为准；有时题目会直接要求先排序再按定义计算. 知识点06 分层随机抽样中的平均数与方差 1.分层抽样的平均数 （1）一般地,将样本 ,…, 和样本,…,合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为,设上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为 和于是， =+=+ 记，,,称为权重，则+ （2）推广：设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,，…和,，…则这个样本的平均数为 为了简化表示,引进求和符号,记作 2.分层抽样的方差 (1)定义：一般地,将样本 ,…, 和样本,…,合并成一个新样本,则这个新样本的方差为,设 上述两层构成的新样本中每层的方差分别为,,于是，， 记，,,称为权重，则[+]+[+]. 2)推广:设样本中不同层的方差和相应权重,及平均数分别为,，…和,，…，,，…则这个样本的方差为 [+]+[+]+[+]为了简化表示,引进求和符号,记作 题型一 抽样方法的选择 解｜题｜技｜巧 根据总体特征选择合适的抽样方法.若总体个数较少且无差异，用简单随机抽样（抽签法或随机数法）；若总体由差异明显的几部分组成，用分层随机抽样，按比例分配各层样本量；特殊场景如调查某校高一学生视力，因年级内差异小、年级间差异大，常采用分层抽样.解题时需根据题干中的“差异明显”“个体编号”“容量较大”等关键词判断方法. 易｜错｜点｜拨 1.分层抽样容易忽略“按比例”分配，导致各层样本量计算错误. 2.随机数表读数时方向不明确或跳读规则出错. 【典例1】（2026·河南周口3月·联考）用简单随机抽样的方法从含有 个个体的总体中抽取一个容量为 的样本，则个体 被抽到的概率为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【详解】由简单随机抽样中每个个体被抽到的概率相同可得，个体 被抽到的概率为 ． 【变式1】（2026·辽宁大连·一模）为了了解邵东市中小学生的视力情况，拟从邵东市的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.则下列抽样方法最合理的是（ 　　） A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 按性别或学段分层抽样都行 【答案】C 【详解】因为邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以应按学段进行分层抽样． 题型二 分层随机抽样中的计算 解｜题｜技｜巧 1.分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，抽样比＝＝. 2.在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行. 【典例2】（多选）（2026·河北黄骅一模）福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生 人，女生 人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有 位女生的测试成绩，分别是 ，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为 ，则（ 　　） A. 样本中有 位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第 百分位数是 C. 样本中女生测试成绩的方差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为 【答案】ABC 【详解】对于 A，由题意得，该学校高一年级共有 人，则样本容量为 ，所以样本中男生有 人，A 正确； 对于 B，由于 ，所以样本中女生成绩的 百分位数是第 项 ，故 B 正确； 对于 C，样本中女生成绩的平均数为 ，所以样本中女生成绩的方差为 ，故 C 正确； 对于 D，样本中所有学生测试成绩的平均数为 ，故 D 错误． 【变式2-1】（2026·重庆名校联盟第一次·联考）现有男志愿者 人，女志愿者 人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 的样本，则女志愿者应抽取的人数是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题可得分层随机抽样的抽样比为 ， 所以抽取一个容量为 的样本，则女志愿者应抽取的人数是 ． 【变式2-2】某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为 的样本，样本中甲型号产品有 件，则 的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】甲、乙、丙数量之比为 ，甲型号产品占总数的 ．因为样本中甲型号产品有 件，所以样本容量 ． 题型三 随机数表法的应用 解｜题｜技｜巧 随机数主要用于简单随机抽样.常用方法：①随机数表法：从表中随机选定起始位置和读数方向（左、右、上、下），依次读取数字，若数字在编号范围内且未被重复选中，则作为样本编号；②随机数生成器（计算器、软件）产生区间内的整数.注意事项：需明确编号是几位数（如总体为 ，则用两位数字）；遇到重复数字或超出范围的数字应跳过；若抽取不放回，则已选数字不可重复使用.对于有序编号的个体，也可用计算机产生随机数直接抽样. 易｜错｜点｜拨 1． 起始位置和读数方向不明确，导致结果不确定. 2． 未跳过重复或超范围的数字，造成样本量不足或重复. 3． 编号位数不一致（如总体为50，却用两位数读取，应将01视为1）. 【典例3】（2026·重庆名校联盟·联考）某校从 名同学中用随机数法抽取 人参加这一项调查．将这 名同学编号为 ，假设从第 行第 列的数字开始，则第 个被抽到的同学的编号为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】从第 行第 列的数字开始，每次读取 位数字，依次为： （有效），（有效），（无效），（重复，无效），（有效），（无效），（有效），（有效）．所以第 个被抽到的同学编号为 ． 【变式3】（25-26高二上·四川成都·月考）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【答案】C 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，不在范围的及与前面重复的都舍去，进而得到结论. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第3个样本编号为007. 故选：C. 题型四 各类统计图表 解｜题｜技｜巧 在实际问题中，我们常常根据不同的需要，选择合适的统计图进行表示.为此，我们要注意掌握常用统计图的特点，学会根据题目的需要选择合适的统计图，并会从不同的统计图中获得各种所需的信息. 【典例4】（24-25高一下·广东河源·期末）2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 【答案】ABC 【分析】根据条形图，逐项判断即可. 【详解】对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，数字阅读用户规模约占网民规模的，故A正确； 对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为亿，网民规模的增长量为亿， 数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确； 对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确； 对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为， 从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为，增长率减小了，故D错误. 故选：ABC. 【变式4-1】（25-26高三下·云南·阶段检测）如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（    ） A．商品零售额同比增长速度的极差为 B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的分位数为 D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于 【答案】BC 【详解】商品零售额同比增长速度的极差为，A错误． 商品零售额同比增长速度逐渐降低，B正确． 因为，所以由图可知餐饮收入同比增长速度的分位数为，C正确． 因为，所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于，D错误． 【变式4-2】（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的， 而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误. 故选：B. 题型五 频率分布直方图的应用 解｜题｜技｜巧 频率分布直方图中，纵轴为“”，每个小矩形的面积等于该组的频率.因此，已知某组的组距和矩形高度，频率 = 组距 × 高度.所有矩形面积之和为1.求解时，若给出直方图，需先确认纵轴单位；若部分矩形高度未知，可利用面积和为1列方程求解.例如，某组高度为，组距为，则该组频率.注意：不要将纵轴读数直接当作频率，也不要将多个矩形面积相加时漏算某组. 易｜错｜点｜拨 1.混淆纵轴“频率/组距”与“频率”，误将高度直接作为频率. 2.计算矩形面积时，组距与高度单位不一致或未使用正确数值. 3.忽略直方图中组距可能不同（等距分组时组距相同，但有时会变距）. 【典例5】（2026·江西抚州·联考）为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了 份试卷进行调查，这 份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为 ，第一组和第五组的频率相同． 求 ， 的值，并估计这 名同学面试成绩的平均数； 【答案】，，平均数为 【详解】由题意可知，第二、三、四组的频率之和为 ， 即 ，解得 ． 又所有组的频率之和为 ，且第一组和第五组的频率相同， 所以 ，解得 ． 由直方图知每组的频率依次为：，，，，． 平均数为：． 【变式5-1】（2026·江西南昌·联考）某学校为了调查学生在一周生活方面支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 内的学生有 人，则下列说法正确的是（ 　　） A. 样本中支出在 内频率为 .B. 样本中支出不少于 元的人数为 C. 的值为 D. 若该校有 名学生，则估计有 人支出在 内 【答案】BCD 【详解】样本中支出在 内的频率为 ，故 A 错误； 样本容量 ，故 C 正确； 样本中支出不少于 元的频率为 ，人数为 ，故 B 正确； 若该校有 名学生，则估计有 人支出在 内，故 D 正确． 【变式5-2】（25-26高二上·上海奉贤·月考）为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）由各小矩形的高之和为求解； （2）由比例求解. 【详解】（1）. （2）因为， 所以在，，内应各抽取： ，，. 故在，，内分别抽取，，人. 题型六 总体百分位数的估计 解｜题｜技｜巧 1.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 2．频率分布直方图中的百分位数的计算 确定要求的p％分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p％分位数＝A＋组距×. 【典例6-1】（24-25高三上·广东·阶段练习）样本数据，，，，，，，，，的平均数和第百分位数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出样本数据的平均数和第百分位数判断即可. 【详解】样本数据的平均数， 由，得样本数据的第百分位数为. 故选：B 【典例6-2】（25-26高二上·江西赣州·期中）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的中位数的估计值分别为 ． 【答案】/ 【分析】先计算面积确定中位数所在的区间，再利用公式求出中位数. 【详解】前两个矩形的面积为， 前三个矩形的面积为， 所以中位数在区间，设中位数为， 由题得，解之得. ∴中位数的估计值为. 【变式6-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）数据，，，，，，，的上四分位数（分位数）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数据个数为8，第75百分位数的位置为． 因为6为整数，所以第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数． 【变式6-2】（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 故全市居民中月均用电量不低于 千瓦时的人数为 万人． 题型七 总体集中趋势（平均数、众数、中位数）的估计 解｜题｜技｜巧 1.给定数据的数字特征 (1)求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计； (2)求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数； (3)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数. 2.频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 【典例7-1】（2026·北京·模拟）（多选）将某工厂新生产的 件产品的质量大小统计如下图所示，则（ 　　） A. 质量在区间 的产品有 件 B. 质量在区间 的频率为 C. 这 件产品的质量的中位数大于 D. 这 件产品的质量的众数为 【答案】BD 【详解】依题意，因为 ，故 A 错误； ，B 正确； 前三块小矩形的面积依次为 ，而 ， 故这 件产品质量的中位数小于 ，故 C 错误； 众数为 ，故 D 正确； 【典例7-2】（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 【变式7-1】（25-26高三上·四川内江·月考）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（   ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的第25百分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 【答案】C 【分析】利用频率和为1求出判断A；利用频率求出频数判断B；求出下四分位数判断C；求出评分的平均数判断D. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，评分在的频率为，评分在的人数约为，故B正确； 对于C，评分在的频率为，评分在的频率为， 则评分的第25百分位数在内，由，解得，故C错误； 对于D，评分的平均数，故D正确. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·四川成都·开学考试）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 【答案】3 【分析】根据平均数得到方程，求出，从而求出众数. 【详解】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4， ∴，解得， 由于3出现了2次，其他数据均出现1次， ∴这组数据的众数是3 故答案为：3 题型八 总体离散程度（极差、方差与标准差）的估计 解｜题｜技｜巧 样本方差（描述性）公式：.标准差 .若题目要求无偏估计（总体方差），则用 .计算时先求平均数，再计算各偏差平方和. 对于分组数据，用组中值及频数加权计算. 方差衡量数据离散程度，单位是原数据单位的平方，标准差单位一致.当两组数据平均数相近时，比较方差判断稳定性，方差越小越稳定. 【典例8-1】（2026·广东东莞·模拟）（多选）如图是某企业 年至 年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ 　　） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第 百分位数是 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉 年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】AD 【详解】根据折线图的走势及数据特征（由于未提供具体图像，根据选项分析），这组数据的中位数等于平均数，去掉 年的污水净化量数据后，新数据的波动变小，标准差会变小． 【典例8-2】（2026·浙江杭州·模拟）数据 的平均数 ，方差 ，若 ，则数据 的平均数 ＿＿＿＿＿＿，方差 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】； 【详解】由题意数据 的平均数为 ，方差为 ， 根据平均数和方差性质可得 数据 的平均数 ， 方差 ． 【变式8-1】在一组样本数据中，，，， 出现的频数分别为 ，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【详解】A 项，平均数为 ， 标准差为 ； 同理 B 项，平均数为 ，标准差为 ； C 项，平均数为 ，标准差为 ； D 项，平均数为 ，标准差为 ． 所以标准差最小的是 C 项． 【变式8-2】（多选）（2026·江苏苏州·检测）在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表： 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 甲厂 乙厂 其中 ，根据统计数据，下列结论中正确的是（ 　　） A. 甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B. 甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 C. 甲、乙两厂生产的零件中 克出现的次数相同 D. 甲厂生产的零件中质量大于 克的数量多于乙厂 【答案】AB 【详解】根据表格有 ，所以甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂，故 A 正确； 根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而 ，所以甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂，故 B 正确； 根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂生产的零件中 克出现的次数相同，故 C 错误； 由于甲乙两厂的平均质量为 克，不能判断甲厂生产的零件中质量大于 克的数量多于乙厂，故 D 错误． 题型九 分层随机抽样中的平均数与方差的计算 解｜题｜技｜巧 计算分层随机抽样的方差的步骤(以分两层抽样的情况为例) 第一步：确定，，，； 第二步：确定； 第三步：应用公式s2＝[＋]＋[＋]，计算s2. 【典例9】（2025·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层平均数求出总体平均数，然后根据分层方差和总体方差的关系求解可得. 【详解】记男生平均给分为，方差为，女生平均给分为，方差为， 则， 所以总体平均数， 所以总体方差为. 故选：D 【变式9-1】（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 【答案】B 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 【变式9-2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56． (1)求抽取的总样本的平均数； (2)试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差． 【答案】(1)14 (2)16 【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数. （2）根据方差的概念，计算总样本的方差. 【详解】（1）样本中男生的人数为：；女生的人数为：. 所以总样本的平均数为：. （2）记总样本的方差为， 则 . 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16. 题型十 统计中的决策问题 解｜题｜技｜巧 统计决策可借助数字特征判断方案优劣： 1.平均数：均值越高，整体水平、收益或效率更优，优先选均值大的方案. 2.方差、标准差：反映波动大小，方差越小，数据越稳定、风险越低. 3.综合判定：均值相近时，选方差小的；若追求高收益可适度接受较大方差.结合实际需求，兼顾平均水平与稳定性做出最终决策. 【典例10-1】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 【答案】乙 【分析】根据题目所给比例计算三位应聘者得总成绩即可得到结论. 【详解】由题，对于甲，他的总成绩如下： , 对于乙，他的总成绩：, 对于丙，他的总成绩：, 比较三者总成绩，乙的成绩最高. 故答案为：乙 【典例10-2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: (1)求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. (2)两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? (3)从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 【答案】(1)82，77 (2)， (3)答案见详解 【分析】（1）先根据频率分布直方图所有矩形面积和为1求出高一的未知参数，再分别计算高一、高二的累积频率，确定第80百分位数所在分组，最后代入百分位数计算公式求出对应结果； （2）1小时等于60分钟，分别统计高一、高二平均阅读时间超过60分钟的累计频率，即可得到两个年级对应情况的百分比； （3）先根据频率分布直方图得到两个年级阅读时间的众数，再以每组中点为代表计算两个年级的平均阅读时间，最后对比两个年级的众数和平均数结果，分析两个年级的阅读情况. 【详解】（1）由题可知，， 所以. 设高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为m，则，解得. 设高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为n， 则，解得. （2）高一年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为， 高二年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为. （3）由频率分布直方图可知，高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为75， 平均数为. 高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为65， 平均数为. 由此可以看出，无论从阅读时间的众数来讲，还是从阅读的平均时间来看，高一年级都明显高于高二年级，所以高一学生的阅读情况要好于高二学生的阅读情况，这可能与高二的学业加重有关. 【变式10-1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)90，89； (2)组更像，理由见详解 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此组更像是由专业人士组成的． 【变式10-2】（24-25高一下·广西河池·期末）2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 (1)求甲运动员的样本数据第75百分位数； (2)分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差； (3)根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？ 【分析】（1）根据百分位数的计算公式即可求解， （2）由平均数和方差的计算公式即可求解，， （3）根据方差的大小即可比较作答. 【详解】（1）甲运动员的成绩从小到大排列为， ，故甲运动员的样本数据第75百分位数为9， （2）甲的平均数为， 方差为 乙的平均数为 方差为 （3）由（2）知：， 故乙发挥的更加稳定. 题型十一 统计知识的综合应用 解｜题｜技｜巧 先梳理样本数据，计算平均数、方差、众数、中位数等数字特征.利用频率分布表、直方图提取频率、区间信息，结合公式求值.均值看整体水平，方差判断数据稳定性.审题明确实际问题目标，对比多组数据特征分析优劣.作答紧扣题意，规范计算、有理有据，最后结合统计结果给出合理判断与结论. 【典例11-1】（25-26高一上·河南南阳·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【分析】（1）根据频率分布直方图频率关系可得的值，再根据百分位数的概念求解样本成绩的第75百分位数即可； （2）根据频率分布直方图计算平均数即可； （3）根据样本的平均数与方差求解总体的平均数与方差即可. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1， 可得， 解得； 成绩在的频率为， 则第75百分位数为． （2）由频率分布直方图可得样本平均数为 ． （3）可知成绩落在的人数为人， 成绩落在的人数为人， 则两组总体成绩平均数为， 则总体方差为． 【典例11-2】(25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 【变式11-1】（2026高三·全国·专题练习）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 【答案】C 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故C正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：C 【变式11-2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可求得a值，根据分层抽样的性质，计算即可得答案. （2）根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得平均数，由图象可得众数，即可得答案. （3）分析可得获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图性质得， 解得， 所以的人数有个. （2）本次考试的平均分 ， 由频率分布直方图得：众数为100. （3）的频率为， 所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x， 则，解得，即最低分数为138. 题型十二 统计知识的创新应用（跨章节） 解｜题｜技｜巧 统计创新应用解题策略：先剥离实际情境，转化为常规统计问题.从图表、新定义中提取数据、频率区间等关键信息，熟练计算平均数、方差、百分位数等数字特征.读懂创新设问，结合特征分析数据趋势、稳定性与差异.多组数据需对比特征量，依据实际需求推理判断.计算细致，逻辑清晰，最后结合统计结论回应实际问题. 【典例12-1】（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平均数与标准差的性质，结合已知条件可得，然后根据二次函数与指数函数的性质求解最大值． 【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 则样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 依题意有，得． 由，知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以， 即当时，取得最大值4． 故选：C． 【典例12-2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】(1)图见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） （3）成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 【变式12-1】（2025·山东·三模）已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 【答案】31.5 【分析】根据中位数、平均数、方差的定义求解即可. 【详解】由于样本共有6个数据，且最中间的两个数为，， 由题意可得，，即， 则样本平均数为， 则样本的方差为， 要使该组样本的方差最小，只需最小即可， 而， 则时，最小，此时， 则. 故答案为：31.5. 【变式12-2】（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 【答案】(1)76和95.5 (2) (3)27． 【分析】（1）先将所有用户评分按从小到大排列，再根据百分位数的定义求解； （2）根据平均数的计算公式求出丢失的数据，再计算方差，根据评分范围求解“A级”用户所占的百分比 （3）先列出新老系统各自的平均数和方差，再根据两组数据合并后的平均数与方差公式求解. 【详解】（1）将所有用户评分按从小到大排列 由题表可知这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，96，97． 因为，， 所以这40个用户评分的21%，95%分位数分别为第9个数据、第38个和第39个数据的平均数，分别为76，， 据此估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数分别为76和95.5． （2）设丢失的数据为m，则， 解得． 所以． 由题意知评分在，即内的满意度等级为“A级”， 所以10个样本数据中评分在内的有5个， 故可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比为． （3）设老系统的平均数与方差分别为，，新系统的平均数与方差分别为，，新老系统所有评分的平均数与方差分别为，，由题意知，，，． 因为老系统的总数据占两个系统所有数据总和的， 所以新老系统所有评分的平均数， 方差， 即新老系统所有评分的方差为27． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1.（2026·安徽合肥·二模）Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 【答案】C 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 3．（2026·河南·模拟预测）已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， , 因为，即； 所以 ，即． 4．(多选）（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】ABC 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 5．（25-26高一下·浙江温州·期中）学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 【答案】(1)， (2)这个系统能投入使用，理由见详解 【分析】（1）借助频率和为1计算即可得的值，利用中位数定义计算即可得结果； （2）计算出准确率的平均数即可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为. （2）估计准确率的平均数为， ，所以认为这个系统是准确的，并投入使用. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 【答案】B 【详解】总人数为（人），抽取人，则抽样比为. 而社区的权重为，社区的权重为. 这两个社区的居民用水量的平均数的估计值为， 所以这两个社区的居民用水量的方差的估计值如下， 为. 2．（多选）（25-26高三下·云南·阶段检测）如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（    ） A．商品零售额同比增长速度的极差为 B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的分位数为 D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于 【答案】BC 【详解】商品零售额同比增长速度的极差为，A错误． 商品零售额同比增长速度逐渐降低，B正确． 因为，所以由图可知餐饮收入同比增长速度的分位数为，C正确． 因为，所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于，D错误． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 【答案】(1)76和95.5；(2)；(3)27． 【详解】（1）将所有用户评分按从小到大排列 由题表可知这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，96，97． 因为，， 所以这40个用户评分的21%，95%分位数分别为第9个数据、第38个和第39个数据的平均数，分别为76，， 据此估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数分别为76和95.5． （2）设丢失的数据为m，则， 解得． 所以． 由题意知评分在，即内的满意度等级为“A级”， 所以10个样本数据中评分在内的有5个， 故可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比为． （3）设老系统的平均数与方差分别为，，新系统的平均数与方差分别为，，新老系统所有评分的平均数与方差分别为，，由题意知，，，． 因为老系统的总数据占两个系统所有数据总和的， 所以新老系统所有评分的平均数， 方差， 即新老系统所有评分的方差为27． 4．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 【答案】(1) (2)分 (3)平均数，方差 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即得； （2）先确定中位数所在的区间，然后根据频率分布直方图中中位数的求法，即可得答案； （3）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． （2）设中位数为．由，，所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． （3）第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1. （25-26高三上·广东佛山·月考）考虑一组数据，其中是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？ I．该组数据的平均数是一个整数．（　　） II．该组数据的中位数不小于3． III．该组数据的众数与上四分位数相等． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【分析】举反例判断结论和结论，对参数分类讨论并结合中位数的定义判断结论即可. 【详解】对于，取，则平均数为，不是整数，故错误， 对于，将数据从小到大排列，分情况讨论如下， 当时，数据为，中位数是3， 当时，数据为，中位数是， 当时，数据为，中位数是， 当时，数据为，中位数是， 可得该组数据的中位数不小于3，故正确， 对于，取，数据为，因为，则上四分位数是4， 而众数是2，且，故错误，可得A正确. 故选：A 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 3．（24-25高一上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 【答案】 【分析】先得到平均数为，然后使用方差的定义推出数据的值，即可得到答案. 【详解】对，，有. 且当时，有，所以的平均数为. 由于这个数据的方差为，故. 由于这个数据两两不同，所以只可能有. 从而，这就得到最大数据为，极差为. 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位：），得到如下表格： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0 土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2 规定：记第组中无土环境生长植株的平均高度为，土壤环境生长植株的平均高度为，若，则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下植株生长差异较大. (1)求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差； (2)证明：两种环境下植株生长差异较大. 【答案】(1)中位数为16.2，极差为 (2)证明见详解 【分析】(1)将土壤环境的植株高度数据排序后，取中间值得到中位数，用最大值减去最小值得到极差. (2)计算每组两种环境下植株高度差的绝对值，求其平均值并与比较，判断差异是否较大. 【详解】（1）将土壤环境中5组植株平均高度按照从小到大的顺序排列为14.9，15.2，16.2，16.4，17.3， 易得其中位数为16.2，其极差为 （2）先计算， 计算每一组： 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 求和： 计算平均值： 因此，不满足“”的条件，所以两种环境下植株生长差异较大. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $